книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
..pdfД о к а з а т е л ь с т в о - При условии (3.12) существует такое 6 :> 0, что в пределах промежутка [t0, Т)
t
exp J 2<р (Г, у (/')) dt' — 1 •< — 26 (/ — 10). fo
С другой стороны, принимая во внимание (3.11), можно
указать такое р0 > |
0, что при всех у, удовлетворяющих |
||||
неравенству | у || < |
р0, будем иметь |
|ч|> (t, у) [ < |
26, |
и тогда |
|
V (t, х) < |
V (t0, xQ), а это означает, что любое решение урав |
||||
нения (1.4), которое удовлетворяет условию |
V (/0. *0) •< |
||||
С р2, где |
р произвольное положительное число из |
проме |
|||
жутка 0 < |
р < р0, в пределах промежутка U0, |
Т) |
удовле |
||
творяет условию V (t, х) С р2, что и доказывает теорему. |
|||||
С л е д с т в и е . |
Если |
|
|
|
|
|
Ы 0 + |
'Vmax ( 0 < 0 |
(<6[/„Т)), |
|
|
то невозмущенный процесс (тривиальное решение уравнения (1.4)) обладает устойчивостью на заданном промежутке U0, Т) по отношению к области (3.3).
Для линейного процесса (h (t, х) = |
0) имеет место почти |
очевидная |
|
Т е о р е м а 3.4. Если |
|
t |
|
Т Г Г ^ Ц 1Ио ( П + V m .x ( Щ <й' < 0 |
( / 6 [<„,Т)), |
то линейный процесс (тривиальное решение уравнения (1.3)) обладает устойчивостью на заданном промежутке U0, Т) по отношению к области (3,3).
члены которых — на промежутке 0 < т < 1 |
нужное число |
|||||||||
раз дифференцируемые функции отт; |
|
|
|
|
||||||
f (£, т, |
е) — вектор-функция |
(столбцовая |
матрица), |
не- |
||||||
прерывная |
при |
т £ [0, L 1; t £ |
О, - f ] (8 > |
0) и |
регуляр- |
|||||
ная относительно е в окрестности точки е = |
0. |
|
|
|||||||
Матрица А (т, е) предполагается |
регулярной |
функцией |
||||||||
от е, причем det А (т, 0) Ф 0 (т £ [0, |
L)]. |
|
|
|
||||||
Уравнение (1) допускает формальное решение, опреде |
||||||||||
ленное равенствами |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
х = К ( т, е)у, - ^ - = |
А(т, е)£ + Л1(т, е)Я(т, s)f{t, т, е), |
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К (т,е) = |
/С(т)4- |
2 |
е ^ [&](т), |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
/г-1 |
|
|
|
|
|
|
М (т, е) = |
|
|
со |
|
|
|
|
||
|
М (т) + 2 |
skM'ki(т), |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
A=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
А (т, е) = |
А (т) + |
2 |
е*Л[А] (т), |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Й=1 |
|
|
|
|
|
|
R (т, е) = |
Ао 1(т) + 2 еАЯ* (т), |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
А=1 |
|
|
|
|
|
A(T) = M(T)t/(T)A-(T), |
|
= |
|
М = |
К~ 1. |
|
||||
В соответствии с этим приближенное решение хтуравне |
||||||||||
ния (1) представляется так: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
*)Ут |
|
|
(2) |
|
-^ ■ = |
Л,т|(т, е)й „ + |
Л1ст*(X, е)Я(т>(х, е)/(/, |
т, е). |
(3) |
||||||
Здесь |
|
|
|
/п |
|
|
|
|
|
|
К[т](т,е) = К(т)+ |
S |
8‘К 14 (т), |
|
|
|
|||||
|
|
|
А=1 |
|
|
|
|
|
|
|
М1т)(т, е) = |
М (т) + |
т |
е*Л^А1 (т), |
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
к=»\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
Л(т| (х, е) = |
Л (х) + |
2 |
8‘Л1*1 (х), |
|
|
|
||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
Д(т) (т, е) = |
v4o 1(Т) + |
2 |
|
(т), |
|
|
|
|||
|
|
|
|
*=1 |
|
|
|
|
|
|
Для установления асимптотических свойств построен ного таким образом приближенного решения воспользуем ся методом Н. Н. Боголюбова 14], который неоднократно применялся для тех же целей в работах и других авторов [13, 52]. В соответствии с основной идеей этого метода
К{т) (т, е) будем рассматривать как матрицу некоторого преобразования переменных в уравнении (1):
* = К ш (Т, е) у. |
(5) |
В результате подстановки (5) в (1) получаем
А{т, е)К (т)(т, е ) -§ - = |
|
|
|
||
В (т, е) К1т)(т, е) — еА (т, е) йК' |
9 + fV, т, е). |
(6) |
|||
С другой стороны, имеем (см. гл. V III, |
§ 2) |
|
|
||
еА (т, в) |
+ |
А (т, е) к (Т, 8) А (т, 8) = В (т, |
е) К (т, е), |
||
и, значит, |
|
|
|
|
|
