книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
..pdfВ соответствии с условием (6.2) |
|
limijj (*, #) — 0. |
(6.13) |
у-*-0 |
|
Пусть по-прежнему |
|
р0 (0 = maXa(ReXff(/)), |
|
a vmax (t) — максимальное собственное значение |
эрмито |
вой матрицы Р. |
|
Те о р е м а 6.3. Пусть на промежутке 1/0, Т)
а(/) < ы(/)
и
i
Т~Г% I |
•<*•(Г) |
+ |
|
(О ] |
|
|
||||
|
|
fo |
|
|
|
|
|
|
|
|
где b — положительное число. |
Тогда |
невозмущенный про- |
||||||||
цесс {тривиальное решение уравнения |
(6.1)) |
устойчив на |
||||||||
промежутке [/„, |
Т). |
|
При |
условии (6.14) |
сущест |
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
||||||||||
вует такое 6 > |
О, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp j* 2cp(t\ у (*')) dt' — 1 < |
— 26 (t — 10). |
|
||||||||
С другой стороны, |
принимая во внимание (6.13), можно |
|||||||||
указать такое |
р0 > |
0, |
что для |
всех |
у, удовлетворяющих |
|||||
неравенству ]| у | < |
р0, будем иметь |
|
у) | < |
26, |
и тогда |
|||||
(см. (6.12)) V (t, |
х) •< V (*0» х0). Значит, любое |
решение |
||||||||
х = х (t) уравнения |
(6.1), которое |
удовлетворяет |
условию |
|||||||
( / г 1(О *(/„), |
/ г '( д * ( д ) < р » , |
|
|
|||||||
где р — произвольное положительное число из промежутка О < р < р0, в пределах промежутка U0, Т) будет удовле творять неравенству
(K-'(t)x(t), / С '(0
Но тогда будет иметь место и неравенство
(G-'(t)x(t), 0 - '( 0 * « ) ) « Р а,
где G (t) — К (О —¥ г . так как по условию теоремы а (/) <
< (о (0- Условия устойчивости процесса выполняются, по скольку G (0 есть матрица класса /Сд. Теорема доказана.
Сл е д с т в и е . Если на промежутке [/0, Т)
а(0 < со (*)
М'О (О “Ь v max (^) < О,
то невозмущенный процесс (тривиальное решение уравнения (6.1)) устойчив на промежутке U0, Т).
Аналогично теореме 6.2 легко устанавливается и Т е о р е м а 6.4. Если на промежутке [/0,
a (i) С (в (t)
и
Р-о (^о) "Ь ^max ( д < о ,
то существует конечный промежуток [/„, Т) с l/0, tx), на котором невозмущенный процесс (тривиальное решение урав нения (6.1)) устойчив.
6.3. Применение алгоритма асимптотического преобра зования уравнения. Наряду с уравнением (6.1) введем в
рассмотрение уравнение
|
Ау |
= U(x)x + h(t,x), |
х = et, |
(6.15) |
|
|
— |
||||
которое при е = |
1 совпадает с уравнением (6.1). |
|
|||
Невырожденным преобразованием |
|
|
|||
|
|
x = K'a}(i, e)Zy |
|
(6.16) |
|
уравнение (6.15) приведем к виду |
|
|
|||
= (Z |
Ат Z — Z~' |
у — Z-'M,m)N{m)Zg + |
|
||
|
- Klm)~ \ |
+ Z~lM‘m)h(t, K‘m)Zy), |
(6.17) |
||
где M(m) |
|
|
|
||
|
Nim (x, e) = e |
— u Km + K<m,A(m|. |
|
||
Допустим, что U (т) на рассматриваемом промежутке изменения аргумента является / раз дифференцируемой матрицей. Тогда, используя алгоритм, приведенный в
гл. VIII, можно построить такую матрицу К[т)>что матрица А(т) будет иметь диагональный или по крайней мере квазидиагональный вид* а матрица Nim) будет удовлетворять
т
где Л£т) = 2 Л*1» vmax (tf) — максимальное собственное зна-
1= 0
чение эрмитовой матрицы
рМ = — -1-
Для устойчивости на l?0> Т) достаточно также выполне ния неравенства
тахс ReЯ.!""(О— i- ln — iS i Н“ ‘Vmax (0 О Л 1 C (О II
Н1*„Т)).
