Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

26.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4427 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

С другой стороны, учитывая (2.3), находим

А (0 - f - = А (<)	X -' © Л- ' © Я © =
	= B ( t ) x (оX-1© А - ' © я © = в (f )а .

Значит, G (t, 0 можно трактовать и как решение одно родного матричного уравнения


		А (/)-§ - =		В © 0,
удовлетворяющего неоднородному условию
		G(\|, © =	А-' © Я © .
З а м е ч а н и е . Из (2.3)				видно,		что	каждая		строка
матрицы G (t,	0	является	линейной			комбинацией			строк
матрицы Н ( 0	и, обратно, каждая строка						матрицы		Н ( 0
есть линейная	комбинация		строк		матрицы			G (t,	0 . От
сюда следует,	что	матрицы G'(t, 0 ,			t f ' ( 0		и	расширенная

матрица (G'H') имеют один и тот же ранг.

§ 3. Связь между входными и выходными сигналами посредством импульсной переходной функции

Связь между матрицей входных сигналов и и матрицей выходных сигналов х предварительно невозбужденной си стемы дается формулой (2.2). С учетом (2.3) эта формула приобретает вид

(3.1)

Соотношение (3.1) может быть получено и из соответст вующей дифференциальной системы. Действительно, умно жим уравнение (2.4) справа на и (0 и проинтегрируем почленно по £ от —о о до с ю :

А ^~1Г I G ( U ) « © d | =

— ос

©О

= B(t) ] G(l,l)u&)dt + H(t) J и © b(t —t) dl.

Отсюда						00
00						00
АЦ)ж I О(<,\|)и©<ГЕ = В (0						$ 0 ( / . э « © ds+ я ( < ) « © .
—CJO	с	(0.1),	получаем			—00
Сравнивая	с	(0.1),	получаем
				00
				—оо
Принимая		во внимание, что и(£) =						0 при	(система
до момента	/0 находилась				в невозбужденном состоянии)
и учитывая	условия		физической				реализуемости системы,
имеем		<?(*. 0 и ©		=	О	при	!< < „ ,		1
		<?(*. 0 и ©		=	О	при	!< < „ ,		1
		G(/,l)U© s O				при	%>t,		\|
и поэтому	будем иметь
				t
		* =		j G(«,£ )« © < ©
П р и м е ч а н и е .				Соотношение				(3.1)	представляет

связь между входными и выходными сигналами системы в


общей форме. Если в качестве начала отсчета времени											(пер
вый	аргумент		импульсной			переходной функции)				принять
момент		подачи		входного сигнала, то аргумент					t	импульс
ной	переходной			функции		должен	быть сдвинут			на	вели
чину	£ (рис.		10.3). Учитывая это, импульсную								пере
ходную		функцию			более	детально		следует	записывать
как	G ( t —		0 .		В соответствии		с	этим формула			(ЗЛ)

предстанет в виде

* = JC (/-& ,£ )u (g )d J.	(3.3)
to

Расширяя нижний предел интегрирования (с учетом (3.2)), связь между входными и выходными сигналами си стемы можно записать и так:

* = J 0 ( / - 5 , | ) u ® d |.

(3.4)

§ 4. Реакции системы на входной сигнал в виде производной и интеграла от дельта-функции

Рассматривая входной сигнал в виде производной г-го порядка от дельта-функции и учитывая (1.6), получаем

f о [t, t ' ) ( f - е) й ' = ( - 1)' Д Ц Д .

Значит, входной сигнал в виде производной от дельта функции г-го порядка вызывает реакцию (см. (3.1))

Можно показать, что Gr (t, g) удовлетворяет дифферен циальному уравнению

A(t)J§-=B(t)G, + H(f)6lr>(t-ia

(4.1)

при условии

0,(5- 0,0 = 0.

Действительно, дифференцируя левую и правую части уравнения (2.4) по £ г раз и учитывая, что

_ (_ X)r _ « £ р В _ = (_ ху#> (/ _ ю,

придем к соотношению (4.1).

Теперь рассмотрим входной сигнал в виде интеграла от

дельта-функции {6 (т— £) dxt который представляет собой to

единичную ступенчатую функцию.

Согласно (3.1)

t V t

j а (t, t')	£ 6(X —l) di dt' =	f C (<, f) I (<' —\)dt' —
to	to	to
	t	t
	= \G(i, t ' ) i ( t ' - t ) d t ' = \| G (t, f) dt\
	I	*1

Реакцию системы на единичную ступенчатую функцию 1 (t — £) называют обычно переходной функцией. Поэтому

матрицу

F(t , |) = j G ( t , t ’)dt'

(4.2)

можно рассматривать как матрицу переходных функций многомерной системы.

Дифференцируя (4.2) по получим выражение матри цы импульсных переходных функций линейной системы через матрицу ее переходных функций:

G (/,£) = -

Матрицу переходных функций можно трактовать как решение дифференциального уравнения

= В (*)/> + Я ( / ) ! ( ( - £ )

(4.3)

при начальном условии

^Й - О , Ю= о.

