книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

Формула (4.17) определяет все субматрицы блочной мат­ рицы Q$ 1, кроме одной — QaaИз вышеизложенного ясно,

Mw = I

Полученные соотношения позволяют последовательно определить члены разложения (4.7), посредством которых представляется формальное решение системы (4.3) в форме (4.5) — (4.6). Тем самым теорема доказана.

ются инвариантными и циклическими подпространствами п-мерного пространства R относительно линейного опе­ ратора U, которому внекотором базисеотвечаетматрица U. Тогда формальное решение системы (4.3) может быть представлено равенствами

где Ко, Ла, Ма, R — матрицы типа соответственно п хka,

ное решение представляется равенствами

*т(*,е) = 2 /С Г(*. г ) ^ т),

где

З а м е ч а н и е . Для построения приближенного реше­ ния условия дифференцируемости матриц Av>BVyсформули­ рованные в теоремах 4.1 и 4.2, могут быть ослаблены: для формального построения приближенного решения хт до­ статочно существования лишь первых т — v производных матриц Л v и Вч (v С т).

При условии, что матрицы Av и fiv (v < т) имеют на ГО, L] производные по т до (т — v -f- 1)-го порядка вклю­ чительно, a f (/, т, е) — непрерывная вектор-функция, ре­ гулярная относительно е в окрестности точки е = 0, име­ ют место следующие оценки для приближенного решения хт(см. Приложение).

Если, помимо сделанных выше предположений, все соб­ ственные значения эрмитовой матрицы 1/2 (А + А*) не­ положительны, то

В случае однородной системы (fs O ) имеет место оценка

1 % | ‘С

Последняя оценка остается в силе и для приближенного решения однородной системы, представленного в форме (3.30), (3.31).

Приведенные оценки свидетельствуют об асимптотиче­ ском характере построенных приближенных решений.

Г л а в а X

ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

В теории линейных систем автоматического управления широко используются некоторые характеристики систем, которые, являясь носителями довольно полной информации о свойствах системы, оказываются очень удобными при ана­ лизе процессов в систе­ ме и, в частности, при определении реакций си­ стемы на те или иные входные воздействия.

Настоящая глава посвя­ щается такого рода характеристикам многомерной линей­

где х — матрица выходных сигналов xlt х2, ..., хп (столб­ цовая матрица с размерами п х I); и — матрица входных сигналов и1г и21 •••» Щ (столбцовая матрица с размерами / X 1); А, В, Н — матрицы динамических коэффициентов системы с размерами п х п , п х п н п х 1 соответственно.

§1. Единичная ступенчатая функция

идельта-функция

Ступенчатой функцией действительной переменной на­ зывается функция, значение которой изменяется только в дискретной последовательности точек разрыва первого рода. Часто используемой в приложениях ступенчатой функцией

является симметричная единичная функция

где a <^b, a f(z) — произвольная функция, являющаяся в окрестности точки z — t функцией ограниченной вариации.

Для произвольных функций f (г), непрерывных в точке z — t, в частности, имеем

которые часто принимаются в качестве определения дель­ та-функции.

Среди функций, понимаемых в обычном смысле, нет функций со свойствами (1.4), б (г) является символической (обобщенной) функцией, с помощью которой функциональ­ ное преобразование / © - * - / (/) формально можно пред­

ставить как интегральное преобразование. Формальное применение дельта-функции приводит к удобным построе­ ниям, позволяющим получить обобщения многих матема­ тических соотношений, ко­ торые, однако, вообще го­ воря, нуждаются в стро­ гих обоснованиях. Мы здесь не будем касаться вопросов обоснования при­ меняемых далее операций с использованием дельта­ функции, отсылая читателя к монографиям, в которых более детально рассмотре­

ны применения дельта-функции Дирака в теории линейных

ная /w (г) которой имеет односторонние пределы /<Г) (t — 0)

Согласно приведенным соотношениям в случае совпаде­ ния одного из пределов интегрирования с моментом дейст­ вия дельта-функции t перед функцией f<r) (t) (г = 0, 1 ,2 ,...) в правых частях соотношений появляется коэффициент 1/2. Это является следствием того, что как дельта-функция, так и ее производные обладают симметрией относительно мо­ мента t. Однако в большинстве случаев, связанных с прак­ тическим применением, коэффициент 1/2 опускают, пред­ полагая такое расширение пределов интегрирования, при котором импульс целиком оказывается в интервале интегри­

Связь между дельта-функцией 6 (z) и единичной функ­ цией 1 (г) представляется символическим соотношением

которое легко устанавливается, например, с помощью пре­

образования Лапласа:

оо

« ( < - ! ) = L~'L [f>(t - £)1 = L~' j 8 (t — I) e~p,dt =

= L~' [e_s<l] = l r ' { p L { 1 (t - 0]) = L~'L | Г (/ - 0] =

П р и м е ч а н и е . Все соотношения настоящего пара­ графа сохраняют свой внешний вид и в том случае, когда вместо скалярной функции f (г) стоит прямоугольная мат­ рица, элементами которой служат скалярные функции с соответствующими свойствами.

§ 2. Реакция системы на входной сигнал в виде дельта-функции. Импульсная переходная функция

Реакцию предварительно невозбужденной системы на входной сигнал в виде дельта-функции принято называть

импульсной переходной функцией (иногда эту реакцию называют весовой функцией). Допустим, что на /-й вход пред­

варительно невозбужденной системы подается сигнал в ви­ де дельта-функции 5 (t — |). На г-м выходе появится выход­ ной сигнал — импульсная переходная функция, которую обозначим через gtj (t, £). Сигнал в виде дельта-функции,

Столбцы матрицы G (t, £) обозначим через gj (/, |):

Каждый такой столбец представляет собой набор им­ пульсных переходных функций по всем выходам системы, отвечающий какому-нибудь ее входу.

Выходные сигналы не могут появиться раньше, чем бу­ дет приложен входной сигнал, поэтому в реальных систе­ мах

gu(ty| ) S B O при t < t

Это свойство реальных систем принято называть усло­ вием физической осуществимости или физической реализуе­ мости системы.

Для определения матрицы G (t, £) уравнение (0.1) за­ меним эквивалентным соотношением

t

x = X ( t) c + ^ X ( t) Х~' (?) А~' (?) Н (?) и d?,

Если система до подачи входного сигнала находилась в покое, так что х (t0) = 0, то с = 0 и в случае предваритель­ но невозбужденной системы имеем

Пусть на /-й вход предварительно невозбужденной си­ стемы подан сигнал в виде дельта-функции, т. е.

В соответствии с этим

Согласно вышеизложенному. G (/, £) представляет собой решение матричного дифференциального уравнения

при условии

с (£ — °> £) = 0.