книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

в случае выполнения равенства (2.9) об устойчивости реше­ ния линейного уравнения (1.3) без более подробного ана­

В соответствии с выражениями (2.3) и (2.10) производная от положительно определенной функции V (t, х) по t, вы­ численная в силу уравнений возмущенного процесса, равна

то существует конечный промежуток ItQ, t0 -f- At), на ко­ тором невозмущенный процесс (тривиальное решение урав­

Принимая во внимание (2.13), из (2.11) получаем

Отсюда видно, что если имеет место неравенство (2.12), то при достаточно малых || у || в точке t = tQ, а по непре­ рывности и в пределах некоторого конечного промежутка

на котором невозмущенный процесс (тривиальное решение

уравнения (1.4)) обладал бы устойчивостью по отношению

кобласти (2.3), т. е. At = 0.

До к а з а т е л ь с т в о . Согласно (2.11) полная про­ изводная от функции V {t, х) в силу уравнений возмущен­ ного процесса равна

■dVV (f)) =4y(t)T<»(t, у (0) + 2 Re(y*Mh). (2.15)

Если ф (t, у) Ф 0, то при достаточно малых || у [, в силу свойства (2.13) нелинейного члена уравнения, знак правой части равенства (2.15) совпадает со знаком функции

Ф V, У (0 )*

Допустим для определенности, что

и рассмотрим частное решение уравнения (1.4) х° — К (/) у°, определенное начальными условиями

ф (У У (to)) ~ Ро (to)

Поэтому в точке t0 при достаточно малых р правая часть равенства (2.15) положительна. По непрерывности она по­ ложительна и в некоторой окрестности l/0, t0 + At) точ­ ки t0. Значит, в этой окрестности

и, значит, условия (1.1), (1.2) не выполняются. Теорема доказана.

Соотношение (2.16) допускает существование частного решения х° = Ку°, удовлетворяющего равенствам

то линейный процесс (тривиальное решение уравнения (1.3)) обладает устойчивостью на заданном промежутке [*о. Т) по отношению к области (2.3).

Д о к а з а т е л ь с т в о . В случае линейной системы (см. (2.18))

что и доказывает теорему.

Из этой теоремы вытекает, в частности, что если

Р о (0 < 0 (t£[t0tT)),

то линейный процесс (тривиальное решение уравнения (1.3))

то линейный процесс {тривиальное решение уравнения (1.3)) не обладает устойчивостью на заданном промежутке lt0, Т) по отношению к области (2.3).

в пределах некоторого конечного отрезка [/0, t0 -f- АН, и потому имеется точка tt £ (t0, t0 + А/), в которой

вости не выполняются. Теорема доказана.

Эти две теоремы можно объединить в одну общую.

Т е о р е м а 2.7. Для устойчивости линейного процес­ са {тривиального решения уравнения (1.3)) на заданном про­ межутке [t0, Т) относительно области (2.3) необходимо и достаточно, чтобы

{тривиальное решение уравнения (1.4)) обладает устойчи­ востью на заданном промежутке U0, Т) по отношению к области (2.3).

любое решение уравнения (1.4), удовлетворяющее условию

то невозмущенный процесс (тривиальное решение уравнения (1.4)) не обладает устойчивостью на конечном промежутке [/о. Т) по отношению к области (2.3).

Итак, если имеет место неравенство (2.23), то условия устойчивости не выполняются. Теорема доказана.

Т е о р е м а 3.2. Если

Ро(^о) “f" ^mln (^о)^

то не существует конечного промежутка [/„, /0 -f- А/), на котором невозмущенный процесс (тривиальное решение урав­ нения (1.4)) обладал бы устойчивостью по отношению к области (3.3), т. е. At = 0.

Если ф (t, у) Ф 0, то при достаточно малых 1 у || в силу свойства (3.7) нелинейной части уравнения возмущенного

~Р» Уо (to) = 0 (а Ф s). Согласно условию теоремы

Ф (^0» У (40) ==Ро Vo) Н Цу О ||а “ ^ Ро(to) ^пИп(to)^ 0.

Поэтому в точке /„.при достаточно малых р правая часть равенства (3.8) положительна. По непрерывности она поло­ жительна и в некоторой окрестности 1/„, /0 + А/) точки /0. Значит, в этой окрестности

dV(t, *>) ^ п

Ш

Таким образом, имеется частное решение уравнения (1.4), вдоль которого в пределах сколь угодно малой ок­ рестности точки /„

и, значит, условия устойчивости не выполняются. Теорема доказана.

Если

без анализа свойств нелинейной части уравнения возмущен­ ного процесса ничего определенного сказать нельзя. В са­

а по непрерывности и в пределах некоторой окрестности точ­ ки tQправая часть соотношения (3.8) может быть и поло­ жительной, и отрицательной, и нулевой величиной.

3.2.Критерии устойчивости на заданном промежутке.

4* (* — *o) Ф(*» У) [> (3 10)

где Ь — положительное число, то невозмущенный процесс (тривиальное решение уравнения (1.4)) обладает устойчи­ востью на заданном промежутке [/0, Т) по отношению к области (3.3).