Всамом деле, интегрируя левую и правую части урав

нения (2.4)	по \|	от 0 до t, имеем	t
/		t	t
A ( 0 - f 1 0 (t, £)d£ = B(l)f G(t, S)d£ +			H	( t ) d\|.
0		0	0
Отсюда, так		как
t		t		1).
1 a (t —I) d l = f 6 (2) dz = 1 (г)			= I (t -	1).
о		0
получаем	t	t

4(t) \ G </, ю4$ = s It) [ G ( t , Q d l + H (/) 1 (t -1),

5 5]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ		265
что	совпадает с (4.3),	ибо
	t	t
	\G(t, S )d \|= f o p . g)d?= F(t, i).
	0	l

§ 5. Преобразование начальных условий на выходе системы в эквивалентный входной сигнал

До сих пор процессы в линейной системе при воздейст вии входных сигналов рассматривались в предположении, что до начала подачи входных сигналов система находи лась в невозбужденном состоянии.

Допустим теперь, что система, состояние которой опи сывается уравнением

A (t)-^- = B(t)x + H (O u(t)U ,t-1).

(5.1)

к моменту g приложения входного воздействия уже нахо дилась в возбужденном состоянии, так что

х (| — 0) = х% (хг Ф 0).

(5.2)

Подберем такой дополнительный сигнал / (t, £), чтобы на выходе предварительно невозбужденной системы полу чить процесс, тождественный при t ;> £ + 0 процессу на выходе возбужденной системы. Другими словами, надо найти такую функцию f (t, £), чтобы решение уравнения

л
A(t) ^ r	= B(t)x + H (C )u{t)\(t-l)+ f(t,l),		(5.3)
удовлетворяющее		условию
при t >• £ +		2 ( 6 - 0 ) = 0,	(5.4)
при t >• £ +	0 совпадало бы с решением уравнения		(5.1),
удовлетворяющим		условию (5.2), т. е.
		x(t) = x{t) 1 (t — g),	(5.5)

где х (t) и х (t) — решения соответствующих уравнений, удовлетворяющие условиям (5.2) и (5.4) соответственно.

Продифференцируем (5.5) по t:

-% Г=-Ж 1 ( ' - ! ) + .v (O S tf-l).

Исключая из полученного равенства производные с помощью дифференциальных уравнений (5.1) и (5.3), имеем

В(<)£ + Я ( 0 и ( 0 М < - 9 + /(<.Е) =

= B ( 0 x + H ( t ) u ( 0 l ( t - ® + A(l)x(l)6(t-Q.

Отсюда при / > | + 0

или, в силу свойства дельта-функции,

причем х (\|) =	х (I — 0),	так как выходная функция х,
как решение	линейного	дифференциального уравнения
(5.1), непрерывна в точке

§ 6. Определение дифференциального уравнения по импульсной переходной функции

Пусть задана п х /-матрица G (/, £) импульсных пере ходных функций линейной системы и требуется найти со ответствующее ей векторно-матричное уравнение вида (0.1). Два векторно-матричных уравнения, каждое из ко торых получается из другого путем умножения слева или справа на невырожденную непрерывную квадратную мат рицу соответствующего порядка, представляют две экви валентные системы в том смысле, что при произвольном входном сигнале и (/), подаваемом на обе системы одно временно, выходные сигналы этих систем будут также идентичны. Поэтому заранее матричный коэффициент при производной от матрицы выходных сигналов примем равным единичной матрице: А (/) == Е. Тогда (см. (2.3))

Отсюда, полагая / = |, находим

Я © =

5).

Значит,

и поэтому связь между матрицей и входных сигналов

и матрицей х выходных сигналов системы представляется в следующем виде:

к = \ X(t)X~ 1

Продифференцируем обе части последнего соотношения

по t:
dx	_	dX	С	Х~' (Г) G (V, V) udt' н- X (О Х~' Ф G (t, t) и.
dt	~	dt	J
Отсюда
			to . = J M L x - i ( i ) x + G (t7 t ) u		(6.1)

Матричное уравнение

где	G0 (/, \|) =	X {t) X~l (I),			разрешимо		относительно
G0 (/, \|), так как ранг			матрицы G' (g, £) равен				рангу	расши
ренной матрицы		(G' (/,	\|) G' (g,		£))	(см. замечание в		конце
§ 2).	Поэтому,	предполагая		матрицу G0 (t,			£) известной,
матрицу уравнения (6.1) можно определить так.
Имеем
		dG0(t.t) __		dX(t)		v _ i /t4
		dt		dt		W

Отсюда

dG0{t, l)

Таким образом, искомое дифференциальное уравнение имеет вид

dx дОп(t, I)

dt dt

З а м е ч а н и е .	dG°^' —	есть решение матричного
уравнения		dG0{tfl)
dG(t, £)	U/		G «, a
dt		dt

§7. Построение импульсной переходной функции

7.1.Стационарная система. В случае стационарной си стемы А, В и Н — постоянные матрицы. Фундаментальная матрица X (t) однородного векторно-матричного уравнения имеет вид

X (/)■=«*"

(U = A ~ 'B ).

