книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
..pdfв силу (3.4) и (3.5) можно записать в виде
к / к \ п
2 |
2 |
а д |
sv = * 2 xjg,. |
|
||
/=1 |
\I= 1 |
|
/ |
/ - 1 |
|
|
Так как векторы gj (J = |
1,2, ..., 6) линейно независимы, |
|||||
то последнее равенство возможно, если только |
|
|||||
k |
|
|
|
|
п), |
|
сцХ{ = Xxj |
|
(/ = 1 »2 , |
|
|||
i=i |
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
(Сц — X) хг 4“ СцХ2+ |
+ <**** = °. |
1 |
||||
с21х1+ (^22 — |
Х2 + |
“Ь C2kXk ~ |
(3.6) |
|||
CklXl + ^ 2^2 + |
|
|
+ (Ckk— |
Xk = 0 . |
|
|
Для доказательства леммы достаточно показать, что су |
||||||
ществует число X £ di и числа хг, х2, .... |
не |
все равные |
||||
пулю и удовлетворяющие системе (3.6). |
|
|
||||
Условием существования ненулевого |
решения однород |
|||||
ной системы (3.6) является равенство нулю его определи теля:
Сц |
X с12 |
0 |
(3.7) |
c k \ |
Ck2 |
Но (3.7) представляет собой уравнение степени k отно сительно X с коэффициентами из поля комплексных чисел и потому имеет по крайней мере один (вообще говоря, комп
лексный) корень V |
|
|
X — Х0 си |
||
Значит, существует такое число Я0, что |
при |
||||
стема (3.6) |
имеет ненулевое решение |
х}, |
х°, |
х\. |
Чис |
ло Я,0 является собственным значением, а вектор |
|
|
|||
|
*о = x°igi + 4 g2+ |
+ 4 g k |
|
Х0х 0. |
|
— собственным вектором оператора Л,так как Лдг0 = |
|||||
Лемма доказана. |
|
|
|
|
|
Л е м м а |
3.2. Собственные значения эрмитова операто |
||||
ра вещественны.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть х — собственный век тор, a X — соответствующее собственное значение эрмитова оператора Я , так что
Н х = Хх (х ф 0).
Так как Я* = Я , то
(Нх, х) = (х, Н*х) = (х, Нх).
Отсюда
Я, (х, х)= X (х, х ),
и, поскольку (х, х) Ф 0, X = X, что и требовалось доказать.
Л е м м а |
3.3. Пусть Н — эрмитов оператор в п-мер- |
||||
ном унитарном пространстве |
R, а е —его собственный |
||||
вектор. Тогда совокупность R x |
векторов х, |
ортогональных |
|||
к е, есть (п — 1)-мерное |
подпространство, |
инвариантное |
|||
относительно |
оператора |
И. |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Легко проверить, что |
есть |
||||
подпространство пространства |
R. |
|
|
||
Пусть х — произвольный вектор из R. Представим его в виде
■* = «*1+ (•* — *i).
где
|
*г |
(*♦ е) |
е. |
|
|
(е,е) |
|
||
Вектор х г принадлежит одномерному |
подпространству |
|||
I, порожденному вектором е. Вектор же х —х г принадлежит |
||||
подпространству |
Rlt так |
как |
|
|
(х — x v е) = |
(х, е) — (хг, е) = |
(х , е) — {х, е) = 0. |
||
Таким образом, произвольный вектор х |
из R представ- |
|||
ляется в виде суммы двух векторов: х х £ / |
и х — х 1£ Rv |
|||
Значит, R есть прямая сумма подпространств / и R r. По скольку R л-мерно, / одномерно, то, значит, размерность /?! равна п — 1.
Покажем, что Rx инвариантно относительно Н. Пусть х £ Rv так что (х, е) = 0. Тогда
(Нх, е) = (х, Н*е) = (х, Не) = (х, Хе) = X (х, е) = 0.
Это значит, что Нх £ Rlt т. е. оператор Н переводит век торы из /?! в векторы того же подпространства Rv что до казывает инвариантность подпространства R1 относитель но эрмитова оператора Н.
Т е о р е м а 3.1. Б п-мерном унитарном пространстве R существует п попарно ортогональных собственных векто ров эрмитова оператора Н. Соответствующие им собствен ные значения вещественны.
Значит, унитарный оператор сохраняет длину векторов. Выберем в R ортонормированный базис g = (еь е2--еп), и пусть U — матрица унитарного оператора U в этом ба
зисе. Тогда
и& = %и. |
/(3.9) |
Сопряженному оператору U* соответствует в ортонорми рованием базисе сопряженная матрица U*:
{/*g = g£/*. |
(3.10) |
В силу унитарности U
U*L% = UU*% = №
где Е — единичная матрица. С другой стороны, принимая во внимание (3.9) и (3.10), имеем
U U 4 = U&U* = |
g(/l/*, |
|
U*U& = U*%U = |
g l№ . |
|
Следовательно, |
|
(3.11) |
UU* = U*U = E. |
||
Матрица U, обладающая свойством (3.11), называется унитарной матрицей. Таким образом, унитарному опера тору в ортонормированном базисе отвечает унитарная мат
рица. |
|
(elt е2...е„) — |
Пусть U — унитарный оператор в R, a g = |
||
ортонормированный базис в R. Оператор U переводит си |
||
стему векторов в!, е2, |
...» еп в новую систему |
gl9 g 2, ..., g n, |
так что если # = ( £ 1 |
g 2 — gn)> то |
|
|
$ = |
(3.12) |
Принимая во внимание (3.9), из (3.12) находим |
||
# x <9 = [/*g*gtf. |
(3.13) |
|
В силу ортонормированности базиса g g xg = Е. Учиты вая также и соотношение U*U = Е, получаем
= Е.
