книги / Функциональный анализ

в групповых алгебрах, основанный на теории тензорных произ­ ведений. Главная лемма утверждает при этом, что проблема синтеза эквивалентна в различных группах. Отсюда вытекает общий результат о неразрешимости для всех некомпактных групп, так как для группы Г(/?3) имеется (простой) пример замкнутого идеала, не являющегося пересечением максималь­ ных.

Среди других вопросов о групповых алгебрах локально компактных абелевых групп интересен вопрос о допустимых за­ менах переменных, т. е. об эндоморфизмах таких алгебр. Ока­ зывается, в ряде случаев допустимые замены переменных сво­ дятся к афинным. Пусть, например, Г1— единичная окружность

и у — такое отображение Г1 в Г1, что функция f(y(/)) разла­

гается в абсолютно сходящийся ряд Фурье для любой f(t), об­ ладающей этим свойством. Тогда у (t) = eimit+tо), где т — целое, to— вещественное. Аналогичный результат имеется и в общем случае. Для рядов Фурье функций одной переменной исследован также случай алгебр типа L*(G, а) (см. § 1, п. 1, пример 8).

Ли т е р а т у р а : [210], [214], 1248].

7.Гиперкомплексные системы. Более общим объектом, чем групповые алгебры, являются гиперкомплексные системы. В ко­ нечномерном случае гиперкомплексные системы являются ли­ нейными системами с заданным законом перемножения элемен­ тов базиса этой системы:

==2k C jk^k'

Здесь, в отличие от случая групповой алгебры, произведение элементов базиса может, не являясь элементом базиса, быть некоторым элементом алгебры. Константы сщг (называемые структурными) должны обладать свойствами, обеспечивающими необходимые свойства операций в алгебре. Если Сць = Cjik, то гиперкомплексная система коммутативна.

Формула для перемножения элементов х = {Xj} и у = {у^} гиперкомплексной системы имеет вид

{xy)k = '2iXiyjC jk.

Эта формула может рассматриваться как обобщение форму­ лы свертки для групповой алгебры.

В непрерывном случае роль базиса играет некоторое топо­ логическое пространство Q, элементами гиперкомплексной си­ стемы являются функции на Q, умножение задается с помощью обобщенной свертки.

382 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ

При определенных условиях, накладываемых на структурные константы Сцк в дискретном случае и на структурную меру в не­ прерывном случае, удается ввести аналог понятия инвариант­ ной меры, характеров и изучить алгебры суммируемых по этой мере функций столь же детально, как и групповые алгебры.

Теория этого класса алгебр позволяет изучать разложения по решениям уравнения Штурма — Лиувилля и по некоторым классам ортогональных полиномов.

Л и т е р а т у р а : [200].

§ 6. Несколько замечаний о неполупростых алгебрах

Гельфандовская теория хорошо приспособлена для изучения полупростых алгебр — один из основных ее результатов дает изоморфное представление полупростой алгебры в алгебру не­

1. Идеалы в алгебрах степенных рядов. Легко описать все идеалы в алгебре комплексных полиномов степени, не превосхо­ дящей га. Эта алгебра состоит из формальных полиномов

£ = а0 + ахХ + ... + Яг?Дт >

которые перемножаются по обычным правилам, но с учетом со­ отношения Xm+ = 0. Алгебра конечномерна, все нормы в ней

идеал. Других идеалов в этой алгебре нет. Нетрудно проверить, что всякая алгебра с единственным нетривиальным идеалом изоморфна алгебре полиномов первой степени. Однако до сих

мов служат алгебры бесконечных комплексных формальных степенных рядов

ным нетривиальным гомоморфизмом алгебры в поле комплекс­ ных чисел служит >ао. Таким образом, / Аявляется единствен­

ным максимальным идеалом, и этот идеал совпадает с радика­ лом. Конечно, идеалы Ik, определяемые как и в конечномерном случае, дают счетный набор различных замкнутых идеалов. При некоторой регулярности последовательности а* (например, если последовательность ak+Jak монотонна) этим набором исчер­ пываются все замкнутые идеалы. В общем случае положение сложнее: алгебра может допускать континуальное семейство различных замкнутых идеалов.