В соответствии с этим матрица импульсных переходных функций стационарной системы

G(t — l) = eu

(7.1)

Если J — жорданова форма матрицы I), а К — соответ ствующая преобразующая матрица, то в силу (7.1)

G (< — g = KeJ		'Н		(М = К~ ’).
Пусть			• • • * Jp(hp))t
J = diag («^(А^), */2 (^2)»			• • • * Jp(hp))t
где
Л (^i) = ^i^ki + Hftr
Тогда, представляя К и М в виде				блочных матриц:
				М,
К = ( К 1Кй ... к р),		м	=	М2
К = ( К 1Кй ... к р),		м	=
				M r .
где К(, Mt — матрицы типа п х			и kt х п соответственно
(ki — порядок жордановой клетки Jt (Xt)), будем иметь
G( < - i) = 2	K,Y, if -		1) M,A-'H.
f=l
Здесь (см. гл. VII, § 5)
Yt (t — l) = eJ‘(>'‘J ('-S’ —
1	t - z	(t -	1)2	(1- 6)*1 1
1	t - z	2!		b,_0
0	1			b,_0
0	1	t - Z		{ki-2)1
	•	t - Z		{ki-2)1
	•		0
0	0		0	1

7.2. Нестационарная система.

7.2.1. О б щ и е с о о б р а ж е н и я . Для построения матрицы импульсных переходных функций (2.3) требует ся знание фундаментальной матрицы X (t) однородного уравнения (2.1). В случае произвольного дифференциаль ного уравнения (2.1) определение X (t) сопряжено со зна чительными трудностями, и не всегда эта матрица может быть выражена в замкнутой форме. Поэтому, имея в виду произвольную линейную нестационарную систему, можно говорить лишь о приближенном построении импульсных переходных функций. Приближенное выражение импульс ной переходной функции можно получить, если известна приближенно фундаментальная матрица уравнения (2.1).

Так, если	Хг (/) «	X (/), то согласно (2.3)
о	(t, а ~	0м (<, \|) = Go1it, Е) А - ' (I) Я © ,
где

ol'> а, е) = x , a) x r ‘ а).

Возможны различные пути построения приближенного выражения фундаментальной матрицы уравнения (2.1), а значит, и матрицы импульсных переходных функций

C(r) (t, §), и существующая литература содержит описания некоторых способов такого построения [34, 46]. Мы ниже приведем один метод построения приближенного выраже ния матрицы импульсных переходных функций, основан ный на использовании разложения в ряд фундаментальной матрицы однородного дифференциального уравнения по сте пеням искусственно вводимого параметра е. Общая идея этого метода заключается в следующем.

Привлечем к рассмотрению вспомогательное уравнение

-%- =	и (т)х	(U =	А-'В, х = И),	(7.2)
которое при е = 1	совпадает с уравнением (2.1).
Допустим, что	нам известно		разложение (сходящееся

или формальное) фундаментальной матрицы уравнения

(7.2) в ряд по степеням параметра	е, т. е.
X (t,i) = S e V	’ W,	(7.3)
А=0

частичные суммы которого, а именно

X ,(< ,)= 2 « * [Ч(0	(г = 0,1 ,2 , ...) ,
ft=0

могут быть приняты в качестве приближенного выражения фундаментальной матрицы. Тогда приближенное построе ние матрицы G0 (t, |) удобно провести одним из следующих двух способов.

1 . Принимая

X, (<, е) = 2 ft=0

имеем

esXw (t, т),

Go'* (t, i, г) =	X, (t, e) X7l (5, e).	(7.4)
Отсюда, полагая e = 1	и учитывая, что при этом урав

нение (7.2) переходит в уравнение (2 .1 ), получим прибли женное выражение матрицы Коши уравнения (2.1):

<tf>(*-l) = X ,(f)X r'(S).	(7.4а)
2 . Имея разложение (7;3), можно и G0 (t, £, в)	разло

жить в ряд по степеням параметра е. Для этого нужно сна

чала представить в виде ряда по степеням						е обратную мат
рицу Х~х (t,	е). Полагая
		х~' ((, е) =	S e*ZM ((,		т),
			А=0
из условия тождественного выполнения равенства
		X{tyв) * - 1 (t, г) = Е
получаем рекуррентные соотношения
_	х [0Г\
Zm =	— Z[0] 2 Xli]Z[k~11			(k =		1,2, ... ) .
		i=i
Группируя коэффициенты при одинаковых степенях в,
получаем
0„ (/, \|,		Е) = X (<, е) Х~' (I, е) =			2	е 'с ? 1,	(7.6)
где					fe=0
где		хот (/, т)	(\|, т.),		=	8^,
0 га =		хот (/, т)	(\|, т.),		=	8^,
Go1"1 = 2		(Л Т) Z[‘- u (5, Tj)		(А =		1,2,3, ... ) .
/ - 1

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4427 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги