книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

Вышеизложенное позволяет сформулировать следующие условия устойчивости.

то невозмущенный процесс {решение уравнения (2.2)) устой­ чив на промежутке U0, Т).

Т е о р е м а 4.2. Пусть на промежутке [t0, Т)

Тогда невозмущенный процесс {решение уравнения (2.2)) ус­ тойчив на [tQ Т).

Те о р е м а 4.3. Пусть на промежутке U0, Т)

а(0 <со(0

и

где Ъ— положительная постоянная. Тогда невозмущенный процесс {решение уравнения (2.2)) асимптотически устойчив на U0,oo )•

Наконец, призедем еще одну теорему, определяющую условие существования конечного промежутка времени, на котором процесс устойчив.

Те о р е м а 4.5. Если на промежутке [/0, у

а(0 < со (*)

на котором невозмущенный процесс {решение уравнения (2.2)) устойчив.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Условие (4.2) эквивалентно неравенству

Р (У <0,

а последнее соотношение влечет за собой, в силу непрерыв­ ности функции р, (0. выполнение неравенства

р( / ) < 0

впределах некоторого конечного промежутка U0. Т), и по­ тому, согласно теореме 4.2, невозмущенный процесс (реше­

ние уравнения (2.2) устойчив.

§ 5. Случай стационарной системы

Рассмотрим процесс, представленный уравнением

где U— постоянная квадратная матрица порядка п. Для простоты ограничимся случаем, когда U — матрица прос­ той структуры. В этом случае фундаментальную матрицу системы (5.1) можно представить в виде

деляющая класс п х л-матриц Ад, a a (t) — некоторая непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая на заданном промежутке U0, Т) условиям *)

В формуле (2.4), представляющей матрицу преобразова­ ния уравнения (5.1) к уравнению с диагональной матрицей А, положим С = Г. Тогда в соответствии с (2.10)

*) Если 0(/) — сама непрерывно дифференцируемая функция, то в качестве а(/), которая определяет норму столбцов матрицы преобразо­ вания уравнения (5.1) к уравнению с диагональной матрицей, можно принять заданную функцию ш(/).

устойчивости на промежутке U0, оо):

maxff Rev0 < 0 .

Условие асимптотической устойчивости на U0, оо):

§ 6. Об устойчивости на конечном промежутке нелинейного процесса по линейному приближению

Ниже устанавливаются некоторые условия устойчивости на конечном промежутке [/„, Т) (Т <; оо) процесса, пред­ ставленного тривиальным решением (я == 0) векторно-мат­ ричного уравнения

6.1.Теоремы об устойчивости по линейному приближе­

нию. Пусть (о (/) — заданная функция, порождающая класс

л х л-матриц К ! а К (t) = (/(i /С2 ... Кп) — невырожден­ ная и дифференцируемая на [10, Т ] матрица преобразования уравнения линейного приближения

-ТВ— " ® *

к уравнению

где a (t) — положительная функция, непрерывно дифферен­ цируемая на U0t Т), причем a (t0) = со (t0).

Те о р е м а 6.1. Пусть на промежутке [/<>> Т)

а(*)<а>(0

и

где b — положительное число. Тогда невозмущенный про­ цесс (тривиальное решение уравнения (6.1)) устойчив на про­ межутке U0, Т).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Введем в рассмотрение мат­ рицу

0(t) = К (t) <а(0a(t)

Ясно, что G (/) есть матрица класса /(д. Для доказатель­ ства теоремы достаточно показать, что все решения урав­ нения (6.1), удовлетворяющие условию

В уравнении (6.1) произведем замену переменных

х = Ку.

Получим

-%- = Л(t)!/ + M(t)h(i,Ky),

где М = /С-1. Функция

V(t, х) = (K~l (t)х, /С-1 (t)х) =Цу ||а

является положительно определенной. Ее производная по t, вычисленная в силу уравнения возмущенного процесса (6.1), представляется в виде

Преобразуем интеграл

(

/ = f 2 2 R e * B|0,|*<#. t O’

Так как A (t) — диагональная матрица, векторно-мат­ ричное уравнение относительно у можно представить в виде следующей системы уравнений первого порядка:

^hr = К9а + M0h ( о = 1 , 2 , . . . , п).

где Ма — строка а матрицы М .

Отсюда, переходя к дифференциальному уравнению от­ носительно модуля | £/а | и интегрируя это уравнение, полу­ чим

г

Принимая во внимание полученное выражение для ин­ теграла /, будем иметь

V (It, *) =

у-* 0

Действительно,

Так как К — матрица, невырожденная на замкнутом промежутке U0, 74, то М на этом промежутке — ограничен­ ная матрица с ограниченной нормой. Кроме того, в силу

В этих условиях JIIу0Ml — ограниченная величина, и

так как ограничены и все другие множители подынтеграль­ ного выражения, то

II У II*

ИУо II3

полнение и неравенства (6.5), так как на промежутке [/0, Т)

на котором невозмущенный процесс {тривиальное решение уравнения (6.1)) устойчив.

Д о к а з а т е л ь с т в о . При условии (6.9) по непре­ рывности в пределах некоторого замкнутого промежутка Но, Т] ( t o < T < у

Согласно неравенству (6.10) существует такое положи­ тельное число b, что p ,(f)< — Ь {t £ [/0, Г]).

Таким образом, на промежутке [t0, Т) условия теоремы 6.1 выполняются, и, значит, на этом промежутке невозму­ щенный процесс устойчив.

6.2.Обобщение теорем об устойчивости по линейному

приближению. Условия устойчивости, установленные в п. 6.1, основаны на теореме 2.2 о диагонализации линейной системы. Эта теорема определяет общий вид матрицы преоб­ разования линейной системы к диагональному виду. Одна­ ко, чтобы воспользоваться представлением (2.4), нужно располагать фундаментальной матрицей X линейной си­ стемы. В некоторых случаях, например в случае линейной стационарной системы, определение X, а значит и матрицы преобразования линейной системы к диагональному виду, не представляет труда. Но все же случаи, когда могут быть найдены точные выражения для X в конечном виде, исклю­ чительны. В то же время имеется возможность построения матрицы преобразования линейной дифференциальной си­ стемы к системе, «близкой» к диагональной. В связи с этим представляется целесообразным построение достаточных ус­ ловий устойчивости, основанных на преобразованиях тако­ го рода.

Замена переменных

х — К у

приводит уравнение (6.1) к виду

=A(t)y — M(t)N(t)y + M(t)h(t, Ky).

Полная производная от положительно определенной функции

V(t,x) = (K~'(t)x, K~'(f)x) = l y f

по t в силу уравнения возмущенного процесса в данном случае представляется в виде

где

Р = —-i-(AW + /V*M*)-

Интегрируя (6.11) в пределах от /„ до 1, получаем