книги / Функциональный анализ

морфизм в фактор-алгебру B/J'. Если при этом фактор-алгебра Л/)' конечномерна, то фактор-алгебра B/J' конечномерна как гомоморфный образ A/J и имеет размерность не выше размер­ ности Л//'.

Например, если алгебра функций на отрезке (или на окруж­ ности) содержит все бесконечно дифференцируемые функции в качестве всюду плотного множества, то она автоматически содержит Сг для некоторого конечного г, и фактор-алгебра по любому наименьшему замкнутому примарному идеалу в ней конечномерна.

Любому замкнутому идеалу / cz А отвечает замкнутое мно­ жество F c X , на котором все функции из / обращаются в нуль. Если в случае регулярной алгебры зафиксировать замкнутое множество F и рассмотреть совокупность всех идеалов, которым

в нуль в некоторой окрестности множества F. Этот факт в ряде случаев позволяет описывать всевозможные замкнутые идеалы.

Так, в С(Х) каждый замкнутый идеал есть пересечение мак­ симальных, в Сг{0, 1) каждый замкнутый идеал есть пересечение примардных идеалов. Впрочем, задача описания всех замкнутых идеалов еще далека от своего окончательного решения даже

вслучае сравнительно простых регулярных алгебр. Например, до сих пор не известно, как устроены замкнутые идеалы в ал­ гебре абсолютно сходящихся рядов Фурье. Оказывается, даже

вэтом случае одно и то же замкнутое множество может отве­ чать бесконечному числу различных вложенных друг в друга замкнутых идеалов (см. § 5, п. 6).

Можно зафиксировать замкнутое множество F cz X и рас­

смотреть замкнутый идеал 1(F), содержащий все функции Л, равные нулю на F. Если F не связно, то фактор-алгебра Ajl(F) обладает нетривиальными идемпотентами, т. е. такими элемента­

§ 3. Алгебры с равномерной сходимостью

Всюду в этом параграфе под алгеброй с равномерной сходимостью понимается замкнутая подалгебра алгебры С(Х), где X — некоторый компакт (не обязательно пространство

362 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ

максимальных идеалов). Исключение будет сделано только в одном из последних пунктов. Кроме того, там, где не оговорено противное, предполагается, что рассматриваемая алгебра раз­ деляет точки компакта X, т. е. что для любых двух различных точек хи х2е X существует такая функция / из алгебры, для

В силу упомянутой выше теоремы Стона — Вейерштрасса вся­ кая симметричная алгебра с равномерной сходимостью совпа­ дает с С(Х).

Полярным к симметрии служит свойство алгебры быть ан­ тисимметричной. Алгебра А называется антисимметричной, если из условия f е Л следует / ф А , кроме того случая, когда / сво­ дится к константе. Антисимметричными являются алгебры ана­ литических функций и некоторые другие. Следует заметить, что из аналитичности на А в смысле § 2 п. 3 для алгебр с равно­ мерной сходимостью вытекает антисимметричность, но не обрат­ но. В точности промежуточным свойством является свойство быть областью целостности (отсутствие нетривиальных делите­ лей нуля). Для максимальных (определение см. в § 4) подал^ гебр алгебры С(Х) эти три свойства эквивалентны.

Подмножество S cz X называется множеством антисиммет­ рии (относительно алгебры Л), если любая функция f е 4 , ве­ щественная на S, постоянна на этом множестве. Согласно этому определению алгебра А антисимметрична, если все X является множеством антисимметрии. Замыкание множества антисиммет­ рии есть снова множество антисимметрии и объединение двух пересекающихся множеств антисимметрии также есть множество антисимметрии. Поэтому X разбивается в объединение непересекающихся замкнутых максимальных множеств антисимметрии. Сужение А \ Y алгебры А на максимальное множество антисим­ метрии Y является замкнутой (антисимметричной) подалгеброй алгебры С(У). Если X есть пространство максимальных идеа­ лов алгебры Л, то максимальные множества антисимметрии связны.

Возможен следующий «конструктивный» метод получения максимальных множеств антисимметрии. Пусть Л0 — максималь­ ная симметричная подалгебра в Л. Подалгебра Л0, вообще го­ воря, уже не разделяет точки компакта X, в результате чего X разбивается на непересекающиеся замкнутые классы эквива­ лентности. Сужение алгебры Л на каждый такой класс К есть замкнутая подалгебра в С(К), и можно снова применить ту же процедуру выделения максимальной симметричной подалгебры. Продолжая дальше этот процесс (возможно, по трансфинитам),

364ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ

2.Некоторые характеристические* свойства алгебры С ( Х ) ~

Здесь перечисляется несколько теорем, в большинстве из кото­ рых утверждается, что некоторая алгебра с равномерной сходи­ мостью совпадает с С(Х). Посылками в этих теоремах служат

тривиально проверяемые свойства алгебры всех непрерывных функций. Известные доказательства этих утверждений сущест­ венно опираются на указанную в предыдущем пункте возмож­ ность свести дело к антисимметричному случаю.

