систему в матричном виде. Положим
В этих обозначениях уравнения управляемого процесса принимают вид
t |
(1.4) |
и = f G(t — t',t')u(t')dt', |
—оо
v = T(t) х.
В пределах данной главы, не оговаривая особо, будем предполагать, что Л, В, Я, Т, Gдифференцируемы по своим аргументам любое нужное число раз.
1 .1 . О существовании и структуре преобразования к диф ференциальной системе.
Те о р е м а 1.1. Пусть функциональные матрицы А (t)t
В(0. Я (t), G (t — tf, П , Т (t) удовлетворяют условиям
существования и единственности решения на промежутке
to < t < T |
матричного интегро-дифференциального урав |
нения |
t |
, |
|
A ( t ) |
= В (t)X + Н (t) j |
G(l — t',t') T ( t') X ( i') d l', |
|
—OQ |
X (to) — En,
(1-5)
с невырожденной и дифференцируемой на [t0,T ] матрицей К приводит систему (1.4) к векторно-матричному уравнению
с непрерывной на 1/0, Т\ матрицей V тогда и только тогда, когда
где X (0 — единственное решение уравнения (1.5), С — постоянная невырожденная матрица порядка п, a Z (0 — непрерывно дифференцируемая и невырожденная на U0> 74 матрица порядка п.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Замена переменных (1.6) при водит систему (1.4) к матричному уравнению
|
|
t |
|
|
|
|
КС |
= А~'Н |
j G(t — f, п Т (/') X (t’)C[Z(V)у (V) — |
|
|
|
|
|
|
- Z (t) у (01d l\ |
которое |
допускает |
решение |
|
|
|
Отсюда |
|
Z (t) у (t) = |
const. |
|
|
dy |
_ |
7- l |
_dz_ |
|
|
|
(1.9) |
|
|
di |
— |
L |
di У' |
|
|
|
В силу свойств матрицы Z матрица
преобразованного уравнения (1.9) непрерывна на U0» Т]. Пусть, далее, К (t) — матрица преобразования, которое систему (1.4) приводит к уравнению (1.7). Покажем, что тог
да К (t) представима в форме (1 .8).
Матрица этого преобразования удовлетворяет уравнению
(■$- + № - А ~ 'В к )у =
t
= А~1Н | G(t — t’,t’)T (f) К (П У(О <й'.
Имеем
где У — фундаментальная матрица системы (1.7), а с - столбцовая матрица произвольных постоянных. Учитывая это, получаем
|
= A~'BK — KU + А ~'Н 1У -\ |
(1.10) |
где |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/(f) = |
j G(f — *\Г)Г (/')/<Т)У ( 0 |
<#'. |
|
|
|
—00 |
|
|
|
|
|
|
|
Принимая во внимание (1.5) и (1.10), а также соотноше |
ния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х = К У , |
- f - = W . |
|
|
|
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
d ( X ~ ‘KY) |
dX~‘ |
w |
, И |
« |
v , |
H f |
^ |
|
|
— я— = - я ~ кг + х - у + } г к -Ж |
|
|
|
|
|
1—1 |
|
—1 ; |
г- 1 Л-\, |
|
|
= — Х~' (A~lBX + A-'HI) X~'KY + X-'A-'BKY — |
|
— X-'KUY + X ~'A ~'H IY ~'Y а- х ~'к |
= 0 |
Поэтому |
|
Х ~'ку = |
С = const. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, полагая Y = |
Z ~\ получаем |
|
|
|
|
Теорема доказана. |
К = XCZ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 .2 . |
О методике построения |
приближенного |
решения |
уравнений. Интегро-дифференциальная система |
(1.4) |
со |
держится в следующем семействе систем уравнений более |
общего вида: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А (т) ~НГ = |
В (т)х + |
г*Н № “• |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
и ~ |
j G(t — f,Y)v(t',T')df, |
(1. 11) |
|
|
|
—00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
v = Т (т) х |
|
|
|
|
|
|
|
(т = е/, |
е > |
0 , р > |
0). |
|
|
|
|
Ясно, что при е *= 1 (1.11) совпадает с (1.4). В силу это |
го всякое |
решение |
х (i, е) |
системы |
(1 .1 1 ) при |
значении |
групп. Предполагая, что коэффициенты уравнений в систе ме (2 .1 ) имеют на [О, L 1 производные по т всех порядков, решение этой системы будем искать в виде
|
х = |
S Ко (Т, Е) уа ф, |
|
(2.2) |
|
йУо |
|
0=1 |
|
|
|
|
= |
Ао (Т, 8) уд |
(о = 1 , 2 , |
р), |
(2.3) |
|
dt |
|
где |
|
|
|
|
|
|
Ко (т, е) = |
2 |
efe/C[0ft] (т), |
Аа (т, е) = |
2 ^A j,*1 (т). |
(2.4) |
|
|
й=0 |
|
|
fc=0 |
|
Всвою очередь решения уравнений (2.3) будем строить
вформе ряда
Подставим значения А0 и у0 из (2.4) и (2.5) в (2.3) и приравняем в полученном соотношении коэффициенты при одинаковых степенях е. В результате придем к следующей системе уравнений:
*4Ч |
- |
ft—1 |
|
+ S AP-'I1)P |
(A = 1 , 2 , .. .)• |
df |
|
/=0 |
|
Пусть |
К? 1 |
— фундаментальная |
матрица решений урав |
нения |
|
|
|
так что |
|
dt = л » |
, |
|
|
|
У1о] - Y™ca
((са — матрица-столбец произвольных постоянных). Тогда частное решение уравнения
|
Л - 1 |
,, - A W 1 + s М Г Ч Р |
dt |
is=0 |
можно представить |
так: |
Обозначив
УУ1(t) = У™ (?) j К™"' (?) 2 |
(т') У''1(?) d?, (2 6) |
to |
<==0 |
4 ' ' |
будем иметь
ь4 ] = к»1(0 ( У'0)-' (Г) Л?1(г') у ?1(?) d? =
I
= у У>(<) i И01-1 (?) лу1(У) У™ (?) d?cс = yyi (/)
уУ] = yt°l (<) ( уга- 1 (/') [АУ1 (т') (/У1 (У) + <«
+ лУ1 (т') (/У1 (Щ Л ' = У™ (О J У™ - 1 (У) |ЛУ> (т') y y i (Г) +
*0
+ лУ1(У) yyi(01df'c,= yyi (<)Со
И, вообще,
|
yW = y tfclCo |
(Л = 1 , 2 , |
. . . )• |
|
(2 .7) |
Равенства (2.6) и (2.7) определяют tffl через Л?1, |
д ? 1. |
Перейдем к построению |
Л р (k = О, |
1, 2 , |
...). |
Подставим (2.2) и (2.3) в уравнения (2.1) и приравняем |
нулю сумму всех слагаемых, содержащих уа. Получим |
/ dK„ |
~ |
~ \ ~ |
|
|
|
|
\г-а Г + К оЛ о -иК о)уо - |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
— е А - 'Н |
J’ G(t — ?, т') Т (У) |
(У, е) |
(?) d? = 0. |
|
|
—оо |
|
|
|
|
В |
последнее |
равенство |
подставим |
разложения |
(2.4), |
(2.5) и приравняем коэффициенты при одинаковых степе нях е. Будем иметь
/-УW - |
0. |
|
4 Уо0) + 2 Lik~a4 al + /У -11 = |
о |
(* = 1, 2, . . . ) . |
а= 1 |
|
' |
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
№ |
- |
riP/iff1- ш & . |
Jff[ft—'1] |
|
|
|
|
k |
к1к- а№ |
|
|
|
Д |
Р - |
2 |
- и к Ъ п + |
а |
(ft = 1 , 2 , ... ), |
а |
|
а=0 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/Sr1 = -А~'Н f |
GT 2 |
К ^ у ?1 4 г |
(г = |
0 ,1,2, ...). |
|
|
|
-оо |
|
|
|
са — произвольная |
|
Используя (2.7) и учитывая, что |
матрица, из (2 .8) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
ДРИР= О, |
|
1 |
z.JW ’1+ |
2 |
|
+ /й г‘1 = |
о |
(ft = |
1, 2, ... ) , |
|
|
|
а= 1 |
|
|
|
|
(2-9) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
/й = —Л-1// |
f GT 2 |
|
|
(2.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—оо а^О |
|
|
|
Пусть К = (/Cj.../Ср) — нужное число раз дифферен цируемая матрица, преобразующая матрицу U к квазидиагоиальному виду
Л
(см. гл. V). |
|
|
|
Положим |
|
л,41» |
|
/cS01= к а, |
(2J1) |
При таком выборе |
и Л.01 |
|
|
Ц0) ^ о ,
аостальные равенства (2.9) принимают вид
L.X'Y'g1+ |
2 |
+ |
4о~ 11 = 0 |
(ft = |
1 , 2 , |
. . . ) . |
|
а—1 |
|
|
|
|
(2.12) |
|
|
|
|
|
|
Используя принятые выше обозначения, равенства (2 .12 ) |
перепишем |
так; |
|
|
|
|
|
W 1,* 1 - (СЙ'Лп + |
КЛ*' + |
D[k~n |
(ft = 1,2, |
... ) , |
(2.13) |
где |
|
ft—1 |
—1] |
|
|
d |
f " - |
|
|
s |
— + |
|
|
|
|
a=l |
ax |
|
|
|
|
|
+ Q s |
+ |
/Е.0-11) Yo'. |
|
Мы пришли к соотношениям, из которых, как было по |
казано |
в § 2 гл. VIII, можно |
определить |
/Со1 и А*1, если |
О? |
- 1 1 — известная |
матрица. |
|
|
|
|
Нам известно значение А? 1 |
(см. (2.11)). Поэтому можно |
определить /Щ по |
формуле |
(2.10). Тогда |
|
будет из |
вестной |
величиной, |
что позволит определить. |
/Со1 и AJ4 |
используя (2.13). И вообще, если уже найдены /Со1»Л ^, /оо I •••» А ?-11, ЛЕгА_Ч то можно определить /ЙГ,]» используя
для этого (2 .6) и (2 . 10), |
а затем /Со1. |
посредством соот |
ветствующего равенства (2.13). |
|
Итак, приведенная |
расчетная схема |
позволяет интегри |
рование уравнения (2 . 1) свести к интегрированию расщеп ленной системы дифференциальных уравнений (2.3), а точ нее, к интегрированию уравнений
— = Лог/а01 ( а --=1 , 2 , р),
ибо, имея матрицы фундаментальных решений этих уравне
ний К]01, У*01, ...» К?1, можно определить уа ( a = 1 , 2 .....р), пользуясь формулами (2.6) и (2.7).
§ 3. Приближенное интегрирование уравнений управляемого процесса при малом воздействии регулятора на процесс (случай А)
Для построения приближенного решения системы (1.4) используем систему (1.11), полагая р — 1. Итак, имеем
А <т) 1!Г = |
В (*) х + еН (т) и, |
|
и ~ |
$ C (t-t',T ')v(t',i')d t'„ |
(3,1) |
|
— ■ОО |
|
Формальное решение системы (3.1) существенно зависит
от поведения собственных значений матрицы U = А~ХВ на рассматриваемом п р о м е ж у т к е 0 < т < 1 . Мы здесь огра ничимся изложением процесса построения формального решения в простейшем случае, когда на [О, L] все собствен ные значения матрицы U простые.
3.1. Построение формального решения. Собственные значения квадратной матрицы U порядка п обозначим че рез Xv Х2, ..., Хп, а собственный вектор этой матрицы, от
вечающий |
собственному значению Ха,— через |
Ко- |
Т е о р е м а 3.1. Если |
|
h (*) — |
(т)|> 0 |
(*, / = 1 , 2 , . . . , n; i Фу, |
т £ [О, Ц), |
|
|
|
(3.2) |
то формальное решение системы (3.1) на промежутке 0 С -< т -< L можно представить в виде
x(t,e>) = 2 |
(т, е) Уа, |
jj—= ^о(т, В)Уа, (3.3) |
0= 1 |
ш |
где Ко и Ха — соответственно |
столбцовая матрица и ска |
лярная функция, |
имеющие формальные разложения |
Ко{т, е) = Ко (т) |
2 |
о*1(т), |
|
|
|
|
|
k—\ |
|
|
СО |
|
|
|
|
|
Х„(т, Е) = к (т) + |
|
|
|
|
|
2 |
(т). (3.4) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Подставим |
fc=l |
систему |
(3.3) в |
уравнений |
(3.1). Получим |
|
|
|
1 * |
Е |
+ Ка^а J Уо — |
|
|
|
о=1 |
2 ВКоУо Н- Б-^ |
t |
|
|
|
|
|
|
|
= |
\ G(/ |
t , т ) Т (т*) Ка (тг, s) yadt' |
|
0=1 |
|
|
|
|
|
|
Выбор Ко и Я0 |
ограничим требованием выполнения ра |
венств |
|
|
|
|
|
|
А |
-f /СЛт) |
|
|
+ |
|
|
+ еЯ |
Г |
— //1т/)7, (т,) ^ а К , в ) ! / а Л ' |
( о = 1,2, |
. . . , « ) . |
Из (3.5) следуют равенства
Л(х) |
dKa (т, Е) |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
+ Ко(ч,ъ)Ьо (т, е) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= В (т) Ко (т, в) + |
вН (т) 1д (3.6) |
|
|
|
|
(а = |
1 , 2 , |
. |
п), |
|
|
где столбцовая матрица 1а типа / X |
1 имеет вид |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/<Г = |
j G(t — 1\ т') Т (т') Ко (*', |
е) exp [0ff (*', в)— 0а (it, е)] dt\ |
|
—оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а 0а — функция, удовлетворяющая соотношению |
|
|
|
|
dB„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- / - = Яа(т,е). |
|
|
После замены переменных t — t' |
— s |
|
|
/о = |
J G(s, т — E S ) Т (т — es) Ко (т — es, в) exp [0О(t — s, в) — |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
— 0О(/, в)] ds. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя разложения |
|
|
|
|
|
|
О (S, т - 8S) = |
G (s, т) - |
8S |
30£ 9 - |
+ |
-1 8У |
------- , |
|
|
|
|
|
дх |
|
|
|
|
|
Т (т — BS)==T (т) — |
dT (т) |
|
1 |
|
d2T (т) |
BS |
dx |
+ -^-B2S2 |
dT2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
^Са (Т — BS, В) = |
Ко (Т, В) — BS d^o^(г, в) |
, |
|
|
+ |
_>_ey |
. ^dx*' 8> — |
exp[0о{t — S,в) — 0O(/,в)1 |
|
- |
exp [— sko (T, e ) - f |
1 |
|
dXa (T,8) |
|
|
-я- e s |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I 2 8 |
d2M T,e) . |
eas8 |
— Vs------f- |
|
dx2 |
|
1 |
dt* |
+ |
6 |
= fl + BS2 |
d V ( T , S ) |
[+ |
dx |
|
2 d^q (T, e)
BS
dx
