Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

26.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4432 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

§ 1)

разбивая собственные значения матрицы и на п групп (по одному собственному значению в каждой группе). При этом расщепленная система (1.8) имеет вид

d2z„	(о = 1,2, . . . , л).	(1.10)
—Jja— h VaZo = 0

В частности, и имеет простую структуру, если L0 и Ь2— симметрические матрицы. В этом случае, можно показать *), собственные значения v0 (a = 1, 2, ..., я) — вещественные числа. В соответствии с этим, если va >■ 0, то координата

za совершает	гармонлческие		колебания с частотой V vCT;
при va = 0 координата га		изменяется по линейному зако
ну. Наконец,	при vff< 0	2„	представляется в виде линей

ной комбинации функций exp (j/v a/) и ехр (— |/ vat). Уравнением вида (1.7) описываются и малые собствен

ные колебания механической системы без трения. При этом L0 и L2 — симметрические матрицы, а все собственные зна

чения va матрицы L y!L2 — положительные числа (см., на пример, [47]). Элементами матрицы q служат некоторые об общенные координаты системы qv qz, ..., qn. Согласно (1.6) каждая из обобщенных координат qa есть линейная комби нация координат za (о = 1, 2, ..., я), именуемых в механике

нормальными координатами механической системы. В отли чие от других обобщенных координат, каждая из нормаль ных координат удовлетворяет отдельному уравнению вто

рого порядка

&га

~dtr + v°za

Как отмечалось выше, при va > 0 координата га совер

шает гармонические колебания с частотой V v0. Эта часто та колебания нормальной координаты называется нормаль ной или собственной частотой. В связи с этим операцию приведения уравнения (1.7) к виду (1.10) называют преобра зованием системы к нормальным координатам.

1.2. Неоднородная система. Замена переменных (1.6) в предположении, что собственные значения матрицы и разбиты на р групп при условии (1.3), приводит неоднород ную систему

*) См. гл. XIII.

к расщепленному виду:

й2га

-#т- + а а2а = VoLО Ф (а = 1,2, р).

Если все собственные значения матрицы и просты, то, разбивая их на п групп (по одному собственному значению в каждой группе), будем иметь а в форме диагональной матрицы, по диагонали которой расположены собственные значения vx, ...» v„. В соответствии с этим расщепленная система примет вид

—Jp--- Ь voZo =

*ф

(ст = 112,

n).

§ 2. Формальные преобразования нестационарной системы

Взамен системы (0.1) рассмотрим систему более общего вида:

М т*е) “^ " + БМ Т. е	) L2(T,e)(7= Ф	(т = zt).
		(2. 1)

Поскольку система (2.1) при в = 1 совпадает с системой (0.1), то всякие формальные преобразования системы (2.1), тождественные по е, можно немедленно перенести на систе му (0.1), придав параметру s значение 1. Присутствие мно

жителя s при слагаемом LX(T, е)	в левой части системы
(2.1) не мешает построению этим	путем формального реше
ния системы (0.1), какова бы ни	была матрица	(т, е).

Иное дело, если речь идет о приближенном решении системы, построенном по формальному решению. В этом случае при

ближенное решение	будет представлять точное с погреш
ностью тем меньшей,	чем «меньше» матрица	(т,	е) (т. е.
чем меньше по модулю элементы матрицы Ьг (т,			е)). Если

L%(т, е) нельзя рассматривать как «малую матрицу, то для построения соответствующего приближенного решения сле довало бы использовать формальное решение системы

LoС*. Е) 4 ^" + Li (т*е) (т>е) Я = Ф- (2.2)

Построение формального решения системы (2.2), как и ее преобразование к расщепленному виду,— задача более сложная, чем для системы (2.1). Мы здесь ограничимся

указанием лишь путей расщепления уравнения (2.2), не вда ваясь в детали.

Прежде всего, подобно системе с постоянными коэффи циентами, здесь тоже можно исключить слагаемое, содер жащее dqfdt. Так, замена переменных

д = Уг,

где квадратная	матрица V — невырожденное		решение
матричного уравнения
	4 г = - х ^ ' ^ '		<2-3>
преобразует систему (2.2) к виду
	d h	+ wz = V lL0V	(2-4)
где	dt2
где
w = V~l	~	4 - (« - ‘Ii)* - 4 - - diL° 'Ll>
		dt

К системе (2.4) применим тот алгоритм, который будет изложен ниже. Правда, переход к этой системе можно осу ществить только после построения матрицы w, которая в свою очередь определяется через матрицу V — фунда ментальную матрицу системы (2.3).

Системы типа (2.3) были рассмотрены в гл. VIII. В слу

чае, когда все собственные значения матрицы LJT'Li простые, материалы гл. VIII позволяют легко построить фундамен тальную матрицу V этой системы.

Расщепление уравнения (2.2) можно осуществить и ме тодом гл. IX, предварительно заменив это уравнение экви валентным векторно-матричным уравнением

- ^ - = £/(т,е)*,

(2.5)

где

Lo% — Lo'Lt

и =

Е„ О

Вернемся к системе (2.1). Мы будем далее считать, что матрицы L0(т, е) и L2 (т, е) представлены в виде

Ц (т, е) = т0(т) + е т х (т),

La(x,e) = /0(т) + в/^т).

Такое представление матриц L0 и Ц в некоторых слу чаях может значительно упростить реализацию предла гаемой расчетной схемы, например, если эти матрицы близ ки к симметрическим.

В целях общности и правую часть уравнения (2.1) при мем в виде

Ф = Фо "Ь вФ1-

Отметим еще, что алгоритм, который приводится ниже, без труда может быть распространен и на более общий слу

чай,	когда	матрицы L0 (т, е),				£ а (т, е) и <р		представлены в
виде рядов (конечных или бесконечных) по степеням пара
метра е.
2 .1 .		Однородная система. Расщепление однородной си
стемы
Ио (т) +		ет, (т)]		+	ег (т)	+ [/, (т) +		«/, (т)1 q = 0 *)
								(2.6)
и условия, при которых это возможно, определяются сле
дующей теоремой.
Т е о р е м а			2.1. Если на сегменте 0 < т < 1 матрицы
т0, mlt г,		/0, 1Х имеют			производные		по т	всех порядков, а
т0, кроме того, является невырожденной матрицей, то,
предполагая, что				собственные значения матрицы и (т) =
= т о *1 (т)		(*)	разбиты на р			групп	v\a),	(cr = 1 ,...
...,	р	=	п)	при условии, что
...,	р;	=	п)	при условии, что
				I vi0) (т) -		vf>(т) I >	0	(2.7)
(О, s	1, . • • у р *			s ^ (Ту	i e	11 • • • у		J = 1 у • • ■* ^$1
								г е [о, Li),

систему (2 .6) посредством подстановки

Рг

	q =	к 'а (т>8) 1 Г	+	2° (т8) Za		(2.8)
	0=1
можно привести к виду
d2za	dza	~		0	(а = I, . . . ,	р).
+	аю(т, Б) - д -	+ а 20 (Т» е)2а =		0	(а = I, . . . ,	р).
						(2.9)
*) Для удобства записи вместо ^х(т) будем пользоваться также
обозначением г(х), считая, что Lj(x) и			г(т).

При этом xi0, <Х{о(/ = 1,2)		— матрицы типа соответствен
но п х	ka, k<j X ка, представляемые формальными рядами
	ОО	00
	(т, е) = 2 еМ о1 (т),	аю (т, е) = 2	е«В] ()• (2 Л0)
	k=~0	к=0
Для	д о к а з а т е л ь с т в а теоремы		достаточно по

казать возможность построения членов рядов (2 .10). Вектор q, определенный равенствами (2.8) и (2.9), под

ставим в систему (2 .6) и в полученном выражении прирав няем нулю коэффициенты при za и dzaldt:

I 0Щ0 #w	(Ч/ М
(m0 -f- 8/71а) I Hio0tla^2o — К2а&20 “Ь

+ e

d a 2a

| I

^"x2a

a2a — «la “^T

j 4~ &

dx2

-f- 6/* l — «ю^гс- 4 " 8

dx2a

*+• (^o “b

«2a = 0,

d t

(m0 +

emj)

^ la a 2a

(2. 11)

^ la a lar — %2a^&Ia —

dx2a

dxl0

d ala )

_a * * ia

4 - e l2

—

a Ia — «la

dx2

dx._ \

«2a— «la^lo 4* e—

— j

+ (^o 4~ e^i) «la = 0

(о — 112,

. . . ,

p).

В равенства (2.11) подставим ряды (2.10) и отделим сна чала коэффициенты при е°. Будем иметь

UXXJ = Х2?]ОС2? — «iSMSWa1.

(2. 12)

= « $ « & 4- *l°M V - «IM S 1’

В силу условия (2.7) можно построить блочные матрицы к, а, р, удовлетворяющие равенствам (1.4) и (1.5), причем все эти матрицы будут, иметь, как и «, производные всех порядков.

Положим

	ОЙ1 а . О,	кЙ 'и О .	ой] =	«о,	хй1 =е х„. (2.13)
Тогда	равенства	(2.12)	будут	выполняться тождест
венно.	Далее, приравняем в (2.11)				коэффициенты при

Приведенные рекуррентные соотношения позволяют последовательно определить члены рядов (2 .10 ).

Вышеизложенное остается в силе и при е = 1. Удерживая в рядах (2.10) конечное число первых сла

гаемых, получим приближенно расщепленную систему.

2.2. Случай простых собственных значений. Если все собственные значения матрицы и на рассматриваемом про межутке изменения аргумента остаются простыми, то мож но, произведя разбивку собственных значений на п групп (по одному собственному значению в каждой группе), при вести исходную систему к п уже скалярным дифференциаль ным уравнениям второго порядка (вида (2.9)). В этом слу чае члены рядов (2 .10 ) определяются соотношениями

	сй] = —\|Л<т4а-11,				к\а] = Pad\a~l} + Haq}ao,
где
			D	_	V	«sPs	*
			И а ~		Ь	vs- v	*
	2.3. Неоднородная			система. Для			неоднородной	системы
К	(?) +	(*)] "Ж +		8Г (т)		+ ft (т) + e/i 001Я = Фо+8(PJ
имеет место								(2.18)
имеет место								< х <
<	Т е о р е м а 2.2. Если a) m0, mv г, l0, lv ф при 0							< х <
<	L, 0 <	/ <	Ь/в (0 <		е) имеют производные по т всех по
рядков, б)		det	т0 (т) ф 0		(т £	10, L]),	то, предполагая, что

собственные значения матрицы и разбиты на р групп при условии (2 .7), систему (2.18) посредством подстановки

		dz0	-f- Щя(т> е) 2о	(2.19)
		dt	-f- Щя(т> е) 2о	(2.19)
можно преобразовать к виду
	+ а,, (т, е)	ф а2о(т, е) га = фо* +		ефю (2 .20)
	(0	= 1 , 2 ,	, р).
При этом	Х[а, а ,с (г =	1 , 2) — матрицы типа соответст
венно п X ka, ka X ko,		определенные формальными рядами
(2 .10), а	ф/о (/ « О , 1 ) — ko-мерные векторы			(столбцовые

матрицы), представляемые формальными рядами

(2-21)

fesO

Д о к а з а т е л ь с т в о . Подставив вектор qy опре деленный равенствами (2.19) и (2 .20), в (2.18) и приравняв в полученном соотношении нулю коэффициенты при га, dzjdt и свободный член, получим равенства (2 .1 1 ), которые обращаются в тождества, если члены рядов (2 . 10 ) опреде лены по формулам (2.15), (2.16), и равенства

_ /	ctyc	w ^	м \
{Щ “h e^i)	^ ------Mio&ia 4" ЩaJ Ф/с 4”
+4 ^ + - ^		4- er Y i «Iо	Ф /=о Ф/	(/ —о, 1) (2.22)
+4 ^ + - ^		а=*1
(ф/с рассматриваются как функции и от £, и отт).
Для доказательства		теоремы	поэтому	достаточно по

казать, что могут быть построены ряды (2 .2 1 ), обращающие равенства (2 .2 2 ) в тождества.

Введя обозначения

Щ =	( K t lX l 2 . . . К/р),
г**		4>/i~
« 11		4>/i~
		♦ л
«12	0	ф/ =
	,	ф/ =
0

я г

представим (2 .22 ) в виде

-Ф/Р _

(т04 - гтг) ^ 2 е

+ xi ("тдг- 4 -е

4- zwityj = ф/

(/ = 0 ,1). (2.23)

В равенствах (2.23) приравняем коэффициенты при оди наковых степенях е. Получим, принимая во внимании (2.13),

т 0кф501 =		фу,
т 0хф51] = — т0^ 4 ,]ф50] -f			— « ^ Ф /01.
	+ (2 ■4	- W 1 + * ф 01 +
+ «!,] ( 4 - + 4	) + ^	4	- J -	^	v,°> -
	Д1]	,	.Д1].,.[о]	, ,Д1] дУ$ ]\
— т1(яф-		+ «а Ф/		+	дх )*
					дх )*
Здесь					(2.24)
Здесь
№ =	(xt,«xg3		xt«).
	Ctf‘l
	„[А]
„14	“ 12			О
„14
a i	о
	о
				[ f t ]
				а I P	_

—I Умножая обе части всех равенств (2.24) слева на pm<j

будем иметь

1|>}4 =

(к = 0,1,2, . . . ) ,

(2.25)

где
01 =	mQ*Ф/,
b\n= — ^J4 ‘V*!01 + x!'V —^ -----1-
^ = - ( - « S M 4 + (2	*!' Ч ч + № ) ^ +
	Г21	дЬ\0]
	+ х>	дГ“ +

-Ь то1 тh(- i'/i +4V50) +4’V й4 ^)+ VS0]

(2.26)

В соответствии с этим

i|$ ’ = Цо^*’

( * = 0 , 1 , 2 , . . . ) .

(2.27)

Рекуррентные соотношения (2.27) и (2.26) позволяют последовательно определить члены формальных рядов (2 .2 1 ), Тем самым теорема доказана.

Коэффициенты уравнений (2.20) представлены в форме рядов. Удерживая в этих рядах члены, содержащие в в степени не выше т (т > 0), получим приближенно пре образованную систему

	т	Лг,	т	т
	+ S А ! ? -	Лг,	s «‘«S’*.- S ^		^
dfl	+ S А ! ? -	dt	s «‘«S’*.- S ^		^
	k=\		fc=0	А := 0

(W = 0 , ст = 1 , 2 , . . . , р).

§3. Уравнения управляемого процесса

вканонической форме

Рассмотрим систему автоматического управления с ли нейным объектом, который описывается уравнением

К (t) + щ ( 0 1 + г ( 0 % + [1, ( 0 + к (01 q = a ( t ) b + q (/),

(3.1)

Здесь q — столбцовая матрица (типа п X 1 ) обобщенных координат объекта управления; ср — столбцовая матрица

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4432 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги