книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

понятие устойчивости на конечном промежутке времени элемент произвольности.

В самом деле, как известно, выбор системы обобщенных координат механической системы, относительно которых записываются уравнения возмущенного движения, допус­ кает определенный произвол. Если yv уъ>...» уп — другая система обобщенных координат, как и система xv х2, ...» хп, представляющая собой состояние изучаемого объекта, то с тем же успехом можно было бы задать область предель­ ных отклонений неравенствами

(2. 12)

Но условия устойчивости движения относительно обла­ сти (2.10)— (2.11), как правило, не будут совпадать с усло­ виями устойчивости движения относительно области (2.12) (совпадение может быть лишь случайное, когда замена в (2.10) — (2.11) координат xs их выражениями через ys при­ водит к неравенствам (2,12), и обратно). Таким образом, получается, что одна и та же механическая система в одной и той же постановке задачи может оказаться при одном на­ боре обобщенных координат устойчивой, а при другом — неустойчивой.

В определении устойчивости Н. Д. Моисеева область предельных отклонений задана в форме «-мерного парал­ лелепипеда, в последнем определении — в форме «-мерного шара. И в том и в другом случае области предельных откло­ нений выступают с конкретными размерами. Такое предна­ меренное предопределение формы и размеров области предель­ ных отклонений усиливает субъективный характер понятия устойчивости на конечном промежутке.

То, что априорное задание области предельных отклоне­ ний в форме «-мерного параллелепипеда или шара неудач­ но, видно, в частности, из следующего.

Как отмечалось выше, в некоторых случаях характер возмущенного процесса на конечном промежутке времени и бесконечном взаимосвязаны, и естественно желать в этих случаях согласия между условиями устойчивости процесса на конечном промежутке и условиями устойчивости по Ля­ пунову. В рассматриваемых выше постановках такого со­ гласия нет. Легко построить примеры линейных автономных систем, когда на конечном промежутке времени будет иметь

место неустойчивость относительно области (2.10) — (2.11) даже тогда, когда все корни характеристического многочле­ на системы имеют отрицательные вещественные части, т. е. когда выполняются условия асимптотической устойчивости по Ляпунову.

другой подход к задаче устойчивости на конечном промежут­ ке времени. Сохраняя механический смысл понятия устой­ чивости, который вкладывает в него Ляпунов, Г. В. Камен­ ков в работе [18] понятие об устойчивости на конечном про­ межутке времени сформулировал следующим образом:

Если дифференциальное уравнение возмущенного движения таково, что при достаточно малом положительном числе с величины xit рассматриваемые как функции времени, удовлетворяют условию

П

5 = 1

на конечном промежутке U„, t0 -|- АЛ, если только началь­ ные значения этих функций Хю удовлетворяют условию

то невозмущенное движение будет устойчиво на промежут­ ке времени At; в противном случае — неустойчиво, т. е. At = 0.

Здесь, как видим, величина с, посредством которой вво­ дится ограничение на область предельных отклонений, уже не предполагается наперед заданной: для устойчивости тре­ буется лишь выполнение неравенств (2.13), (2.14) при до­ статочно малых с.

Само определение не содержит конкретных рекоменда­ ций по выбору постоянных ац. Но в процессе построения теории эти величины выбираются так, чтобы А~~хбыла мат­ рицей, преобразующей матрицу линейной части уравнений возмущенного движения в момент tQк каноническому виду, а именно к квазидиагональной матрице, каждый диагональ­ ный блок которой отвечает нерасщепляемому циклическому

S 2]

подпространству векторного пространства с введенным в

нем линейным оператором (оператором, матрица которого в некотором базисе совпадает с матрицей линейной части уравнений возмущенного движения).

Определение устойчивости Г. В. Каменкова допускает следующую геометрическую интерпретацию.

Пусть в момент времени t0 (рис. 14.2) система получила некоторые отличные от нуля произвольно малые отклоне­

к априорному заданию промежутка времени в определении устойчивости и ослаблению чрезмерно жесткого условия выбора области предельных отклонений. А. А. Лебедев [27] ввел в определение устойчивости заданный промежуток времени, а вместо неизменной области предельных откло­ нений (2.13) — изменяемую во времени область.

После этого определение устойчивости на конечном про­ межутке Г. В. Каменковым и А. А. Лебедевым было пред­ ставлено в следующей формулировке [19]:

Невозмущенное движение устойчиво на конечном интер­ вале времени U0> tQ-f А/], если в пространстве (*х, хп) моокет быть указан цикл V (t, xlt ..., хп) = с *), обладаю­ щий на этом интервале следующими свойствами:

(столбцовой матрицей типа n х 1), понятие устойчивости процесса на промежутке [tb, Т) введем следующим образом.

О п р е д е л е н и е 1. Если в заданном классе КЦ су­ ществует такая матрица G (t), что при достаточно малом р >* 0 любое возмущение х (t) процесса, начальное значение х0 — х (tQ) которого удовлетворяет условию

на промежутке А = U0, Т) удовлетворяет условию

то невозмущенный процесс устойчив на промежутке lt0,T). В противном случае — неустойчив.

Отметим, что в предлагаемом определении устойчивости G (0 не предполагается заданной матрицей и, значит, не является заданной и область (3.2). Для устойчивости про­ цесса на промежутке А = [/0, Т) требуется лишь существо­

вание в классе /(“ такой матрицы G (t), что при достаточно малом р условия (3.1), (3.2) соблюдаются.

О п р е д е л е н и е 2. Невозмущенный процесс назовем равномерно устойчивым на промежутке [а, Т), если он устой­ чив на [t0, Т) при VA) £: 1я. 71)-

(СГ1 ((„)*&), <rl( Q x ( Q X f , обладают свойством

lim |*(/)[ = 0.

