книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

Интегрируя последнее соотношение в пределах от t0 до

именуемые часто неравенствами Важевского [821.

Оценка (1.3) нормы решения дифференциальной системы (1.1), вообще говоря, тем лучше, чем «ближе» матрица V

кдиагональной. Это наводит на мысль, что оценка нормы решения может быть улучшена, если прибегнуть к такому преобразованию, которое «приблизило» бы матрицу системы

кдиагональной матрице (а еще лучше, разумеется, если преобразованная система будет иметь диагональную матри­ цу). Ниже делается попытка улучшения оценки нормы ре­ шения дифференциальной системы указанным путем.

1.2.Две леммы о собственных значениях эрмитовой мат­

рицы.

Л е м м а 1.1. Для того чтобы эрмитова матрица А (порядка п) была представима в виде

где В — некоторая, вообще говоря, прямоугольная п х т- матрица, необходимо и достаточно, чтобы она не имела отрицательных собственных значений.

Н е о б х о д и м о с т ь . Матрица А , как эрмитова мат­ рица, имеет только вещественные собственные значения. Покажем, что все собственные значения матрицы А неотри­ цательны.

которая преобразует эрмитову матрицу А к диагональному

где

(1.8). Тогда в качестве матрицы Я можно принять матрицу

При этом, как это следует из равенства (1.6), Лемма доказана.

Л е м м а 1.2. Пусть А (t) — эрмитова матрица nor рядка п, допускающая на промежутке tQ•< t < Т разложе­ ние

А = Я*Я,

где В — квадратная матрица того же порядка п, причем

Тогда собственные значения матрицы А на промежутке [/0*Т) ограничены снизу некоторой положительной постоян­ ной, т. е.

матрицы равен произведению всех ее собственных значений

а преобразование (1.12) при этом называется преобразова­ нием Ляпунова.

Допустим, что с помощью преобразования (1.12) уравне­

Оценим норму решения х (/) уравнения (1.1), удовлетво­ ряющего начальному условию

я(^о) = По­

этому решению соответствует решение у (t) уравнения (1.13), отвечающее начальному условию

У(Q — Уо~ К ^о)Не­

согласно (1.12)

I x f = у*К*Ку.

где Pmin и ртах — соответственно наименьшее и наибольшее

где A,min, Я-max — соответственно минимальное и максималь­ ное собственные значения матрицы l/2 (A -f- A*), a vmjn, Vmax — соответственно минимальное и максимальное собст­ венные значения матрицы Va (Я + Я*). Неравенства (1.15) устанавливаются тем же путем, что и неравенства (1.3).

При удачном выборе преобразования (1.12), когда Л «близка» к диагональной матрице, а Я — к нулевой, оцен­ ки (1.18) могут оказаться существенно лучше, чем оцен­ ки (1.3).

1.4. Условия устойчивости. Класс Kt п X л-матриц, фигурирующий в определении устойчивости на заданном промежутке А, определим, приняв со (/) = 1.

Ясно, что единичная матрица Е принадлежит классу

/Сд, так что условия устойчивости будут соблюдены, если все решения х (t), удовлетворяющие неравенству

Ы К р ,

удовлетворяют на заданном промежутке Я0, Т) неравенству

где X — единственное решение матричного уравнения

Д о к а з а т е л ь с т в о . При замене переменных (2.1), (2.4) уравнение (2.2) принимает вид

непрерывна на И0, Т) и имеет диагональную структуру. Пусть, далее, К (t) — матрица преобразования (2.1),

приводящего уравнение (2.2) к виду (2.3). Тогда эта матри­ ца представима в форме (2.4). В самом деле, матрица К пре­ образования уравнения (2.1) связана с матрицами U и Л соотношением кинематического подобия

i§ - = U K - K A .

г Учитывая это и используя (2.5) и (2.7), легко пока­ зать, что

4(X-'KZ-1) = 0.

т.е. X~lKZ~x — const. Отсюда следует (2.4). Теорема доказана.

Из всего множества матриц К, определенных равенством

(2.4), можно выделить подмножество тех, столбцы которых имеют заданную норму. Имея в виду, что С= (сх са ... сп) (са — столбцовые матрицы), a Z в общем случае может быть представлена в виде

Z = diag (г ^ 6*, гйе1\ . . . , rneidn),

где га (t) и 0ff (/) — непрерывно дифференцируемые веще­ ственные скалярные функции, причем га (0 > 0 (а — 1, 2, ..., п) при всех t из промежутка [?„, Т), в соответствии с

для матрицы преобразования уравнения (2.2) к виду (2.3) представляется соотношением

Эти соотношения получаются путем подстановки (2.9)

в(2.7).

§3. Пучок решений линейной системы

Построим пучок решений векторно-матричного уравне­ ния (2.2), берущих начало внутри и на поверхности эллип­ соида

где # 0 — постоянная квадратная матрица порядка п, столб­ цы которой имеют норму, равную со° > 0.

Пусть

— преобразование, приводящее (2.2) к диагональному виду

где а (f) — непрерывно дифференцируемая положительная функция, причем

а ( /0) = сй°.

Матрица К (t) с указанными свойствами существует, ибо постоянную матрицу С всегда можно выбрать так, чтобы

K(tQ) = X(t0)CZ(tQ= H0.

В соответствии с (3.2) и (3.3) t

и определяет пучок решений уравнения (2.2), берущих на­ чало (при t = 4) внутри и на поверхности эллипсоида (3.1).

Разрешая (3.4) относительно у0 и подставляя выражение для у0 в (3.5), получаем

где

t

В (t) = к (0 exp j 2 Re Л (t) dt К*(t).

to

Введем теперь в рассмотрение квадратную п X п-маТри- цу Я (t) = (hlt hz, ...» hn), определенную равенством

при условии, что все ее столбцы при каждом t имеют одну и ту же норму.

Полагая

Здесь

t

М 0 = -7 -г г .( ReXa{0<«.

f *о У

Легко видеть, что

®о(^о) ~ а W ~ ®°» я ( д = /С(/0) = я 0.

Таким образом, пучок решений уравнения (2.2), беру­ щих начало внутри и на поверхности эллипсоида (3.1), представляется соотношением

§ 4. Теоремы об устойчивости линейной системы

Класс Ка — матриц в п. 1.4 настоящей главы был опре­ делен условием ю (f) as 1. В данном параграфе, исполь­ зуя соотношение (3.8), выясним условия устойчивости линейной системы на заданном промежутке времени, рассмат­

ривая К& как класс, определенный заданной положитель­ ной функцией со (t) (не обязательно постоянной).

Если

то всегда можно построить рм-трубку, пределы которой не покидает ни одно из тех решений уравнения (2.2), которые принадлежат пучку (3.9). В самом деле, рассмотрим, на­ пример, рш-трубку

где G = — Я, а Я — матрица, определенная условием (3.7). (О0

Очевидно, G € Kt- Пусть х° (/) — какое-нибудь решение уравнения (2.2), принадлежащее пучку (3.9). Тогда

(<ЗГ'х°, G - ' ^ X P *.

а это означает, что решение х° (/) в пределах промежутка \{щ, Т) не покидает пределов рш-трубки (4.1).