книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
..pdf§ 4. Матричные ряды |
|
Рассмотрим последовательность матриц Cv С2, |
С„, |
(Ср — (с{/р>)) одного и того же типа т X п.
Пределом этой последовательности называется матрица
С = lim Ср ~ |
(11mc\f) |
(i = 1,2, . . . , т\ J = 1,2, . . . , п), |
p - v сс |
р - * о о |
|
если, конечно, она имеет смысл, т. е. существуют пределы
числовых |
последовательностей |
с\}\ c\f, |
$р\ |
(i = |
|
= 1, 2, . . . , |
т; j = 1 , 2, . . . » п). |
|
|
|
|
Пусть |
Ult U2, .... Un, ... — матрицы |
одного и того же |
|||
типа. Матричный ряд |
|
|
|
|
|
|
^ 1 + ^ 2 + |
+ |
+ • • • |
(4-1) |
|
называется сходящимся, если существует предел последова тельности его частичных сумм Sv S2, ...,S„, ,..(S p = + ...
+ Up). Предел этой последовательности называется
суммой ряда (4.1).
Наряду с матричным рядом (4.1) введем в рассмотрение
ряд, |
составленный из норм |
матриц Up = (u\f) |
(р = |
= 1, |
2, ...): |
|
|
|
11^11+1^11 + |
+ Ш . 1 + - " |
(4.2) |
Если ряд (4.2) сходящийся, то матричный ряд (4.1) так же сходящийся.
Действительно, так как при всех i и / |и{р)| < ||{ / (р)| (см. § 3), то согласно признаку сравнения скалярных ря-
со
дов все ряды ^ ич абсолютно сходящиеся. Следователь-
ОО |
p=i |
/ со |
\ |
|
но, ряд 2 |
Uо ~ |
2 |
и8’>] |
также сходится. |
p = i |
v |
\ р = 1 |
/ |
|
§ 5. Теорема существования и единственности |
||||
Т е о р е м а |
5.1. Если U (t) непрерывна на tQ•< / С 7 \ |
|||
то существует единственное решение уравнения |
||||
|
|
|
dx |
(5.1) |
|
|
|
Ж |
|
удовлетворяющее начальному условию
х (^о) = о. |
(5.2) |
Это решение непрерывно и дифференцируемо на to ^ t |
Т. |
5.1. Существование решения. От дифференциального уравнения (5.1) перейдем к соответствующему интеграль ному уравнению
t |
|
|
x(t) = с + f U(s)x(s)dst |
< * < 7\ |
(5.3) |
4 I
Уравнение (5.3) будем решать методом последовательных приближений. Пусть 1> и — последовательные при ближения уравнения (5.3). Тогда
t
*1") (/) = |
с + |
f y |
(s) *<"-•> (s) ds |
(N = 1,2,3, .. .)• |
(5.4) |
|
|
|
to |
|
с, при N = |
|
|
Отсюда, полагая |
= |
1 будем иметь |
|
|||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
*"> — *<»> = f U(s) xmds, |
(5.5) |
|||
а при N > |
1 — |
|
|
^0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
X^N) _ |
X(N-1) = |
t |
|
(5.6) |
||
f/(s) [*<*-!) _ xiN-2)J as. |
||||||
*0 Из равенств (5.5) и (5.6) вытекают следующие неравенства:
II |
- |
*(0> |< |
( (У (s)|||*<‘»|ds, |
(5.7) |
|
|
|
t |
|
||j;(Wl _ |
*(«-111< |
t |
||* . (5.8) |
|
f (I/ (S)||| * < * -4 _ |
||||
|
|
|
*0 |
|
Нормы векторов и матриц определим так: |
|
|||
и = 2 1 * < | . |
|У| = шах2И/»1- |
|
||
|
*■=1 |
/ * |
|
|
Из непрерывности |
матрицы U на замкнутом |
промежутке |
||
lt0, Т] следует ограниченность ее нормы. Пусть
m = шах 1U (t) II;
<С[/..Г]И
тогда из (5.7) и (5.8) получаем
II*0*— |
j m\c\\as = m\c\(t — у , |
|
'о |
| *‘2>- *■>1 с |
( m l с II (s - у О» = 2Si£j (< _ у» |
и далее по индукции |
f(l |
|
!*(ЛГ) — xtN~l)1 < Ряд
тыИсИ |
о ""з: А |
^ '! |
|
” |
m N T y |
l i |
т |
М=1
М