Значит, унитарный оператор переводит ортонормирован ный базис снова в ортонормированный базис. Из (3.13)
видно, что справедливо и обратное утверждение: |
оператор, |
|
переводящий ортонормированный базис g (gx g = |
Е) в орто |
|
нормированный базис $ |
= Е), унитарен: |
U*U = Е. |
Итак, для того чтобы оператор U был унитарным, необ ходимо и достаточно, чтобы он переводил какой-нибудь ортонормированный базис в ортонормированный базис.
Так как матрица унитарного оператора в ортонормированном базисе является унитарной, а переход от ортонормировацного базиса к другому ортонормированному базису совершается унитарным преобразованием, то матрица пе рехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является унитарной.
З а м е ч а н и е . Пусть $ и # — заданные ортонормированные базисы. Тогда матрица перехода от базиса g к
базису $ в соответствии |
с |
равенством |
|
|
# |
= w |
|
определяется формулой |
|
|
|
/ |
(ffi. ei) |
(ёп, е,) \ |
|
и = g x# = |
(fiV е„) |
(3.14) |
|
\ |
(ёп, О / |
||
3.4. Преобразование эрмитовой матрицы к диагональному виду с помощью унитарной матрицы. Рассмотрим эрмитову матрицу Н порядка п. Будем рассматривать Н как матрицу эрмитова оператора Н в ортонормированном ба зисе $ = (gi gb ••• gtd «-мерного унитарного пространства
R, так что
Н&=&Н. (3.15)
В пространстве R существует ортонормированный базис g = (elt е2...еп), в котором матрица оператора Н диагональна и вещественна (см. п.3.2). Обозначим эту матрицу через Л. Тогда
# g = gA. |
(3.16) |
Далее, существует унитарная матрица £/, которая пре образует ортонормированный базис g в ортонормированный базис
# = |
(3.17) |
Подставляя (3.17) в (3.15), получаем
и% = gин и -1.
Отсюда, сравнивая с (3.16), находим
Л = и н и ~ \
ИЛИ
А = и ни*,
так как в силу унитарности матрицы U U* = £/“ *. Разрешая полученные соотношения относительно мат
рицы Я, имеем
Н= U-'AU = U*AU.
§4. Линейные операторы в евклидовом пространстве
4.1.Транспонированный оператор. Симметрический опе ратор. Рассмотрим л-мерное евклидово пространство R и линейный оператор А в нем.
Оператор А' называется транспонированным по отно
шению к А , если для любых векторов х и у из R
{Ах,у) = (х,А'у).
Аналогично тому, как это было сделано в п. 3.1 для со пряженного оператора, устанавливается существование и единственность транспонированного оператора А' Если elt e2t ..., еп — ортогональный базис, то транспонированный оператор можно определить формулой (см. (3.3))
П
А ’у = И ( у . А е к) е к,
где у — произвольный вектор из R.
Далее, в ортонормированном базисе транспонированным операторам А и А' отвечают транспонированные матрицы А и А' Заметим, что матрица линейного оператора в евк лидовом пространстве вещественна.
Линейный оператор А называется симметрическим, если А' = А. Исследуем свойства собственных векторов и соб ственных значений симметрического оператора А.
При исследовании свойств собственных векторов и соб ственных значений эрмитова оператора в п. 3.2 была ис пользована лемма 3.1. В случае векторного пространства над полем вещественных чисел, вообще говоря, нельзя утвер ждать, что любой линейный оператор в соответствующем инва риантном подпространстве имеет хотя бы один собственный вектор. Однако в отношении симметрического оператора
в евклидовом пространстве такое утверждение справед ливо. Докажем это.
Л е м м а |
4.1. Пусть |
А — симметрический оператор |
|||
в евклидовом пространстве R, |
а I — инвариантное подпро |
||||
странство пространства |
R. |
Тогда оператор А |
имеет в |
||
подпространстве / хотя бы один собственный вектор. |
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
размерность |
подпро |
||
странства / равна kt а # = |
(g± g 2... g£) — ортонормирован- |
||||
ный базис этого подпространства. |
|
|
|||
Произвольный вектор х |
из / представляется в виде |
||||
|
~ XlS l + *2§2 + |
+ Xk8k' |
|
||
Так как / — инвариантное подпространство, то |
A gt £ /, |
||||
и поэтому |
|
|
|
|
|
Agt = C\ig-y-f c2tg2+ |
-f ck{gk |
(i — 1,2, . .. » |
k). (4.1) |
||
Учитывая |
это, получаем |
|
|
|
|
Условие того, что х является собственным вектором опе ратора, отвечающим собственному значению X (Ах = Xx)t приводит к однородной системе алгебраических уравнений
<11*1 + <12*2 + |
+ Clk Xk = |
X x i , |
|
<^21*1 + <"22*2 + |
+ <*2kXk ~ |
^"*2» |
^ 2) |
<Vfel*l+Cfc2*2 + |
+ C kkx k = |
X Хк . . |
|
Условием существования ненулевого решения однород ной системы (4.2) является равенство нулю ее определителя:
11 |
^ |
С12 |
Oik |
|
|
С21 |
^22 — ^ |
с 2к |
(4.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
Ck l |
Ск2 |
c kk — ^ |
|
Для доказательства леммы нужно показать, что урав нение (4.3) (k-й степени относительно X) имеет вещественный корень А,0 и что этому корню отвечает вещественное решение
*!» *5» ...» хк системы (4.2).