Пусть А — алгебра с равномерной сходимостью на компак­ те X. Через Re Л мы будем обозначать вещественное простран­

лексное сопряжение) в том и только том случае замкнуто, когда

/* = /.

Через С+(Х) обозначается совокупность всех (строго) поло­ жительных непрерывных функций на X, и пусть \Е(А)\ — мно­

мер, «трудная» теорема Вика: если замкнутое множество на ок­ ружности таково, что любая непрерывная функция на нем про­ должается до функции с абсолютно сходящимся рядом Фурье, то любая непрерывная функция продолжается с неё и до функ­

теореме условие локальной связности существенно в следую­

локально связан. Из приведенного выше предложения, в част­ ности, вытекает, что на любой простой жордановой дуге в С2 либо множество значений всякой голоморфной функции содер­

жит внутренние точки, либо голоморфные функции плотны в ал­ гебре всех непрерывных функций.

Л и т е р а т у р а : [19], [207], [221], [228], [229], [239].

3. Эквивалентность Глисона. Если А — алгебра с равномер­ ной сходимостью на компакте X, то X можно рассматривать как порцию пространства максимальных идеалов. Поэтому, на­ ряду с гельфандовой топологией, на X наводится метрика, ин­ дуцированная вложением в сопряженное пространство. Расстоя­ ние в смысле этой метрики между точками xiy х2 обозначается

эквивалентности называются долями Глисона. Ценность этого понятия видна уже на следующем простейшем примере. Пусть

служат внутренность круга и одноточечные множества на гра­ нице. Этот и подобные примеры наводили на мысль, что доли Глисона всегда обладают какой-то внутренней аналитической структурой. В некоторых случаях это предположение оправда­ лось (см. ниже). С другой стороны, оказалось, что всякое а-ком- пактное вполне регулярное (эти условия необходимы) про­ странство гомеоморфно доле Глисона пространства максималь­ ных идеалов некоторой алгебры, причем сужение алгебры на эту долю содержит всякую ограниченную непрерывную функцию.

Говоря о долях Глисона, разумно предполагать, что X совпа­

жеств, то сужение A\F является замкнутой подалгеброй алгеб­ ры C(F)y причем F совпадает с пространством максимальных идеалов алгебры A\Fy если X совпадает с пространством мак­ симальных идеалов алгебры А. Для любых двух точек xiy х2у принадлежащих такому множеству Fy имеет место равенство РА|И*ь*г) = Р а (*ь *2). Поэтому dA\F{F) = dA{F) и, следова­ тельно, dA (F) = 0 или 2. В частности, последнее выполняется для максимальных множеств антисимметрии и для общих ли­ ний уровня вещественных функций из А.

Теперь можно привести обобщение одной из теорем, сформу­ лированных в предыдущем пункте. Пусть Аи А2— две алгебры с равномерной сходимостью на „Ху причем Ai с= А2. Для того чтобы выполнялось включение Re/lic=Re/l2, необходимо и до­ статочно существование такого неотрицательного числа с < 2,

Принадлежность двух точек к одной и той же доле Глисона может быть охарактеризована в терминах представляющих мер (на границе Шилова): две эквивалентные точки обладают взаимно абсолютно непрерывными представляющими мерами (с ограниченными производными). В целом для всей доли Гли­ сона, вообще говоря, не существует системы взаимно абсолютно непрерывных представляющих мер, однако такая система мер

имеется, если ReA| r является подпространством конечной ко­ размерности в Ся(Г) — пространстве всех вещественных непре­ рывных функций на Г — границе Шилова.