сходящийся. Действительно, используя признак сходимости Даламбера, будем иметь
mN+lT ?+lN\ |
тТ |
|
|
= |
т - ° |
" р « |
• |
Из сходимости ряда последовательно следует равномерная
сходимость на \tQ, Т] рядов |
|
|
|
оо тыЩ |
eg |
|
|
т |
s |
|
|
|
АГ=1 |
|
|
и, наконец, ряда |
|
|
|
*(0)+ £ |
(*(*> — ^ - » ) . |
(5.9) |
|
NZ\ |
|
|
|
Поскольку ряд (5.9) сходится равномерно на U0, Г], то |
|||
существует предел последовательности х(0К х(1), ...: |
|
||
Нш xlN)(t) = х (t) |
|
||
N-*oo |
|
|
|
(*<"> есть сумма первых N + 1 членов ряда (5.9)). |
|
||
В силу равномерной |
сходимости последовательности |
||
х(0>, х(,\ ..., xiN), ... в левой и правой частях равенства |
(5.4) |
||
можно перейти к пределу |
при N |
оо. В результате по |
|
лучим |
t |
|
|
|
|
|
|
x{t) — с + [U (s) х (s) ds. |
(5.10) |
||
144 |
МАТРИЦЫ |
И ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ £ГЛ. |
VI |
|
Функция х (t) как |
предел равномерно сходящейся |
по |
следовательности непрерывных функций сама является неп рерывной функцией, и, как это видно из (5.10), она диффе ренцируема и удовлетворяет уравнению (5.1) и начальному
условию |
(5.2). |
|
|
|
|
|
|
5.2. |
Единственность |
решения. |
Л е м м а |
Т р о н у - |
|||
о л л а — В е л л м а н а . |
Если |
сг > |
0, и (t) > 0, |
v (t) |
|||
> 0 (и (/), v (f) |
£ С (а, |
&)), |
то из неравенства |
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
и (0 < |
J и (s) v (s) ds |
(а < / 0, t <&) |
(5.11) |
|||
|
|
fo |
|
|
|
|
|
следует неравенство
t
и (0 < С\ exp f v (s) ds.
К
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из (5.11) имеем
^J u(s)v(s)ds
Умножим обе части последнего неравенства на v (t) и проин тегрируем от t0 до t:
I |
|
t |
|
а(Оу(Оdt' |
o (s) ds. |
||
tisCi + |
|
I |
|
f и (s) v (s) ds |
to |
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
t |
t |
|
f |
и (s) v (s) ds |
||
In Ci H- |
< |
^v(s)ds, |
|
to |
|
to |
t0 |
и, следовательно, |
|
|
t |
|
|
|
|
Cl |
и (t) < cxexp j v (s) ds. |
||
|
|
|
to |
Лемма доказана. |
|
|
|
Пусть x и у — два решения |
уравнения (5.1), удовлет |
||
воряющие одному и тому же начальному условию (5.2).
Тогда |
t |
t |
х = с |
U (s) х (s) ds. |
у = c -f j £/ (s) у (s) ds. |
х— у=* \U (s) (х —у) as.
*0
t
U — УГ< ( I'и (s) III* — Уfl ds |
(5.12) |
|
Вычитая друг из друга, получаем |
|
|
Отсюда |
|
|
и, тем более, |
t0 |
|
|
|
|
х —УК |
Cl + Jll^(s)H*— |
|
|
to |
|
для любого положительного числа сг. |
|
|
Используя лемму, |
получаем |
|
\\х —y K ^ e x p ^\\U (s)\\ds.
to
Это соотношение справедливо для любого сколь угодно малого положительного сх. Поэтому
|
\Х — 0|| = О |
|
и, значит, |
||
|
х = у. |
|
Единственность можно доказать и другим путем, не |
||
прибегая |
к лемме Гронуолла — Веллмана. |
|
Так как х и у — два непрерывных и дифференцируемых |
||
решения |
уравнения, то их нормы на U0, Т 1 ограничены. |
|
Пусть |
пгх = шах Iх — у Ц. |
|
Из (5.12) |
||
находим |
||
|
|| х — y \^ m m x{t — у . |
|
Найденную оценку для || х — у |] снова подставим в (5.12). Получим
Повторяя этот процесс, будем иметь
Полагая п -*■ оа (при t < оо), получаем
||х — ^ ||< 0 .
Значит, | х — у || = 0 и х = у.
