книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
..pdfТогда решение системы (4.5) при X = Х0 представится столбцовой матрицей
Умножим (4.6) слева на транспонированную матрицу
*о:
Хо Сх0 = Х0х0х0.
Здесь XQX0— вещественное число. Вещественным является также скаляр XQCX0, так как
XQCX0= (XQCXQY = XQCX0 = х0Схо
(С — С). Но тогда А,0, как отношение двух вещественных чисел xQCx0 и х0х0, не может быть комплексным числом.
Это противоречие показывает, что корни алгебраиче ского уравнения (4.3) вещественны. Пусть Х0— корень этого уравнения. При X = Х0система (4.2) имеет ненулевое реше
ние х°ь Х2, ..., xl, которое к тому же, будучи решением алгебраической системы с вещественными коэффициентами,
вещественно. Лемма доказана.
Л е м м а 4.2. Пусть А — симметрический оператор в п-мерном евклидовом пространстве R, а е — его собствен ный вектор. Тогда совокупность /?х векторовх, ортогональ ных к е, есть (п — 1)-мерное подпространство, инвариант ное относительно оператора А .
Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 4.2 подобно доказатель ству леммы 3.3.
С помощью приведенных лемм легко устанавливаются и следующие теоремы (аналогичные теоремам 3.1 и 3.2).
Т е о р е м а 4.1. В п-мерном евклидовом пространстве R существует п попарно ортогональных собственных векто ров симметрического оператора А. Соответствующие собст венные значения вещественны.
З а м е ч а н и е . Если ортонормированную систему соб ственных векторов симметрического оператора А в евкли довом пространстве принять в качестве базиса этого про странства, то матрица оператора А будет иметь диагональ ный вид, причем диагональными элементами будут служить собственные значения оператора А.
Т е о р е м а 4.2. Для того чтобы оператор А в евкли довом пространстве R был симметрическим, необходимо и достаточно, чтобы существовал ортогональный базис, в котором матрица оператора диагональна и вещественна.
Наконец, отметим еще одно свойство собственных век торов симметрического оператора, аналогичное свойству собственных векторов эрмитова оператора в унитарном про
странстве: |
собственные векторы |
симметрического опера |
||
тора, отвечающие различным собственным значениям, орто |
||||
гональны. |
|
|
|
оператор О |
4.2. |
Ортогональный |
оператор. Линейный |
||
называется ортогональным, если |
|
|
||
|
О 0 '= 0 '0 = Е. |
(4.7) |
||
Из (4.7) следует: | О |2 = |
1, т. е. |
|
||
|
101 = ± |
1. |
|
|
Если | О | = 1, то О называется ортогональным операто ром первого рода; если же | 0 | = —1, — ортогональным оператором второго рода.
Свойства ортогональных операторов в евклидовом про странстве аналогичны свойствам унитарных операторов в
унитарном пространстве |
(см. § |
3). Приведем некоторые |
из них. |
|
|
Ортогональный оператор сохраняет скалярное произ |
||
ведение векторов: |
|
|
{Ох, Оу) = |
{х, у) |
{х, у £ R). |
Ортогональный оператор сохраняет длину векторов:
{Ох, Ох) = {х, х).
Если О — матрица ортогонального оператора в ортонормированном базисе, то
00’ = О'О = Я. |
(4.8) |
Матрица О, обладающая свойством (4.8), называется ортогональной матрицей. Значит, ортогональному операто ру в ортонормированном базисе отвечает ортогональная матрица.
Для того чтобы оператор О был ортогональным, необхо димо и достаточно, чтобы он переводил какой-нибудь ортонормированный базис в R снова в ортонормированный базис.
Так как матрица ортогонального оператора в ортонормированном базисе является ортогональной, а переход от ортонормированного базиса к другому ортонормированному ба зису совершается ортогональным преобразованием, то мат рица перехода от одного ортонормированного базиса к дру гому ортонормированному базису является ортогональной матрицей.