вА(т, е) rf/CCm) (Т, 8) |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
= В(т, в) /С(> , |
в) - |
А (т, в) Кы (т, в) Л|т>(т, в) — em+l/V1(T, в), |
|||
|
|
|
|
|
(7) |
где N±— матрица, |
регулярная относительно в в окрест |
||||
ности точки е = 0. |
|
|
|
|
|
Используя (7), уравнение (6) представим так: |
|
|
|||
л (т ,б )/е ‘га1(т, |
в ) - § - |
= |
|
|
|
= А (т, 8) Кт (т, 8) Ат (Т, 8) у + БШ+1Л/1 (Т, 8) # + |
/ (*, Т, |
в). |
|||
|
|
|
|
|
(8) |
Матрица /С(т) (т, е) является регулярной функцией от
е, причем Кш (т, 0) = К (т) — невырожденная матрица. Поэтому существует такое положительное число е0, что
при е < е0 К{т) (т, е) — невырожденная матрица. Предпо лагая, что 8 •< е0, умножим обе части уравнения (8) слева
на /С<т> 1 е) (т, е). Получим, учитывая еще, что по
построению R (т, е) А (т, е) = Ет |
|
-%■ = Л(я) (х, е)у + еп+'к т ~' (х, е) R (т, е) ЛГ, (х, е)у + |
|
+ К{т)~' (х, е) R (х, е) / (1, т, е). |
(9) |
Вычитая из (5) равенство (2), имеем |
|
х — хт = К{т)(т, е) (у — 0 J . |
|
Отсюда |
|
|
а») |
Таким образом, задача по оценке нормы разности х — хт сводится к оценке нормы столбцовой матрицы г — у — ут, которая, как это следует из равенств (3) и (9), удовлетво ряет уравнению
- ^ - = Л(т)(х, е) 2 +
+ |
(т, |
8) R (т, е) - М(т>(х, е) RM (х, 8)] / (I, х, е) + |
|
|
+ е'”+1/С<"*>-1 (х, e) R (х, е) N, (х, е) у. (И) |
Оценку погрешности приближенного решения проведем |
||
раздельно |
для |
промежутков 0 < T < L и |
(L, tv t2— фиксированные числа).
А с и м п т о т и ч е с к а я о ц е н к а н а п р о м е
ж у т к е |
0 < T < L . |
Запишем (9) в виде |
|
|
|
- f - = |
A<",)4f + e'"+W29 + |
lVs. |
(12) |
Здесь N2, |
Nз — матрицы, регулярные |
относительно |
г в |
|
окрестности е = 0. |
|
L 1 решение |
у (/) |
|
Оценим сначала на промежутке 10, |
||||
однородного уравнения |
|
|
||
|
|
= А™у + 8"+W rf, |
|
(13) |
начальное значение которого ограничено условием |
|
|||
№(0)11<*о- Перегруппируем слагаемые правой части (13), прини
мая во внимание (4). Будем иметь
4 г = Лу + eNj/, |
(14) |
где
N,== &mN2. k=\
Из (14), перейдя к сопряженным выражениям, получаем
= у*А* + *y*N\. |
(15) |
Уравнение (14), умноженное слева |
на #*, сложим с |
(15), умноженным справа на у . В результате приходим к
следующему дифференциальному уравнению относительно |
|||
нормы столбцовой матрицы у: |
|
|
|
■ l№ -= y*(A + A*)y + b f(N t + N\)y. |
(16) |
||
Поскольку Л -f- Л* —*эрмитова матрица, то |
|
||
у*(Л + |
Л * )0 < 2 ,л |Ы |2, |
(17) |
|
где р — наибольшее |
собственное |
значение |
матрицы |
72(Л + Л*). |
|
|
|
Далее, при заданных ег >• 0 (е2 < |
е0) и при данном но |
||
мере приближения т можно указать такое |
не зависящее от |
||||
е постоянное число |
alt что для всех |
т £ [О, L] и |
е •< |
||
|
|ЛМ |<«1- |
|
|
(18) |
|
Принимая во внимание (17) и (18), из (16) получаем |
|||||
<{Р + еах) IУ\\ |
(е < ех). |
|
|||
Отсюда |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
SУ(О II < II у (0) IIexp J (р + |
еаг) dt = |
|
|
|
|
8 8 IIУ(0)|ехр |
J |
p d / j < ||0 (O)||exp |
-f J p $ j . |
||
Итак, |
|
|
|
|
|
Iff V) l< |
Iff (0) 1exp ( axL + j Цdt |
(19) |
|||
Вели на сегменте [0, L ] все собственные |
значения эрми |
||||
товой матрицы 7г (Л Н- А*) неположительны, то |
|
||||
| ц Л < 0 |
|
«6 01±е |
(0> ei ) ) » |
(20) |
|
и, значит,
IIУW II < IIУ(0) || exp (atL) < с0exp (axL) ==с
Таким образом» имеет место следующая
Л е м м а 1. Пусть на сегменте 0 т •< L все собствен ные значения эрмитовой матрицы V2(A -f- А*) неположи тельны. Тогда существуют положительные числа с и (бх С е0) такие, что любое решение у (t) однородного урав нения (13), начальное значение которого ограничено условием
№ (0)1<*о,
удовлетворяет неравенству
\ y ( t ) К с |
М °--г|- |
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (12). Также, как и для однородного уравнения, легко получить сле дующее дифференциальное уравнение относительно нормы столбцовой матрицы у (t):
---у* (Л + л*) y + t f (N, + К ) у + y*Nt + Nig.
(21)
В силу свойств матрицы Ns существует такое положи тельное число а3, что при всех т £ [0, L] и в <с ех
II ^3 А
Учитывая и эту оценку, из (21) имеем
^ |
^ < ( p + |
ea1)||p|| + |
a3. |
|
Отсюда |
t |
|
|
|
IIУ(0II< \ у (0) ||exp |
|
|
|
|
1(р + гах)dt + |
|
|
||
|
о |
t |
|
|
|
t |
e a j dfdt* |
|
|
|
+ а„ f exp j (р + |
(22) |
||
|
6 |
v |
|
|
Если на сегменте 0 < т < 1 все собственные значения эрмитовой матрицы V* (Л -f- Л*) неположительны, то,
учитывая (20), |
имеем из (2 2 ) |
|
t |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
IIУ(0 II < IIУ(0) II exp (atx) + |
а3exp (Hjt) J e~*aJ' dt' < |
||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
< |
exp (а,т) (1р (0 )]+ a,t). |
||
Отсюда следует |
|
|
|
|
|
||
Л е м м а |
2. Пусть на [0, L] все собственные значения |
||||||
эрмитовой матрицы V2 (А -f* А*) |
неположительны. Тогда |
||||||
существует положительное число г1 ^ |
е0 такое, что любое |
||||||
решение у (t) неоднородного уравнения (12), |
начальное зна |
||||||
чение которого ограничено условием |
|
|
|
||||
допускает |
|
II9 (0) | < с,, |
|
|
|
||
оценку |
|
|
|
|
|
||
|
|
II9 (О II < |
ехр (агЦ (с„ + |
ast). |
(23) |
||
Теперь |
оценим норму решения |
г = у — ут уравнения |
|||||
(11). В этом уравнении |
|
|
|
|
|
||
так что |
|
K™~'R — M{m)R{m) = 0 (е^+О, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Л(га)г + |
6-"+' а |
д |
+ а д |
(24) |
|
(N6— матрица, регулярная |
относительно в |
в окрестности |
|||||
точки е = |
0). |
|
|
|
|
|
|
Уравнение (24) представимо в виде |
|
|
|||||
. |
|
т |
|
|
|
|
|
- 2 - = |
Лг + е 2 |
е*-1А[Чг + |
е"'+> ( а д |
+ а д . |
|||
Используя последнее соотношение, получим следующее дифференциальное уравнение относительно нормы столб цовой матрицы г:
-Щ Е - = |
г* (Л + А*) 2 + 82* ( S |
е*-‘Л[А] + 2 |
/ |
г + |
||||||
“ |
|
|
|
'ft~i |
|
|
k=i |
|
||
|
|
+ |
em+l [г* ( а д |
+ |
а д |
+ |
(0 *л6 + а д г]. |
(25) |
||
При |
заданных |
>■ 0 |
(ех •< в0), |
L > |
0 существуют |
по |
||||
ложительные постоянные |
ait |
аь, |
aQ такие, что |
при |
всех |
|||||
т £ [О, L] и |
е < |
вх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
I I П с а , , . |
(26) |
|
|
2 |
е‘- 'Л № |
II |
|
II |
й&| |
||||
|
t=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принимая во внимание неравенства (26), из (25) полу чаем
- ^ < 2 ц ( г Р |
+ |
2га,№ + 2г“ + Ч г |(а ,|у | +а,)_ |
|
||||||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-^ЗГ - < |
(И + |
еа4) Iг || + |
г"+1(аь||#|| + аа). |
|
|||||
Отсюда |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
г (О IIСII2 (0) || exp |
4- sa4) dt -f- |
|
|
||||||
f(p |
|
|
|||||||
|
|
6 t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
+ e«+1J (ab||y|| + aQ)exp J (p + ea4) dt"dt\ |
(27) |
|||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
r |
|
Если все |
собственные |
значения |
матрицы 1/2 (Л + |
А*) |
|||||
неположительны, |
то, учитывая |