Г л а в а XVI
УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОЦЕССОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ЗАДАННОЙ ОБЛАСТИ ПРЕДЕЛЬНЫ Х ОТКЛОНЕНИЙ
В определении устойчивости на заданном промежутке времени, введенном в гл. XIV, область предельных откло нений формируется посредством матрицы заданного класса
KZ При этом матрица G (t), определяющая область пре дельных отклонений, не рассматривается наперед заданной, так что и сама область предельных отклонений не является наперед заданной: для устойчивости процесса требуется
лишь существование в классе Kt такой матрицы, для ко торой условия (14.3.1) и (14.3.2) соблюдаются.
Наряду с этим представляется целесообразным введе ние и понятия устойчивости на заданном промежутке с априорным заданием конкретной области предельных от клонений . В этом случае, конечно, хотя речь идет не о раз мерах области, а только о ее форме, понятие устойчивости приобретает в большей мере оттенок субъективности, и тем не менее рассмотрение устойчивости по отношению к заданной области представляет и теоретический, и извест ный практический интерес (хотя бы, например, потому, что из устойчивости процесса по отношению к области, опре
деленной через матрицу класса Кд, немедленно следует устойчивость в смысле введенного в гл. XIV понятия устой чивости процесса на заданном промежутке времени).
§ 1. Понятие устойчивости относительно заданной области
О п р е д е л е н и е . Если при достаточно малом р > О любое возмущение х (t) процесса, начальное значение х0 =
— х (t0) которого удовлетворяет условию
{S (t(j)х0, S (t0)XQ) pa, |
(1. 1) |
на промежутке t0 С t < Т удовлетворяет условию
(S(t)x, 5 (/)л г)< р 2, |
(1.2) |
еде S (t) — заданная ограниченная матрица, |
то невозму |
щенный процесс устойчив на промежутке [tQ, Т). В против ном случае — неустойчив.
Область предельных отклонений xs (s = 1, 2, ..., п) —
элементов |
столбцовой матрицы |
х — задается |
посредством |
функции |
V (/, х) = (5 (t)x, S (t)x)t определяемой матрицей |
||
5 (/). В зависимости от способа |
задания 5 (/) |
область пре |
|
дельных отклонений приобретает тот или иной вид. На пример, полагая
S(t) = g(t) Et
где g(0 — некоторая ограниченная скалярная функция, ограниченная снизу положительной константой (g (t) > > а >• 0), Е — единичная матрица, получим область пре дельных отклонений в форме шара с радиусом, равным
р/я (0*
1*Ю 1< - ш
Если 5 — постоянная квадратная матрица общего вида, то область предельных отклонений представляет собой /г-мерный эллипсоид с неизменными параметрами. В более общем случае переменной матрицы 5 (t) соотношения (1.1) и (1.2) представляют эллипсоид с параметрами, изменяю щимися по t.
Таким образом, условия выбора 5 (t) позволяют конст руировать область предельных отклонений разнообразной формы.