4.3. Преобразование симметрической матрицы к диаго нальному виду с помощью ортогональной матрицы. Пусть А — симметрическая матрица порядка п. Будем рассматри вать А как матрицу симметрического оператора в ортонормированном базисе $ = g 2 ... g n) л-мерного евклидо
ва пространства /?, так что
А& - 9 А. |
(4.9) |
Согласно теореме 4.2 в пространстве R существует ортонормированный базис g = (е1 е2 ...еп), в котором матрица оператора А диагональна и вещественна. Обозначим эту матрицу через Л. Тогда
4 g = gA. |
(4.10) |
Далее, существует ортогональная матрица О, которая преобразует ортонормированный базис g в ортонормированный базис
# = gO. |
(4.11) |
Подставляя (4.11) в (4.9), получаем А $ = $ОАО~г. Сравнивая последнее соотношение с (4.10), находим
Л= ОАО~1= ОАО'.
Всоответствии с этим имеем также
А= 0~lA0 = О'АО.
Из подобия матриц А и А следует, что диагональными элементами матрицы Л служат собственные значения матри цы А.
§ 5. Квадратичные формы
Пусть А — симметрический оператор в я-мерном евк лидовом пространстве /?, а А — матрица этого оператора в некотором ортонормированном базисе g= {ех е%... ej. Матрица симметрического оператора в ортонормированном базисе симметрична {А =
Формы (5.1) и (5.2), которые принято обозначать через А (х, у) и А (л:, х), коротко записываются в виде
А (.х, у) = х'Ау = у'Ах |
(А = {aik% |
(5.3) |
|
А (л:, х) = xfАх. |
(5.4) |
||
Матрица А является |
матрицей |
оператора А в |
базисе |
%— {ег е2 ... e j , ибо, как |
нетрудно проверить, |
|
|
А% = %А.
Определитель матрицы А — det А — называется диск риминантом квадратичной формы А (х, х). Если дискри минант равен нулю, то форма называется сингулярной.
5.1. Замена переменных. В формах (5.3) и (5.4) произ ведем замену переменных:
|
|
х = Т£, |
у = Тк), |
|
(5.5) |
где |
^ и |
Т1 — столбцовые матрицы, составленные |
из ко |
||
ординат |
..., 1п и гЛ, vl2, |
..., rjaсоответственно.Получим |
|||
где |
|
А (х, у) = 6'А ь |
А(х, х) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = |
Г АТ. |
|
(5.6) |
П |
Формула (5.6) связывает матрицу А = |
(cffe) |
формы |
||
ЩкШи с матрицей первоначальной формы |
П |
|
|||
2 |
2 я**ОДь* |
||||
Матрица А преобразованной формы также является симметрической матрицей.
Если Т — невырожденная матрица, то ранг матрицы формы при замене переменных (5.5), как это видно из (5.6), не меняется.
Две симметрические матрицы А и А, связанные друг с другом равенством (5.6), в котором det Т Ф 0, называются конгруэнтными. С каждой квадратичной формой связан целый класс конгруэнтных матриц. Все матрицы данного класса имеют один и тот же ранг, которому равен по опре делению ранг соответствующей формы.
5.2. Закон инерции. Допустим, что квадратичная форма
А(х,х) = х'Ах |
(5.7) |
каким-нибудь способом приведена к виду |
|
|||
|
|
А{х, х) = |
2 |
(5.8) |
где Х{ Ф 0 (i = |
1,2, |
г) и |
|
|
h |
П |
dtkXfc |
(i= 1,2, . . . . г) |
|
= S |
(5.9) |
|||
|
ft—1 |
|
|
|
— независимые линейные формы от переменных |
х2.......хп |
|||
(элементов столбцовой матрицы х). |
|
|||
Обозначим |
|
|
|
|
d{ = {dndv... din)-
Тогда замену переменных (5.9) можно записать так:
l = Dx.
Перейдем к матричной записи и в соотношении (5.8):
Г |
|
А(х, х) = 2 Kx'd(dcx = x'D'ADx. |
(5.10) |
Вычитая из (5.10) равенство (5.7), получаем |
|
х' {D'AD — А) х = 0. |
|
Но последнее равенство при любых значениях xv |
х2, ... |
..., хп справедливо лишь тогда, когда |
|
А = D'AD. |
(5.11) |
Ранг матрицы D типа г X п равен г (матрица D набрана |
|
из г линейно независимых строк dlt d2, ..., dr). Ранг диаго |
|
нальной матрицы А типа г X г также равен г (так как все диагональные элементы %t отличны от нуля). В этих усло виях ранг матрицы D'AD равен числу г. Отсюда в силу ра венства (5.11) может быть сформулирован следующий вывод: число квадратов в представлении (5.8) всегда равно рангу
формы. Более того, имеет место |
|
|
Т е о р е м а 5.1 |
( з а к о н и н е р ц и и |
к в а д р а |
т и ч н ы х ф о р м ) . |
При представлении |
вещественной |
а правая равна
2 а д ! > о . ft=I
Предположение ма доказана.
5.3. Приведение квадратичной формы к главным осям. Рассмотрим произвольную вещественную квадратичную форму
П |
(А = А'). |
А (х, х) = 2 aikX{Xk — х'Ах |
i,k=1
Так как матрица квадратичной формы А является ве щественной симметрической, то существует такая вещест венная ортогональная матрица О, что
СГ1АО = Л = diag (Я1э Х2, . . . , Кп).
Здесь Я,!, Л,2, |
.... К — собственные значения |
матрицы А. |
Учитывая, |
что О- 1 = 0 \ при замене переменных |
|
|
х = 01 |
(5.13) |
получас-м следующее выражение для квадратичной формы:
А (х, х) = £'Л£ = 2 |
Х&1 |
(5.14) |
1=1 |
|
|
Таким образом, справедлива |
квадратичная |
форма |
Т е о р е м а 5.2. Вещественная |
А ( а г , х) — х*Ах всегда может быть приведена посредством ортогонального преобразования координат к канонической форме (5.14), где А,х, Х,2, ..., Хп — собственные значениямат рицы А .
Рассмотрим гиперповерхность второго порядка, задан ную с помощью квадратичной формы:
П
х'Ах = 2 cLikXtXu — с (с —const Ф 0). (5.15) /,А=1
При ортогональном преобразовании координат (5.13) уравнение (5.15) принимает вид
где |
|
|
“^Г = "Т |
8i = sign— |
(в, = 0 при Я, = 0). |
Будем рассматривать матрицу А как матрицу некоторо го симметрического оператора А в некотором ортонормированном базисе & — (gi g а ... gn) евклидова пространства
/?; при этом xv |
х2) ...» хп представляют собой |
координаты |
|
вектора х в базисе #. Тогда А = diag (ЯА, |
Ял) есть мат |
||
рица |
оператора |
А в новом ортонормированием базисе g — |
|
— (ег |
е2 ... еп), |
a \v £а» ■ •» 1« — координаты |
вектора х в |
базисе g. Векторы базиса определяют направления осей координат в пространстве R. Поворот осей координат опре деляется ортогональным преобразованием
8 = &0.
Новые оси являются осями симметрии центральной по верхности (5.15). Оси симметрии поверхности обычно назы ваются главными осями.
В связи с этим приведение квадратичной формы А (х,х)
посредством ортогонального преобразования к канониче ской форме (5.14) называется приведением к главным осям.
Из (5.14) следует, что ранг г формы А (х, х) равен числу не равных нулю собственных значений матрицы А.
Вещественная квадратичная форма А (х, х) называется
неотрицательной (положительно определенной), если при
любых значениях переменных А (х, х) > 0 (А (х, х) > О, х Ф 0). Аналогичным образом определяются неположитель ные (<отрицательно определенные) квадратичные формы.
Из (5.14) видно, что вещественная квадратичная форма А (.х, х) является неотрицательной (положительно опреде ленной) в том и только в том случае, когда все собственные значения матрицы неотрицательны (положительны).
Наконец, соотношение (5.14) позволяет получить сле дующие важные неравенства. Обозначим через Ятах и Ят1-П соответственно максимальное и'минимальное собственные значения матрицы А квадратичной формы А (х, х).
Тогда
2 ^<1/ 2 ^-rnaxii=Ящах2 1*>
2 > 2 ^т1пБ?=^mln2