Алгебры, для которых ReA| r плотно в CR(Г), называются алгебрами Дирихле. В случае алгебр Дирихле о долях Глисо­ на можно сказать гораздо больше, чем в общем случае. Если Р — доля Глисона в пространстве максимальных идеалов алгеб­ ры Дирихле, состоящая более нем из одной точки, то существует такое непрерывное взаимно однозначное отображение ф круга

жение ф, вообще говоря, не является гомеоморфизмом, если ис­ пользовать гельфандову топологию. Однако ф — гомеоморфизм, если Р рассматривать в метрикерл-

Аналогичный результат имеет место и при более слабых

свойством, что пространство вещественных ортогональных к ним мер на границе Шилова конечномерно. Конечно, в таком случае доли Глисона могут содержать особые точки (пример: пределы

каждого из условий: R(X) есть алгебра Дирихле на А, каждая точка из X есть точка пика, каждая доля Глисона одноточечна. Для произвольных алгебр с равномерной сходимостью одноточечность долей Глисона не ведет к совпадению с С(А),

Л и т е р а т у р а : [19], [205], [207], [229], [235].

4. Компактные расширения. Пусть X — некоторое вполне ре­ гулярное топологическое пространство. Алгебра С(Х) всех огра­ ниченных непрерывных функций на X является банаховой алгеб­ рой относительно sup-нормы. Каждая точка х ^ X порождает не­ который мультипликативный функционал, т. е. максимальный идеал в С(Х). Тем самым, X оказывается вложенным в ком­ пакт 391 — пространство максимальных идеалов исходной алгеб­ ры. Образ при этом вложении всюду плотен в 39i.

Пространства максимальных идеалов различных подалгебр рассмотренной алгебры С(Х) могут давать другие компактные расширения пространства X. Все такие замкнутые подалгебры характеризуются условиями симметричности и регулярности (см. § 2, п. 5).

В анализе встречаются компактные расширения и более об­ щего типа: для данного пространства X указывается взаимно однозначное и непрерывное отображение на всюду плотное под­

множество некоторого компакта X (обратное отображение не

обязательно непрерывно). Ясно, что X служит при этом про­ странством максимальных идеалов некоторой замкнутой подал­ гебры алгебры С(Х).

Вот один характерный пример. Пусть G — топологическая группа. Левой почти периодической функцией на G называется такая ограниченная непрерывная комплексная функция, семей­ ство левых сдвигов которой относительно компактно в равно­ мерной норме. Аналогично определяются правые почти периоди­ ческие функции. Впрочем, эти свойства эквивалентны, и поэто­ му можно просто говорить о почти периодических функциях. Совокупность всех почти периодических функций образует в равномерной норме коммутативную банахову алгебру с инво­ люцией, удовлетворяющей условию 4) § 2, п. 3. В силу приве­ денного там результата алгебра почти периодических функций изоморфна и изометрична алгебре С(9Й) всех непрерывных функций на компакте 391 ее максимальных идеалов. Уже из это­ го простого замечания можно извлечь некоторые содержатель­ ные следствия. Например, если почти, периодическая функция неотрицательна, то почти периодической будет и суперпозиция ее с любой функцией, непрерывной на замыкании множества значений исходной функции.

Оказывается, компакт 391 естественно наделяется структурой компактной группы и существует такое непрерывное гомоморф­

Если группа G коммутативна, то компактная группа G также коммутативна и допускает следующее простое описание. Труп­

логии. Группа G связана, если G — локально компактная связ< ная коммутативная группа.

Согласно классической теореме Г. Бора всякая почти перио­ дическая функция на вещественной оси, удовлетворяющая усло­ вию inf |f | > 0, допускает представление

f (х) = exp [i%x + h (*)],

где h — почти периодическая функция. В силу сказанного выше,

G — связная компактная группа и g »—> Tg — непрерывное пред­ ставление группы G в группу автоморфизмов коммутативной банаховой алгебры Л, наделенную сильной операторной тополо­

квазисобственный элемент. Если в алгебре А нет идемпотентов, т. е. ее пространство максимальных идеалов связно (см. § 2, п. 2), то в последнем утверждении k можно считать-собственным элементом (/(g) — характер группы G). Теорема ван Кампена получается, если положить А = C(G) и рассмотреть регулярное представление.

Ли т е р а т у р а : [19], [207], [208], [229].

5.Алгебраические уравнения в С(Х). В этом пункте предпо­

лагается, что X — связный метризуемый компакт (хотя для ча­ сти результатов то или иное из этих предположений не суще­

с коэффициентами и,-еС(Х ), где С(Х) — алгебра всех комп­ лексных непрерывных функций. Если интересоваться не отдель­ ным уравнением, а классами уравнений, то в первую очередь возникает вопрос об описании тех компактов, на которых раз­ решимо в непрерывных функциях в цело^ л ю б о е такое урав­ нение. В этом случае алгебру С(Х) называют алгебраически замкнутой. Если X есть отрезок вещественной оси, то любое уравнение указанного вида на X разрешимо. С другой стороны, если X — окружность или X — график функции s=sin(l/<), О < t sg: 1, дополненный предельным отрезком, то на X, вообще

говоря, не разрешимы даже квадратные уравнения. Отсюда сле­ дует, что компакт, для которого алгебра всех непрерывных функ­ ций алгебраически замкнута, не может содержать ни подмно­ жеств, гомеоморфных окружности, ни подмножеств, гомеоморфных указанному графику, дополненному отрезком. Вместе с тем, два указанных компакта содержат по существу всю информацию о возможных препятствиях к разрешимости уравнений.