(23), |
имеем |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
l |
i |
|
|
z (/)||< I г (0)Iехр (о4т) + |
ета7f exp j |
га^йТШ' < |
|
||||||
|
|
|
< |
|
6 |
v |
|
|
|
где |
|
|
IJ z (0) I exp (Q4L) -f em~la7L exp (a4x), |
||||||
CL-j — Я5 (бЯд 4* ^3^) 6Xp (fl^) l |
|
||||||||
|
|
||||||||
Отсюда следует |
|
|
|
|
|
|
|||
Л е м м а |
3. |
Пусть |
|
|
|
|
|
||
|
\\ут <с0, |
||г (0)||C em_1c10 |
|
||||||
и на [0, L] |
все собственные значения эрмитовой матрицы |
||||||||
72 (Л -|- Л*) |
неположительны. Тогда существуют положи |
||||||||
тельные числа Ej < |
в0 и сх такие, что |
|
|
||||||
И О Ц С е " - ^ |
|
|
|
|
|
(28) |
|||
Из вышеизложенного |
вытекает |
|
|
||||||
Т е о р е м а |
1. |
Пусть |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
х{0)=*хт{0) |
|
|
|||
и на промежутке 0 < т < |
|
L все собственные значения эрми |
|||||||
товой матрицы V2 (Л + |
А*) неположительны. Тогда при |
||||||||
некоторых постоянных ех > |
0 и ст> |
0 имеет место оценка |
|||||||
l ! * ( 0 - - U 0 l l < s 'n-4 n |
|
|
е 6 (0, h) |
|
|||||
В самом деле, согласно |
(10) и (28) |
|||
I* - |
К |
I |
I И |
< *”- 11 /С'” ’Iс, = е ^ с т. |
Если / (/, т, |
е) == 0, то |
оценка (23) принимает вид |
||
| 0 (О ! < с оехр (агЬ),
так как в данном случае можно положить а3 = 0, и в со ответствии с этим вместо (29) для однородной дифференци альной системы получаем оценку
*(0 —Хт(01 < 8”Чл |
|
|
|
|
в 6(0, е,)) |
.(30) |
||||||
А с и м п т о т и ч е с к а я |
о ц е н к а |
н а |
п р о |
|||||||||
м е ж у т к е |
tx |
t |
■< /2. |
Из |
непрерывности |
матрицы |
||||||
V«(A (т) + Л* (т)) на [0, L 1 следует ограниченность ее соб |
||||||||||||
ственных |
значений. |
Поэтому при |
фиксированном |
е2 £ |
||||||||
£ (0, ех) существует такое число а2, что |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(31) |
Следовательно |
(см. |
(19)), |
|
|
|
|
|
|
||||
1У(ОI < IIУ(0) |exp (a,L + аа) |
(<6[о. ~ \ ) |
|
||||||||||
и тем более |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IIУ( 0 II < |
с0exP (aj- + |
а2) = |
с |
£ |
|
|
|
|||||
Таким образом, имеет место |
|
положительное число |
||||||||||
Л е м м а |
4. |
Существует такое |
||||||||||
ei *< So. чт° для каждого |
фиксированного числа |
еа £ (0, |
||||||||||
можно указать такое с >■ 0, |
что любое решение у (f) одно |
|||||||||||
родного уравнения (14), |
начальное значение которого ограни |
|||||||||||
чено условием |
|
|
|
УФ )\\<с0, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
будет удовлетворять неравенству |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
II 0(9 К |
с |
|
|
|
|
|
|
|
||
Обратимся теперь к неравенству (22). |
|
|
|
|||||||||
При |
фиксированном |
е2 (еа £ (0, |
e j), |
учитывая |
(31), |
|||||||
находим |
|
|
|
|
( |
|
|
t |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1У(О U< |
exp {а%+ |
т4) (1 у (0) j] + |
а8j |
exp J (р -|- zajdfdt' |
||||||||
|
|
|
|
|
\ |
|
|
6 |
v |
|
|
|