книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

внешних возмущений; б — матрица (типа / х 1 ) управля­ ющих воздействий; т0, тх, г, /0, 1г — квадратные матрицы порядка п, а а — матрица типа п X /.

Результаты, полученные в § 2, непосредственно приме­ нимы к уравнению (3.1). Для этого нужно лишь в формулах (2.26) векторную функцию ф0 заменить функцией аЬ -{- q>, Ф2 положить равной 0 и в выражениях коэффициентов при­ нять е = 1 .

Этим путем, удерживая в уравнениях члены, содержа­ щие е в степени не выше первой, получим преобразованную

bm — trio' (a6 -f- ф),

= — (x^V + т 1щ) rn ' (аб -h <p) — *i‘W iT 1 (a 4 f + 4 ?) •

= Ра [Ь0— (4 ПР + mV'mL) 1ЩХф] — xS^p/no-14 г (а = 1 , 2 , . . . . р).

Преобразованные уравнения объекта управления имеют более простой вид, поскольку левая часть системы оказы­ вается расщепленной и связь между подсистемами полной системы сохраняется только через матрицу б в правой час­ ти системы. Такая система более удобна при всевозможных исследованиях, в частности при моделировании на анало­ говых машинах.

П р и м е ч а н и е . При замене переменных желатель­ но, чтобы норма вектора za совпадала бы или же мало

отличалась от нормы вектора q0. Этого можно достичь так. Пусть

<7о = ех[с - J - -f («а га (3.4)

— вектор, который при е = 1 представляет приближенное решение системы (3.1), соответствующее решению га систе­ мы (3.2) или (3.3). Квадрат нормы этого вектора равен

_ ^1'ро _

или, учитывая (3.5), получим

XcxSi1= Й + Ха 2 Х ^З.

S*<J

Отсюда ясно, что равенства (3.6) будут иметь место, если принять

т. е. с точностью до членов, содержащих е2, норма векторов при преобразовании (3.4) сохраняется.

Г л а в а XIII

КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ

§ 1. Метризация векторного пространства

Рассмотрим векторное пространство R над полем комп­ лексных чисел ЗС, в котором введена бинарная операция, ставящая каждой паре *, у векторов из R в соответствие скаляр (*, у) — скалярное произведение* и у , причем для любых векторов * , y t z из R и любого комплексного числа а из di

Если для векторов пространства R определена бинар­ ная операция со свойствами 1) — 3), то говорят, что в R

внесена эрмитова метрит.

Из 2) и 3) следует еще:

то эрмитова метрика называется неотрицательной. При выполнении же дополнительного условия

эрмитова метрика называется положительно определенной. Векторное пространство с положительно определенной эрмитовой метрикой называется унитарным пространством.

Под длиной вектора * подразумевают арифметическое (неотрицательное) значение корня квадратного из скаляр­ ного произведения (х , х):

\х\ = У (.х , *).

Из 2) и 5) следует, что каждый вектор унитарного про­ странства, отличный от нуля, имеет положительную длину, а длина нулевого вектора равна нулю. Вектор х называется нормированным, если | х \ = 1. Любой вектор х можно про­ нормировать, умножив его на какое-нибудь комплексное

число, модуль которого равен -Д -р

Два вектора х н у называются ортогональными (*_|_ J_y), если (*, у ) = 0 .

В случае численного пространства, элементами которого служат столбцовые матрицы, скалярное произведение опре­ деляется так:

(о, Ь) = Ь*а.

По аналогии с этим, наряду с общепринятым обозна­ чением скалярного произведения векторов пространства R — {х, у), мы будем пользоваться и другим условным обо­

значением—^ * , полагая, что

(х,у) = у хх.

так что скалярное произведение (1.3) можно записать и в форме

П_

называется эрмитовой формой; выражение, стоящее в правой части равенства (1.4), называется билинейной эр­ митовой формой. Таким образом, квадрат длины вектора унитарного пространства представляется в виде эрмитовой формы его координат.

Матрица Я эрмитовой (билинейной эрмитовой) формы в силу (1 .6) является эрмитово сопряженной (эрмитовой), т. е. Я* = Я.

Если базис %в R составлен из ортонормированных век­

В следующем параграфе будет показано, что ортонормированный базис существует в каждом унитарном простран­ стве.

Если в качестве числового поля ЭСпринято поле вещест­ венных чисел, то метрика, удовлетворяющая условиям 1) — 5), называется евклидовой.

Векторное пространство /? над полем вещественных, чичел с положительно определенной евклидовой метрикой на­

зывается евклидовым пространством.

В евклидовом пространстве скалярное произведение век­

П

отвечает билинейная форма 23 si i,k=1

Квадрат длины вектора евклидова пространства пред­ ставляется в виде квадратичной формы его координат.

З а м е ч а н и е . Из положительной определенности мет­ рик, введенных в унитарном и евклидовом пространствах, вытекает положительная определенность соответствующих эрмитовых и квадратичных форм, т. е.

(знаки равенств имеют место только при х = 0).

§2 . Ортонормированные базисы в унитарном

иевклидовом пространствах

Здесь мы покажем, что как в унитарном, так и в евкли­ довом пространстве имеется ортогональный базис, т. е. та­

Заметим, что векторы, обладающие свойством (2.1), линей но независимы. В самом деле, равенство

в рассматриваемых пространствах может служить приво­ димый ниже процесс ортогонализации*), который позволяет из данных п линейно независимых векторов построить п

Условие (2.1) приводит к следующим выражениям для чи­

*) Этот процесс ортогонализации в иных обозначениях приведен

и в § 5 гл. VIII.

(так как BLy — скаляр). Но, с другой стороны, так как g ортонормированный базис,

П

ВкУ= ( 2 в# е0 ek) = (By, ek). i—I

Учитывая последнее соотношение, из (3.2) непосредст­ венно приходим к (3.1).

Теперь легко установить, что оператор В, определенный соотношением

является сопряженным по отношению к оператору Л . Дей­ ствительно, если А * — оператор, сопряженный оператору А, то для произвольных х и у

Отсюда, так как g — ортонормированный базис и потому g x g = Eni находим

л « 8 хл jg. в = 8 хл *8-

Далее,

Так как Л и Л* — взаимно сопряженные операторы, e*A*ej = (A*eJt е{) — (е/г Aet) = (Aet, et) = efA e{,