При подходящем подборе последовательности аь в рассмат­ риваемой алгебре можно задать ненулевое непрерывное диф­ ференцирование, т. е. такой ограниченный линейный оператор D, что Dgr] = (Z)£) г] + I (Вц)- В полупростых алгебрах нет не­ тривиальных дифференцирований, причем для непрерывных это сразу следует из того общего факта, что в любой (некоммута­ тивной) алгебре

п

если £ и Dg коммутируют. В частности, D£ есть обобщенный нильпотент, если оператор D непрерывен.

Ли т е р а т у р а : [215], [240].

2.Структурные теоремы. Согласно классической теореме

Дж. Веддерберна любая конечномерная алгебра разлагается в прямую сумму радикала и полупростой подалгебры. В беско­ нечномерном случае аналогичное утверждение, вообще говоря, перестает быть верным даже для коммутативных банаховых алгебр. Кроме того, здесь приходится различать случаи алге­ браической и сильной (топологической) разложимости.

Оказывается, никакие условия, наложенные только на ради­ кал, не обеспечивают даже алгебраической разложимости: ра­ дикал может быть одномерным и аннулирующим некоторый максимальный идеал и, тем не менее, не выделяться в качестве прямого слагаемого хотя бы в алгебраическом смысле.

С другой стороны, если радикал конечномерен, а фактор-ал­ гебра есть алгебра всех непрерывных функций (или ее неком­ мутативный аналог — алгебра операторов в гильбертовом пространстве с естественной инволюцией, см. § 2, п. 4), то име­ ется сильная разложимость. В тех же предположениях относи­ тельно фактор-алгебры в коммутативной ситуации по существу полностью исследован случай сингулярного радикала, т. е. та­ кого, в котором квадрат любого элемента равен нулю. Пусть 91 — исходная алгебра, R — ее радикал и А = 91[R. Важным яв­ ляется здесь то обстоятельство, что сингулярность радикала обеспечивает наличие на R естественной структуры Л-модуля. Это позволяет привлечь гомологические методы. Наиболее

простые результаты: сильная разложимость имеет место, если предположить наличие у R банахова дополнения, или, без этого предположения, если пространство максимальных идеалов ал­ гебры 91 удовлетворяет 1-й аксиоме счетности в каждой точке.

Полностью исследован также случай, когда фактор-алгебра по радикалу изоморфна алгебре всех непрерывных функций на вполне несвязном компакте. Необходимое и достаточное усло­ вие сильной разложимости состоит в равномерной ограничен­ ности идемпотентов исходной алгебры. Можно дать достаточ­ ное условие в терминах роста норм элементов радикала: для

сильной разложимости достаточно, чтобы соотношение Нг" ||1/,г—> О выполнялось равномерно по элементам радикала с ||г|| ^ 1. На­ пример, сильная разложимость имеется, если гп = 0 для всех г (= R при некотором фиксированном п. Аналогичный результат верен и для того случая, когда фактор-алгебра изоморфна U с покоординатным умножением.

Существует конструкция, позволяющая, исходя из данной коммутативной банаховой алгебры А без единицы, дать описа­ ние всех (с точностью до эквивалентности) ее аннуляторных рас­ ширений, т. е. таких коммутативных банаховых алгебр 91 с ра­ дикалом R, что 91/7? = А, причем аг = 0 для всех а е 91 и г е /? . Конструкция состоит в том, что алгебре А сопоставляется тензорный квадрат А ® А, дополнительно профакторизованный по соотношениям коммутативности и ассоциативности, и линей­ ный оператор т, естественно отображающий А А на линейную оболочку произведений ab, где а, 6 е А. Используя оператор т, можно определить «группы расширений», тривиальность кото­ рых означает ту или иную разложимость всех расширений 91. Одно из простейших следствий: аннуляторные расширения ал­

Г Л А В А VIII

ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ

§1. Конусы в линейных пространствах

1.Конус в линейной системе. Выпуклое множество К эле­ ментов вещественной линейной системы называется конусом,

конус**).

Аналогично множества всех неотрицательных функций про­ странства Lp[0, 1], пространства Af[0, 1] и пространства Орлича образуют конусы в этих пространствах.

2.В пространстве ограниченных линейных самосопряженных операторов, действующих в гильбертовом пространстве, множе­ ство положительных операторов образует конус.

3.В координатных пространствах /Р, т , с конусами будут множества элементов с неотрицательными координатами.

4.В функциональных пространствах иногда приходится изу­ чать конусы более узкие, чем конус, состоящий из всех неотри­ цательных функций. Эти конусы выделяются системой дополни­ тельных однородных неравенств. Например, конус неотрица­ тельных неубывающих функций:

Конус К линейной системы Е называется воспроизводящим, если любой элемент х<=Е йредставим в виде разности двух эле­ ментов из конуса: х — Х\ —- х2 (хи х2 е К).

Конус неотрицательных функций пространства С[О, 1]— вос­ производящий: каждую функцию x(t) е С[0, 1] можно предста­ вить в виде разности неотрицательных функций x+(t), x~(t):

х (0 = х+ (t) — X- (/),

где

\0, если х(*)<0,

Все конусы, рассмотренные в примерах 1—3, являются вос­ производящими. Не каждый конус обладает свойством воспро­ изводимости. Так, например, конус неотрицательных неубываю­ щих функций (пример 4) в пространстве С[0, 1] не является воспроизводящим, так как в виде разности неубывающих функ­ ций могут быть представлены лишь функции ограниченной ва­ риации.

Ли т е р а т у р а : [268].

2.Полуупорядоченные пространства. Вещественная линейная система Е называется линейным полуупорядоченным простран­ ством, если для некоторых пар элементов х, у е £ определено соотношение х < у и если знак < обладает обычными свойства­ ми знака неравенства. Речь идет о следующих свойствах:

устанавливает в пространстве вещественных чисел отношение полной упорядоченности в том смысле, что любые два числа мо­

воря, не обладает. Именно с этим обстоятельством связано про­ исхождение термина «полуупорядоченность».

Совокупность К всех элементов х полуупорядоченного про­ странства, удовлетворяющих соотношению х > 0 , образует ко­ нус в этом пространстве. Наоборот, если в линейной системе Е

(о) -сходимость; (о) -сходящиеся последовательности обладают рядом привычных свойств сходящихся последовательностей. На­ пример, если (o)-limxn = * и (o)-lim у п = у и оба предела ко­ нечны, то последовательность хп + уп является (о)-сходящейся, причем

менту х, если из любой ее подпоследовательности хПь можно

она и (/)-сходится; обратное заключение в общем случае не­ верно.

В /(-пространствах М LP(о) -сходимость последовательности элементов xn(t) совпадает со сходимостью почти всюду при дополнительном условии, что все функции xn(t) ограничены в совокупности одной функцией из того же пространства, а

(/)-сходимость означает сходимость по мере при том же допол­ нительном условии. В /(-пространствах 1Р (1 < /? < о о ), m

(о)-сходимость последовательности хп равносильна тому, что последовательность хп покоординатно сходится и ограничена некоторым элементом пространства.

Ли т е р а т у р а : [28].

5. Конусы в банаховом пространстве. Если система £ являет­ ся банаховым пространством, то под конусом в банаховом про­ странстве Е понимается всякий конус линейной системы Е, яв­ ляющийся одновременно замкнутым множеством в простран­ стве Е.

Если конус К в банаховом пространстве Е является воспро­ изводящим, то существует константа М такая, что для каждого

ный конус. Конус называется телесным, если он содержит по крайней мере один внутренний элемент. Примером телесного конуса может служить конус неотрицательных функций про­ странства С[0, 1]. Внутренними элементами этого конуса являются функции с положительным минимумом. Конус из при­ мера 2 п. 1 и конус неотрицательных последовательностей про­ странства пг телесны. Конусы неотрицательных последователь­

обладают. Таким образом, не каждый воспроизводящий конус телесен. В конечномерном пространстве каждый воспроизводя­ щий конус телесен.

не обладающего свойством нормальности, может служить конус неотрицательных функций в пространстве С4[0, 1] непрерывно дифференцируемых функций x(t).

Класс нормальных конусов является весьма важным. Если конус К нормален, то полуупорядоченность, установленная в Е этим конусом, обладает следующим свойством: в Е можно вве­ сти такую новую норму || ||i, эквивалентную первоначально за­

Один из них связан с понятием ^0-нормы. Пусть щ — некоторый фиксированный ненулевой элемент из конуса К. Элемент х ^ Е на­ зывают и0-измеримым, .если при некоторых неотрицательных tu t%

а число || х ||и0называется и^нормой элемента х.