§ 4. Геометрический смысл понятия устойчивости на заданном промежутке

В левой части неравенства (3.2) стоит эрмитова форма координат хг, .... хп (элементов столбцовой матрицы х), которая при любом * принимает только вещественное неотрицательное значение. Геометрически соотношение (3.2) в пространстве координат xlt хя....... хп при каждом

ресекает поверхность (4.1) один раз при значении парамет­ ра s = р. Действительно,

Рг = ( ± с г ' (t) Ga (t) S, ± ( Г ' (0 G„(t) s) - s\

Точки пересечения этих лучей с поверхностью (4.1) на­ ходятся от начала координат (х — 0) на расстоянии рю = = шр. В самом деле,

порожденная какой-нибудь парой столбцов матрицы G, пересекается с поверхностью (4.1) по эллипсу, описываемо­ му уравнениями

произвольно ориентация главных осей этого эллипсоида, и сам он может деформироваться (т. е. могут меняться раз-

меры его полуосей), но при этом строго определенные зна­ чения принимает расстояние от начала координат до то­ чек пересечения с поверхностью эллипсоида всех лучей db Go (t) s', в частности, при сo(t) = const это расстояние остается неизменным.

В свете вышеизложенного введенному понятию устой­ чивости на промежутке U0l Т) можно дать следующее геомет­ рическое истолкование.

Невозмущенный процесс устойчив на промежутке U0, Т), если существует такая Рш-трубка, пределы которой при t0 <■ t < Т не покидает ни одно из тех возмущений х (t), которые в момент /0 находились внутри или на поверхности этой трубки. Вели же такой р^-трубки не существует, то процесс неустойчив.

§ 5. Функции Ляпунова

Все способы решения задач устойчивости могут быть раз­ биты на две категории. К первой категории относятся те способы, которые основаны на определении общего или частного решения уравнений возмущенного процесса. Сово­ купность всех способов первой категории Ляпунов назвал первым методом. При исследовании устойчивости по перво­ му методу центральным является вопрос об интегрировании уравнений возмущенного процесса. Если удается проинте­ грировать эти уравнения, то исследование устойчивости да­ лее уже не представляет серьезных трудностей.

Ко второй категории относятся те способы, которые не требуют нахождения частных или общих решений уравнений возмущенного процесса. Совокупность всех способов вто­ рой категории Ляпунов назвал вторым или прямым ме­ тодом.

Прямой метод основан на применении некоторых вспо­ могательных функций, определенных в окрестности начала координат и обладающих специфическими свойствами.

Введем в рассмотрение скалярную функцию V (л), опре­ деленную при

Относительно этих функций будем всегда предполагать, что они однозначны, обращаются в нуль при х = 0 и обла­ дают непрерывными частными производными.

Функция V {х) называется знакоопределенной (положи­ тельно определенной или отрицательно определенной), если она при условии (5.1), где d — достаточно малое положи­ тельное число, может принимать значения только одного определенного знака и обращается в нуль только при х —0.

Функция V (х) называется знакопостоянной {положительной или отрицательной), если она в области (5.1) может

принимать значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при х Ф 0.

При с = 0, как это следует из определения знакоопределен­ ной функции, х = 0, т. е. поверхность V = с при с = 0 вырождается в точку (в начало координат).

Покажем, что при достаточно малом с поверхность (5.3) будет замкнутой поверхностью, содержащей внутри себя начало координат.

На границе области (5.1) функция К, будучи непрерыв­ ной функцией, достигает своей нижней грани а, так что на

этой границе

V > a ,

причем, очевидно, а >> 0.

Произвольно выбранной непрерывной кривой у соединим начало координат с какой-нибудь точкой границы области (5.1) и проследим за изменением функции V вдоль этой кри­ вой. В начале координат Vобращается в нуль, а на границе области (5.1) принимает значение, не меньшее, чем а. Зна­

замкнутой и окружает начало координат.

Если изменить с от нуля до некоторого достаточно мало­ го значения, то получим семейство замкнутых поверхностей, каждое из которых соответствует определенному значению с. На данной замкнутой поверхности V имеет постоянное значение, равное соответствующему значению с. Никакие две замкнутые поверхности не могут пересекаться друг с другом, в противном случае на линии пересечения этих поверхностей функция V должна была бы принять два раз­ ных значения, что невозможно в силу предполагаемой одно­

висящая от t положительно определенная функция. Функ­

области (5.2) она может принимать значения только одного определенного знака и может обращаться в нуль и при

хФ 0.

За м е ч а н и е . Функция V (t, х) a ( G -1 (/)х, (?-1 (/)х), посредством которой в § 3 задается область предельных отклонений, в силу свойств матрицы G является положи­ тельно определенной.

Г л а в а XV

НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОЦЕС­ СОВ НА ЗАДАННОМ ПРОМЕЖУТКЕ ВРЕМЕНИ

§1. Оценка нормы решения линейной системы

1.1.Неравенства Важевского. Пусть х (t) — произволь­ ное решение линейного дифференциального уравнения

Умножая (1.1) слева на х*, а (1.2) справа на я и склады­ вая результаты, получим дифференциальное уравнение отно­ сительно нормы столбцовой матрицы х:

Я £ - = 2x*Sx,

^min(t) 1X f < X*S (t) X < ^min(01жIP.

где Kmin и Ятах — соответственно минимальное и максималь­ ное собственные значения матрицы *S. Учитывая это, нахо­ дим

2А.„,„|дсР < Я * . < 2ЯтахJх р.