Ниже исследуются условия устойчивости и неустойчи вости невозмущенного процесса на конечном промежутке U0, Т) (Т < оо) относительно заданной области предельных отклонений применительно к процессам, которые описы ваются векторно-матричными уравнениями
4 - = £ / « * |
(1.3) |
или |
|
- ^ - = U(t)x + h(t,x), |
(1.4) |
где U — квадратная матрица порядка п; х} |
h — столб |
цовые матрицы; U и h — непрерывные функции своих
аргументов. Элементы матрицы h — нелинейные функции отклонений х%— таковы, что равномерно по t в пределах промежутка U0, Т)
Нтп |
h (Uх) = 0. |
(1.5) |
JC-V O |
M l |
|
§ 2. Устойчивость процесса относительно области, определяемой каноническим преобразованием уравнений
Допустим, что К (t) — ограниченная, невырожденная и дифференцируемая квадратная матрица порядка п и такая, что замена переменных
x = K{t)y |
(2.1) |
приводит линейное уравнение (1.3) (линейную часть урав нения (1.4)) к каноническому виду
-^ -= Л .(< )9 , |
(2.2) |
где Л(^) = diag(Л.х, Х2, ..., A.J, а М / = 1, 2> |
я ) — не |
прерывные скалярные функции от i. Полагая S (t) ss/(~l (t), область предельных отклонений представим в виде
V ( t , x ) = ( * “ ' (< )х , / С ‘ ( t ) х ) < р*. |
(2 .3 ) |
Итак, выясним условия устойчивости невозмущенного процесса относительно области предельных отклонений (2.3), рассматривая К (t) как заданную матрицу. Сначала рассмотрим вопрос о существовании такого конечного про межутка времени U0, t0 + At), на котором условия устой чивости невозмущенного процесса соблюдаются, а затем займемся условиями устойчивости процесса на заданном промежутке.
2.1. О существовании конечного промежутка устойчи вости.
2.1.1. Л и н е й н ы й п р о ц е с с . Учитывая диаго нальную структуру матрицы А, из (2.2) получаем следую щее дифференциальное уравнение относительно нормы век тора у:
ш |
= £ R e X 0 |
К Iя |
(2.4) |
СГ=1 |
\\у\\ |
’ |
|
Здесь уо (о = 1, 2, ...» |
п) — элементы |
столбцовой матри |
|
цы у. |
|
|
|
Рассмотрим частное |
решение |
уравнения (1.3) |
х° — |
= К (t)y°, определенное начальными условиями |
|
||
ys{io ) ~ P i |
Уо (*о) ~ 0 |
{о Ф-s). |
(2*8) |
При условии (2.7)
ф(*о. */° (У) = Rexs <g = р (g > о.
Вдоль рассматриваемого частного решения по непрерыв ности функция ф положительна и в пределах некоторой окрестности точки t0:
Ф (* . * °(0 )> 0 |
|
(tcz 1^о» h H~ ДО» |
Ы >►0). |
|||
Тогда в этой окрестности |
|
|
|
|||
dV (t, |
х°) _о иfJo и d. || у° Ц |
= |
2 |Л Ч ( * , |
y°(t))>0. |
||
dt |
1* |
1 |
dt |
|||
Таким |
образом, |
если |
имеет |
место неравенство (2.7), |
||
то существует такое частное решение, вдоль которого в пре делах сколь угодно малой окрестности точки t0
(t > g,
и, значит, условия устойчивости (1.1), (1.2) не выполняют ся. Теорема доказана.
Рассмотрим, наконец, случай, |
когда |
|
М У = |
0. |
(2.9) |
Сэтой целью проинтегрируем равенство (2.5). Получим
iп
V (t, * (/)) = |
V (t„ х (/„)) exp J 2 |
£ |
Re |
dt. |
||
|
|
|
0 * |
|
|
|
Для |
частного |
решения xc = К (0 у |
определенного на |
|||
чальными условиями |
(2.8), отсюда |
получаем |
|
|||
|
|
|
|
t |
|
|
|
V(I!, х° (t)) = |
V(itQ, x° (t0)) exp |
f 2ф (it, y° (t)) dt. |
|||
|
t = t0 |
|
|
to |
|
|
При |
подынтегральная функция |
обращается в |
||||
нуль: |
Ф(*о> У° (to)) = Re К (g = |
р0 (g = |
0. |
|||
|
||||||
Но при t >• tQэта подынтегральная функция в зависимос ти от свойств переменной матрицы U (/) может быть как отрицательной, так и положительной величиной. Так что