§6. Фундаментальная матрица системы
6.1.Решение матричного уравнения. Построим теперь решение матричного уравнения
• у - - И ( *>х |
<6 » |
при начальном условии
X (У = С, |
(6.2) |
где С — постоянная невырожденная матрица порядка п. Эта задача эквивалентна построению п решений вектор
но-матричного уравнения
|
|
= |
|
(6.3) |
соответствующих п начальным условиям |
|
|||
|
* (У = £,- |
(* = |
1,2, . . . , п), |
(6.4) |
где £{(( = |
1,2, ...» я) — столбцы матрицы С. |
|
||
По теореме существования и единственности решения |
||||
уравнения |
(6.3) каждому ct соответствует единственное ре |
|||
шение xt (t). Ясно, что матрица, |
составленная |
из этих ре |
||
шений, а |
именно матрица |
|
|
|
|
X = |
(д?1 х2 |
хп), |
|
представляет собой решение матричного уравнения (6.1) при начальном условии (6.2).
6.2.Формула Остроградского — Лиувилля. Продиффе
ренцируем определитель матрицы X (t) = |
х2... хп), пред |
|||
ставляющей |
решение уравнения (6.1) при |
условии (6.2): |
||
|
|
хи (0 |
xik (0 |
xiп (О |
d \ Х \ = |
у |
dxh (/) |
dxjk (О |
dxin <0 |
dt |
Z J |
dt |
di |
di |
|
|
xnl (0 |
xnk (0 |
xna (0 |
Ho |
|
|
|
|
dx |
|
|
(/, A = l , |
n), |
3 ^ - = 2tt/s(9*sft |
||||
S^=l
где u/s (s = |
1, |
|
2 |
•••* n) — элементы |
|
|
|||
|
“i |
|
|
||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*11 |
|
|
X lk |
|
хт |
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
*1*1 _ |
v |
n |
|
|
|
n |
|
п |
u<sXsrt |
2 |
|
u i*x *1 |
2 |
u i & * |
2 |
||||
|
/=1 |
|
|||||||
|
Ss=l |
|
|
S=1 |
|
$=1 |
|||
|
|
• |
|
*/»i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xnk |
|
vnn |
|
|
|
|
*n |
|
X lk |
x ln |
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
п |
п |
= 2 2 |
|
* s l |
|
Xsk |
Xsn = |
2 |
2 « /И 0 б /Л ^ |. |
||
/«! s = l |
|
|
|
|
|
» • |
/=1 |
s= l |
|
|
|
|
*n\ |
|
Xnk |
%nn |
|
|
|
где б/s — символ Кронекера, |
и, далее, |
|
|
||||||
|
|
^ |
|
|
= 2 “H ( 0 l * l = S p i / | x n . |
||||
|
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
Интегрируя последнее соотношение, получим ф о р м у л у О с т р о г р а д с к о г о — Л и у в и л л я:
l * ( 9 l = |X(<«)|exp j s PU(/)dt.
*) Сумма диагональных элементов квадратной матрицы А называется следом матрицы н обозначается через Sp А. След матрицы обладает свойствами:
1) Sp Л = Sp Л',
2) Sp (Л + В) = Sp А + Sp В (Л и В — квадратные матрицы одного
итого же порядка),
3)Sp (аЛ) = а Sp Л,
4)Sp (АВ) = Sp {ВА) (Л и В—матрицы типа т х п и п X т соот ветственно).
Первые три свойства очевидны. Последнее свойство можно доказать так. Если Л и В — матрицы с размерами соответственно т X п и п X я*, то
АВ = |
(jS а/А /) г |
ВА = ^ 2 |
6«ftaft/j* |
В соответствии с этим |
|
|
|
т |
п |
п т |
= SP <“ )• |
sP (ав) = 2 |
2 “А / = 2 2 |
||
|
1ft=] |
ft—1 |
|
6.3. Фундаментальная матрица. Пусть X — решение матричного уравнения (6.1) при условии (6.2). Покажем, что единственное решение векторно-матричного уравнения
з|^з- |
II |
V |
при условии |
|
|
|
|
II |
можно представить в виде |
|
|
(6.5)
(6.6)
x (t)= X (t)y , |
(6.7) |
где у — постоянная столбцовая матрица. |
|
Отметим прежде всего, что X (t) на любом |
отрезке |
[*0, t < оо] есть невырожденная матрица. Действительно, в соответствии с формулой Остроградского — Лиувилля имеем
|
i |
| X ( 0 | = | C|exp |
|‘S p £ /(/)<*/. |
|
it |
Так как V (/) непрерывна на |
t\, то все ее элементы на |
этом t промежутке ограничены, |
и, значит, нигде на U0, t\ |
exp ( Sp U (t)dt не может обратиться в нуль. Не равен нулю
К
также | С |, так как по условию С — невырожденная мат рица.