Компакт X называется уникогерентным, если его нельзя представить в виде объединения двух связных замкнутых мно­ жеств, пересечение которых несвязно. Компакт X называется

наследственно уникогерентным, если всякое его замкнутое под­ множество уникогерентно.

Алгебра С(Х) тогда и только тогда алгебраически замкнута, когда X локально связен и наследственно уникогерентен. В рас­

уравнение с числовыми коэффициентами имеет простые корни. Класс таких уравнений степени п здесь обозначен через Ш,п (Х). Под разрешимостью по­ нимается для простоты полная разрешимость — наличие п различных реше­ ний (т. е. возможность разложения левой части уравнения на линейные мно­ жители) .

несколько случаев.

Пусть сперва X — конечный полиэдр. В этом случае условие на Hl(X,Z)f

с я,- равным 3 и 4, но, вообще говоря, может существовать уравнение 5-й степени, не имеющее ни одного непрерывного решения. Полная разрешимость

Известно, что группа В(п) не имеет элементов конечного порядка, и отсюда

степени это не так.

Вместе с тем, указанное условие делимости равносильно полной разре­ шимости для тех компактов, которые аппроксимируются обратным спектром

370 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ

связных конечных полиэдров с коммутативными (или конечными) фундамен­ тальными группами. В частности, это имеет место для многих однородных пространств, и в том числе для связных компактных групп.

В последнем случае условие делимости в группе одномерных когомологий эквивалентно аналогичному условию в группе одномерных характеров, по­ скольку эти группы изоморфны (§ 2, п. 2, § 3, п. 4). Имея в виду этот факт и результаты предыдущего пункта, можно судить о разрешимости в почти периодических функциях алгебраических уравнений с почти периодическими коэффициентами.

При помощи соображений § 2, п. 2 приведенные здесь результаты отно­ сительно разрешимости распространяются на' уравнение с коэффициентами из произвольной банаховой алгебры: если индуцированное при помощи гельфандова гомоморфизма уравнение в непрерывных функциях обладает «простым корнем» в классе непрерывных функций, то это непрерывное реше­ ние порождается некоторым решением исходного уравнения, принадлежащим алгебре.

Л и т е р а т у р а : [19], [207], [209], [221], [229], [234].

§4. Максимальные подалгебры

1.Постановка задачи, примеры. Пусть В — коммутативная банахова алгебра с единицей и А — некоторая ее замкнутая подалгебра. Алгебра А называется максимальной подалгеброй

алгебры В, если В не содержит никакой замкнутой собственной подалгебры, содержащей А и не совпадающей с А.

Всякая достаточно широкая алгебра В содержит максималь- ^ные подалгебры с единицей и даже такие замкнутые подалгеб-

'ры А, что dim В/А = 1. Действительно, пусть cpi, ф2 — два раз­ личных гомоморфизма алгебры В в поле комплексных чисел и ф = фА— ф2. Тогда ядро функционала ф представляет собой замкнутую подалгебру алгебры В коразмерности 1. Аналогично* ядро «точечного дифференцирования», т. е. такого функционала

ф, что Ф (fg) = Ф (f) Ф (g) + Ф(&)ф(Л> где Ф — некоторый мульти­ пликативный функционал, есть подалгебра коразмерности К В комплексном случае этим исчерпываются всевозможные под­ алгебры коразмерности 1. В частности, всякая такая подалгебра алгебры С(Х) не разделяет точки компакта X, так как на С(Х) нет никаких (даже разрывных) дифференцирований. Близ­ кое описание допускают вообще все подалгебры конечной ко­ размерности.

Первая нетривиальная теорема о максимальности подалгебры бесконечной коразмерности утверждала, что алгебра А тех не­ прерывных функций на единичной окружности Г = {А,||Х| = 1}> которые допускают аналитическое распространение в единичный круг, является максимальной подалгеброй алгебры С(Г) (Дж. Вермер) . Эта теорема может рассматриваться как обобщение классической теоремы Вейерштрасса, которая с функциональноалгебраической точки зрения означает, что замкнутая подалгебра