книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
..pdf
_ _ Ц |
> 2сЗ |
|
№ |
--- |
|_ . • • j |
-J- |
***| |
1~" skaft, ®)J — |
|||
6 |
Г |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
J s* |
( <&a (T,ej |
)2 |
||||
|
It |
, |
1 |
|
, |
(X, е) |
, |
||||
= |
I1 |
+ |
т |
ES— |
— |
+ е |
[ i r \ — я — |
) - |
|||
|
|
|
|
|
— f- |
|
|
+ |
— -} ехр [— |
(X, е)], |
|
интеграл 1аможно представить в виде |
|
|
|||||||||
l a — R QQ (Я0| т ) Т (т ) /((j (х , е) |
-j- |
|
|
|
|||||||
4- е {tfю (£ь Т) |
rf[r(T)^ g(T,e)1 |
|
4- Яи (Хо, т) Т (т) /Сс (X, е) -f |
||||||||
4- 4 " ^ 2° |
|
|
т |
<т>®) |
d lt |
в~1 + в2 |
(3-7) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OQ
/?оо(Я, /) = Я (к, t) = J G(s, 0 er-^ds
О
— матрица передаточных функций регулятора (с размера ми / х тп) с параметрами, замороженными в момент време ни t,
*«<*. 0 “ " " S ' 0- = ( - D ' j ^ ^ s ' ^ d s
О
(<,/ = 0, 1 , 2 . ... ) .
Функциональные матрицы Rtj (К, т) в силу второго соотношения (3.4) в свою очередь допускают следующие разложения по степеням в:
R ц (ко, Х) = R i j (Яа, х) -{- 8^,0^ (х) ^?/+| / (Яа, х) -|-
4- е2 [я^/й -ц , (ко, х) -1- -у Я#3*(х) R i+ 2i ( k a, X)] + Б3 • • - (3.8)
Учитывая (3.4), (3.7) и (3.8), приравняем в (3.6) коэф фициенты при одинаковых степенях в:
UКо ~ Roka,
икУ1= |
+ Dl*- ' 1 |
(3.9) |
(k = |
1 , 2 , ... ) . |
|
где
К Т = Ко + |
т |
BkK[ah\ |
W |
171 |
|
2 |
= Яа + 2 |
8*4*1. |
|||
|
А=] |
|
|
А=1 |
|
Полагая в = 1 , получим |
приближенные |
решения для |
|||
исходной системы (1.4). Так, например, |
|
||||
xl{t} &) = |
2 |
I^Co (1 |
<8Ь 4" РoDo ^\Уа\ |
||
|
а=] |
|
|
|
|
dy\( 1) |
= (К - |
M o D t / s \ |
|
||
|
dt |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
р |
- У |
|
<* |
|
|
|
S=I |
S |
|
|
|
|
5+0 |
|
|
|
§ 4. Приближенное интегрирование уравнений управляемого процесса (случай Б)
Для построения приближенного решения системы (1.4) здесь мы используем систему (1.11) при р = 0. Имеем
А М Ж = В (т) * + Н <т) “*
и= f G(t — f, т') v (t't т') dt\
—oo
v = T(t)x.
4.1. Построение формального решения. Введем в рассмот рение матрицу
U (Л, т) == А~' (т) В (т) + А~'Н (X) Roo(X, т) Т (т) |
|
и определяющее уравнение |
|
|U (Я, т) — ХЕп| = 0 |
(4.2) |
(Еп — единичная матрица порядка п).
Каждый корень Я0 (т) уравнения (4.2) является в то же время собственным значением матрицы U(a) (т) = V (Яа, т),
так что если р}ст) (т) (j = |
1 , 2 , ...» п) — собственные значе |
ния матрицы £/(<т\ то по |
крайней мере одна из этих скаляр |
Матрицы К-о и М^а друг с другом и с матрицами /(„, Ма связаны соотношениями
|
M -QK -a= |
|
|
= МаК-а = 0, |
|
|
|||||||
Далее, |
если |
/С(0) s=(KoK-o), М(0) = |
|
), |
а |
Л(а) = |
|||||||
/Яа |
0 |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И 0 |
л _ J |
’ где |
|
= |
M _ot/(0)/C_o, |
то |
|
|
|
|
|||
С/ (о1 |
= |
/С(а>А(а)М(а), |
|
М(а А(0) = |
К{а)М(а) = Еа (4.9) |
||||||||
(см. гл. V). Заметим еще, что собственными значениями мат |
|||||||||||||
рицы Л_сг служат собственные значения ц/0> |
(/ = 2 , 3, ..., п) |
||||||||||||
матрицы U{a). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Умножим теперь k-e равенство (4.8) слева на Л4<0), за |
|||||||||||||
менив в нем U{a) выражением (4.9). Получим |
|
|
|
||||||||||
|
= |
Q a ]K |
+ |
М |
""(К с — S o K „ ) w |
+ |
|
|
( 4 . 1 0 ) |
||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
М ° К?1 U |
|
|
|
|
|
|
QP = |
М |
|
^ = |
( |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
М -0№ ) |
lQ isl |
|
|
|
|
Так |
как |
Л(0) — квазидиагональная |
матрица, |
равенство |
|||||||||
(4.10) распадается на следующие два: |
|
|
|
|
|
||||||||
Ма (Ко - SoKo) № |
+ MQD^O |
11 = о, |
|
|
|
|
|
||||||
Л_о<2Й„ = |
|
|
- + |
М-а (Ко — SoKa) № 4- A U D jf-11. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.11) |
|
В силу условия 2) теоремы первое равенство (4.11) раз |
|||||||||||||
решимо относительно Я[аА] и для любого |
получаем |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
^[ft] ___ |
М D^ ~ *1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
mau<j |
■ |
|
|
|
I2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - M ^QK„ |
|
|
(4 |
||
Матрица Л _а не имеет собственных значений, равных Я„. |
|||||||||||||
Значит, |
Л _с — %оЕп—\ — невырожденная |
матрица |
и |
из |
|||||||||
второго |
равенства |
(4.11) |
можно определить |
Q-lo- |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
л -о > - |
|
|
• |
<413) |
|||
Последняя формула представляет субматрицу Q~la мат рицы О?1. В качестве другой субматрицы Qoc этой матрицы
может б)ыть принята произвольная, нужное число раз диф ференцируемая скалярная функция.
Зная Qg], легко определить и искомую столбцовую мат рицу /Со1:
Км = К тС&к} -- К Ж } + K-aQi^a. |
(4.14) |
Рекуррентные соотношения (4.12) — (4.14) позволяют по следовательно определить члены рядов (4.5), посредством которых представляется частное решение (4.4) системы (4.1). Теорема доказана.
Эта теорема, так же как и теорема 3.1, легко обобщается на случай, когда матрицы А и В — функции от т и е, до пускающие на [0 , L1 разложения (сходящиеся или по край ней мере асимптотические) по степеням е.
4.2. Приближенное решение системы. Используя постро енные формальные решения, решение системы (4.1) т-го приближения можно представить соотношениями
*Г(Л е) = К Т ' (т, в) у Т \
% - = ЯГ(т,е),#*,
где |
|
т |
т |
|
|
К Т = Ко + 2 |
e‘/d S1. |
С = ^„ + 2 А ? 1, |
&=1 |
|
fe=l |
которые при е = 1 |
служат приближенным решением и для |
|
исходной системы (1.4).
Для примера приведем простейшие приближенные ре шения системы (1.4).
При т — 0 |
|
|
|
|
|
Я |
= КауТ, |
|
- ^ Г = |
|
|
При т = 1 |
|
|
|
|
|
х2> = |
|
|
|
|
|
— 1 а » (1 + Qm) |
-(- К—о(Хо£,-> Л_о) |
М М ' 1 \ yrn |
|||
j — McSaK, |
|||||
|
he — |
|
м„оР |
) („ |
|
ш |
1 |
- Л»ЛЛГ Г ’ ' |
|||
|
|||||
Г л а в а XII
НЕКОТОРЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Математическая модель многих процессов, происходя щих в реальной действительности, представляется дифферен циальной системой, которая в векторно-матричной записи имеет вид
|
L. V) |
+ L, (I) |
+ Lt (Q q = ф, |
|
(0.1) |
|
где q — столбцовая матрица параметров процесса |
qv |
q2, ... |
||||
qn (например, обобщенных координат механической |
||||||
системы); |
L0t Llt |
L2— некоторые |
квадратные |
матрицы |
||
порядка я |
(матрицы динамических |
коэффициентов |
систе |
|||
мы); ф — столбцовая матрица, элементы которой являются, вообще говоря, функциями от t и, быть может, управляю щих функций, которые в свою очередь определяются зна чениями <71, <72, ..., qn. Уравнениями такого типа описывают ся, в частности, малые колебания механических систем, поведение линейных объектов управления в системах авто матического управления и т. п.
Анализ и синтез процессов, описываемых системой диф ференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, особенно если дифференциальная систе ма имеет высокий порядок, связаны с преодолением немалых трудностей. Эти затруднения в значительной мере могут быть сняты, если предварительно произвести «диагонализацию» исходной системы, т. е. соответствующей заменой пе ременных преобразовать эту систему к системе, матрицы коэффициентов которой имеют диагональную или по край ней мере квазидиагональную форму. Настоящая глава по священа изложению некоторых алгоритмов таких канони ческих преобразований.
с субматрицами |
ха,а„, |
типа |
соответственно |
п х ka, |
|
k a X ka, ka X П Такие, Ч Т О |
р |
|
|
|
|
|
и — хар = |
|
|
(1.4) |
|
|
2 «оаар<1» |
|
|||
|
|
0=1 |
|
|
|
хц = |
|iX = |
|io«s = |
(£*„, |
s = а, |
(1.5) |
i о |
s ф а |
||||
Предполагая, что собственные значения матрицы и раз биты на р групп при условии (1.3), произведем замену пе ременных
|
/ |
г1 |
\ |
|
q = кг, |
2 = \ |
2г |
1. |
(1.6) |
Тогда однородная система |
|
|
|
|
i.-^ r |
+ i 2? = 0 |
(1.7) |
||
преобразуется в расщепленную систему |
|
|||
d2zn |
(о = |
1 , 2, . . . , р). |
(1 .8) |
|
— Ь а 0г®= 0 |
||||
Здесь а 0 и г0 — матрицы |
соответственно типа |
k a X ka |
||
Кka X 1 .
Всамом деле, подставим (1.6) в (1.7), предварительно
умножив обе части этого равенства слева на L ^ \ Получим
х |
-J- ихг = 0 . |
(1 .9) |
Но, как это следует из (1.4) и (1.5), |
|
|
их = ха. |
|
|
Поэтому, умножив (1.9) слева на р, будем иметь |
|
|
d2z , |
л |
|
-#т + |
аг = 0. |
|
В силу квазидиагональной структуры матрицы а последнее равенство распадается на р не связанных друг с другом со отношений (1 .8).
Если матрица и имеет простую структуру, то указанным путем можно реализовать полное расщепление системы,