Значит,
IX (О IФ О*
Покажем теперь, что выражение вида (6.7) удовлетво ряет уравнению (6.5). С этой целью подставим (6.7) в (6.5). Получим
d X J J Y
-з г у = UХу.
В силу равенства (6.1) последнее соотношение выполняет ся тождественно. Остается показать, что заданием началь ного условия (6.6) однозначно определяется столбцовая матрица у. Что это так, видно из равенства
X(t0)y = x(t0).
В силу невырожденности матрицы X (t0) последнее уравне ние допускает единственное решение
у «= Х~' ((„) х (t0). |
(6.8) |
$ 7] МАТРИЦАНТ 149
Итак, любое решение уравнения (6.5) посредством матрицы X может быть представлено в виде (6.7). Матрица X назы вается фундаментальной матрицей системы (6.5).
Если X — фундаментальная матрица системы, то про изведение ХВ, где В — произвольная постоянная невырож денная матрица, есть также фундаментальная матрица, так как снова является решением матричного уравнения (6.1), но, конечно, при некотором другом начальном усло вии.
Подставив (6.8) в (6.7), получим |
|
x(i) = К (t, У * ( У ; |
(6.9) |
здесь
K ( t , g = л: (t) х ~ 1 (У
— м а т р и ц а К о ш и . Матрица Коши представляет со бой решение матричного уравнения (6.1) при начальном условии
X (У = Е.
Матрица Коши не зависит от выбора фундаментальной матрицы. В самом деле, если вместо X (/) взять фундамен тальную матрицу ХВ, где В — постоянная невырожденная матрица, то
к ft g = х © в в ~ ' х ~ 1 (g = х д х ~ ‘ W-
§7. Матрицант
В§ 5 было показано, что решение системы (5.1), удов летворяющее начальному условию х (/„) = с = х(0>, пред ставляется равномерно сходящимся рядом
х = хМ + |
2 |
(*<*> — *<"-!>). |
(7.1) |
Имеем (см. (5.5) и (5.6)) |
/у=1 |
|
|
|
|
|
|
i |
= |
t |
|
_ *<01 =. |[ и ft) л |
Г Uft) (ftjtW, |
|
|
to |
|
К |
|
t |
|
|
|
xVi — x<‘>= f Uft) 1*14 ft) — **»>)dt1=
и т. д.
Подставляя эти выражения в (7.1), имеем |
|
||||
i |
t |
t |
|
|
|
х — E + \ U (0 dt + |
f U (i)^U (/) dt2+ |
|
|||
|
|
to |
|
|
|
|
+ |
{U (/) j U(t) ( и ( 0 dP + |
I * 0’, |
||
ИЛИ |
|
to |
|
to |
|
x = Q !„* ( y , |
|
|
|
||
где |
|
|
(7.2) |
||
|
t |
t |
|
|
|
|
|
|
|
||
Q}. = E + | U (l) dt + j U (0 j |
U (0 dP + |
(7.3) |
|||
Квадратная матрица й!в называется матрицантом диф ференциальной системы (6.1).
Способом, указанным в § 5, легко доказывается, что мат ричный ряд (7.3) сходится равномерно на интервале П0, /J .
Продифференцируем ряд (7.3) по t:
dQ‘ |
|
|
|
|
|
*0 '=U(t) + U (t)[U (f)dt + |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
* |
< |
( |
|
|
|
н - 1/ (j!) 5 С/ (0 у С/ (0 |
+ |
=t/(<)Q{.. |
|||
|
dflf |
также |
равномерно |
сходя |
|
Отсюда видно, что ряд -g~- |
|||||
щийся. |
|
|
|
|
|
Итак, |
dQ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f0 |
0> |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
причем |
= |
£. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, fi{0 представляет собой фундаментальную |
|||||
матрицу однородной |
системы и любое решение |
этой |
систе |
||
мы представляется формулой (7.2). Сравнивая |
(7.2) |
и (6.9) |
|||
и помня о единственности решения однородной системы при заданном начальном условии, получаем
= к ц. у .