книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

билинейная форма (6.4) приводится к виду

Н(х, у) = t'H4 = rfH%

эрмитовой формы.

Определитель матрицы Я — det Я — называется диск­ риминантом формы. Эрмитова форма с вырожденной матри­

— независимые комплексные линейные формы от перемен­ ных xv хг, ..., хп, то, как и для квадратичных форм, число травно рангу формы Я {х, х).

Для эрмитовых форм справедлива следующая теорема, доказательство которой совершенно аналогично доказатель­ ству теоремы 5.1.

формы от переменных xv х2, ..., хп, число положительных квадратов и число отрицательных квадратов не зависит от способа приведения формык указанному виду.

6.3. Приведение эрмитовой формы к главным осям.

Т е о р е м а 6.2. Эрмитова форма

П

Н(х, х) = 2 hikx(xk = х'Нх = х*Н'х

всегда может быть приведена посредством унитарного пре­ образования координат

где Л.х, Я2> Хп — собственные значения матрицы Н.

Справедливость теоремы следует из того, что (см. п. 3.4) эрмитова матрица Н' унитарно подобна диагональной мат­ рице Л', по диагонали которой расположены собственные значения матрицы Я:

Я' =и м и -' = ими*.

В самом деле,

(неположительной), если при любых значениях переменных

Из (6.5) видно, что эрмитова форма неотрицательна (по­ ложительно определенна) в том и только в том случае, ког­ да все собственные значения эрмитовой матрицы И неотри­ цательны (положительны).

Наконец, из (6.5) непосредственно следуют неравенства

где ^min и Xmax — соответственно минимальное и макси­ мальное собственные значения матрицы Я.

а х*х представляет в свою очередь квадрат эрмитовой нор­ мы столбцовой матрицы л:, получаем

Я-inin ЦХ^ ^ Х*Н X^

Г л а в а XIV

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОЦЕССОВ НА ЗАДАННОМ ПРОМЕЖУТКЕ ВРЕМЕНИ

§ 1. Предварительные замечания

Понятие об устойчивости является одним из наиболее важных понятий, с которыми приходится сталкиваться при изучении различных процессов, происходящих в реаль­ ной действительности. В самых разнообразных областях че­ ловеческой деятельности: в физике, технике, экономике и т. п.— возникает потребность в анализе свойств прочности, неподатливости процессов, их способности противодейство­ вать всякого рода возмущениям, и это определяет то при­ стальное внимание, которое оказывалось и оказывается проблеме устойчивости исследователями прошлого и настоя­ щего.

Что такое «устойчивость», что понимать под «устойчи­ востью», какой математической или иной формулировкой определить это понятие? Эти вопросы, естественно, возни­ кают в первую очередь перед каждым, изучающим качество процесса.

Интуиция подсказывает, что понятие устойчивости долж­ но содержать во всяком случае следующую концепцию: процесс устойчив, если малые воздействия на него приводят

вости не может быть использовано при решении каких-либо практических задач. Для этих целей требуется математи­ чески строгое определение понятия устойчивости, которое, с одной стороны, с наибольшей полнотой характеризо­ вало бы устойчивость как объективное качество процесса, а с другой стороны, допускало бы возможность построения

удобного рабочего аппарата для изучения свойств прочнос­ ти изучаемого процесса вплоть до установления рабочих критериев устойчивости и неустойчивости процесса.

В настоящее время известно довольно большое число более или менее существенно отличающихся друг от друга определений устойчивости. Это можно объяснить и оправ­ дать тем, что процессы, с которыми сталкиваются исследо­ ватели, чрезвычайно разнообразны, они не допускают еди­ ной абстрактной модели и единой оценки «потребительской стоимости» их свойств и характеристик. В этих условиях, по-видимому, невозможно введение такого понятия устой­ чивости, которое всегда и полностью удовлетворяло бы потребностям жизни и было бы принято всеми как единст­ венно верное.

§ 2. О некоторых постановках задачи об устойчивости движения

2,1. Понятие устойчивости по Ляпунову. Рассмотрим динамическую систему, движение которой описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, пред­ ставленными одним векторным уравнением

г1г z2f ..., гп — некоторых параметров движения, / — столб­ цовая функциональная матрица, непрерывная по t и диф­ ференцируемая по z.

Каждое решение z (t) уравнения (2.1) представляет не­ которое частное движение динамической системы. Рассмот­ рим какое-нибудь частное движение системы, которому от­ вечает решение z° (t) уравнения (2.1). Это частное движение Ляпунов называет «невозмущенным движением» в отличие от других, «возмущенных движений» системы.

Ляпунов дает следующее определение устойчивости не­ возмущенного движения 130]:

Пусть Llf L2, ..., Ln суть произвольно задаваемые поло­ жительные числа. Если при всяких Ls, как бы они малы ни были, могут бытьвыбираемыположительные числа £ х, £ 2, ...

..., Еп так, чтобы при всяких вещественных z(0 = zt (to), удовлетворяющих условиям

Полагая

h(i, X) =f(t, 2°+x)-f(t>Z°)~ af-% — X

вместо (2.5) будем иметь

Следуя терминологии, введенной Ляпуновым, уравнение (2.6) будем называть уравнением возмущенного движения. Применительно к уравнению возмущенного движения усло­ вия устойчивости невозмущенного движения (2.2) и (2.3) в определении Ляпунова приобретают соответственно вид:

В «.-мерном пространстве векторов х с введенной в нем системой координат xlt х2, ..., хп задается параллелепипед с центром в начале координат {х = 0) и с гранями, параллель­ ными координатным плоскостям (рис. 14.1). Величина гра­ ней определяется числами 2Llt 2L2, ..., 2Ln. Эти числа за­ даются произвольным образом и могут быть как угодно малыми (но не равными нулю). Если для данного паралле­ лепипеда возможно построить другой параллелепипед с

параллелепипеда, если их начальные значения, т. е. Х/о, находились внутри второго параллелепипеда, то невозму-' щенное движение по отношению к величинам xt устойчиво.

Область предельных отклонений xt определена здесь в форме я-мерного параллелепипеда. Но не обязательно имен­

но в такой форме задавать эту область. Постановка задачи устойчивости по Ляпунову допускает довольно широкий произвол в выборе областей предельных отклонений. Так,

в редакции Н. Г. Четаева 158] понятие устойчивости по Ля­ пунову представляется в следующей формулировке:

Если при всяком произвольно заданном положительном числе е, как бы оно мало ни было, может быть выбрано по­ ложительное число б (е, t0) так, чтобы при всяких началь­ ных возмущениях х (t0), удовлетворяющихусловию

ид и < 6 ,

ипри всяком t, превосходящем t0, выполнялось неравенство

\\х{Щ<^

то невозмущенное движение (тривиальное решение уравне­ ния (2.5)) называется устойчивым по Ляпунову; в противном случае — неустойчивым.

Здесь область предельных отклонений задается в форме я-мерного шара радиуса е.

В теории устойчивости по Ляпунову вводится также по­ нятие асимптотической устойчивости:

Невозмущенное движение (тривиальное решение уравне­ ния (2.5)) называется асимптотически устойчивым, если: а) оно устойчиво по Ляпунову и б) для любого t0 £ (а, оо) существует такое б ■= 6 (4) > 0, что все решения х = х (/),

удовлетворяющие условию

И * о ) ! < 3»

обладают свойством

lim| а:(/)|| — 0.

/-*■оо

2.2. Понятия устойчивости движения на конечном про* межутке времени. При рассмотрении реальных объектов нас обычно интересует их поведение в течение некоторого конеч­ ного промежутка времени, поэтому естественно желать, что­ бы устойчивость процесса (в частности, устойчивость дви­ жения) как характеристика качества процесса отражала бы его определенные свойства на этом конечном промежутке времени.

В определении устойчивости по Ляпунову ограничение отклонений xt на бесконечном интервале времени условием (2.8) является существенным моментом. Если перейти к ограничениям на конечном промежутке, даже сколь угодно большом, всякий смысл в определении устойчивости те­ ряется, поскольку при непрерывных правых частях урав­ нений возмущенного движения на любом конечном про­ межутке времени условия (2.7) и (2.8) соблюдаются всегда.

Тем не менее в некоторых случаях, например в случае линейной автономной системы, свойства процесса в течение конечного промежутка и бесконечного (при t -> со) нахо­ дятся в тесной взаимосвязи, и поэтому при исследовании таких систем, если даже рассматриваемый промежуток времени конечен, может быть использовано понятие устой­ чивости, введенное для бесконечного промежутка времени, полагая, например, что процесс устойчив на заданном ко­ нечном промежутке времени, если он устойчив по Ляпу­ нову, и неустойчив на заданном конечном промежутке, если он неустойчив по Ляпунову. Установление с доста­ точным основанием такого соответствия возможно все же в исключительных случаях. В общем случае понятие устой­ чивости, введенное для бесконечного промежутка, не может быть использовано для оценки свойств в пределах конечно­ го промежутка времени, и вот почему.

Задача устойчивости реальных процессов сводится к исследованию решений некоторых систем дифференциаль­ ных, интегро-дифференциальных или другого типа уравне­ ний, поэтому исследование устойчивости процесса путем

анализа решений соответствующих уравнений имеет смысл лишь при условии в достаточной мере адекватности мате­ матической модели физической реальности. Часто такая адекватность выполняется в пределах только конечного про­ межутка времени, и тогда свойства решений уравнений при t с» не имеют никакого отношения к свойствам рас­ сматриваемого процесса. Но даже если адекватность со­ блюдается при всех t ;> t0, это еще не означает, что между понятиями устойчивости на конечном и бесконечном про­ межутках времени возможно установить разумное взаимно однозначное соответствие.

В самом деле, решения двух векторных уравнений

с тем может случиться, что, например, тривиальное решение первого уравнения устойчиво по Ляпунову, а тривиаль­ ное решение второго уравнения неустойчиво, поскольку

введения самостоятельного понятия устойчивости процесса на конечном промежутке времени.

Определение устойчивости на конечном промежутке вре­ мени, по-видимому, впервые было дано Н. Г. Четаевым [57J. В настоящее время известно несколько отличающихся друг от друга постановок задачи устойчивости на конечном про­ межутке времени. Общим для всех постановок является введение определенной функциональной связи между облас­ тями предельных отклонений в начальный момент /0 и при

t0 в пределах конечного (наперед заданного или не­ заданного) промежутка времени. Различие же между ними проявляется, во-первых, в характере ограничений, налагае­ мых на отклонения параметров процесса, и, во-вторых, в форме и характере изменения во времени области предель­

Н. Д. Моисеев устойчивость механической системы (так на­ зываемую «техническую устойчивость») определяет так (нижеследующее определение Н. Д. Моисеева приводится

в формулировке Г. Н. Дубошина [161 с некоторыми упро­ щениями):

называется обладающим технической устойчивостью отно­ сительно заданных верхних пределов начальных отклонений ps0 > 0 и заданных верхних пределов последующих откло­ нений ps !> 0 на заданном сегменте значений 0 < / < 7 в том и только в том случае, если всякое решение х$= хь (t) системы уравнений (2.9) при всяких начальных значениях xso = xs (0), удовлетворяющих условиям

будет удовлетворять условиям

для всех t, не превышающих Т.

В приведенном определении устойчивости ps0, ps, ха­ рактеризующие размеры области предельных отклонений, рассматриваются как известные, наперед заданные конкрет1 ные числовые величины (или функции).

К определению устойчивости Н. Д. Моисеева примыкает другое определение [59 ]:

Невозмущенное движение (или другой процесс) называет­ ся устойчивым относительно заданных в и С на конечном промежутке времени t0С / •< Т, если при t = t0 выполняет­ ся неравенство

S

а при всех t из промежутка t0 ■< t •< Т будет выполняться неравенство

S

Иногда вместо знака С в ограничениях принимается знак строгого неравенства [831.

Здесь е и С, посредством которых вводится ограничение на отклонения xs, также считаются известными, заданными.

В приведенных определениях устойчивости принятый способ задания области предельных отклонений вносит в