книги / Функциональный анализ

и является прямым обобщением формулы Даламбера для ре­ шения уравнения колебания струны.

Если в предыдущих условиях рассмотреть неоднородное уравнение

функция, что определена и непрерывна Bf(t), то задача Коши

не найден удовлетворительный ответ на вопрос о том, когда оператор А будет квадратом производящего оператора В сильно непрерывной группы. Поэтому теория абстрактных ги­ перболических уравнений интенсивнее развивалась для урав­ нений в гильбертовом пространстве. Пусть для уравнения

§— А(1)х

вгильбертовом пространстве оператор A(t) при каждом t яв­ ляется самосопряженным отрицательно определенным. Тогда

оператор В (t) = i(—A(t))4* будет при каждом t производя­ щим оператором группы унитарных операторов. Если область определения оператора A(t) не зависит от t и он непрерывно дифференцируем на Ь(Л), то задача Коши для уравнения х"== = A(t)x имеет единственное решение при любых XQ&D(A) и

ХЬЩ D ((—Л)1/2).

Ли т е р а т у р а : [36].

2.Уравнение эллиптического типа. Рассматривается урав­

нение

Последнее неравенство позволяет определить дробные степени оператора А (см. гл. III, § 3, п. 3) и, в частности,

302 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

оператор —Л1/з, который будет производящим оператором ана­

Для первого уравнения системы корректна задача Коши, для второго корректна обратная задача Коши, поэтому решение можно записать в виде

x(t) = V (t) u0 + V ( T - t ) wT,

где u0 и wT— заданные элементы из Е. Функцию x(t) такого вида называют обобщенным решением исходного уравнения.

ное решение обладает следующими свойствами: оно имеет не­ прерывную первую производную на отрезке [0, Т] и вторую про­

летворяется на <0, Г). Такое решение в дальнейшем называется

ослабленным.

Формула для решения показывает, что для уравнения разре­ шима краевая задача с начальными условиями:

304ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Впоследнее время получен ряд интересных результатов для эллиптического уравнения с переменным оператором Л.

Ли т е р а т у р а : [36], [182], [183], [187].

3.Полное уравнение второго порядка, параболический слу­ чай. Поведение решений и характер задач, которые естественно ставить для полного однородного уравнения второго порядка

%= A ( t ) ^ - + B(t)u,

где A(t) и B(t) —линейные операторы с плотными в Е облас­ тями определения, зависят от того, какой из членов, стоящих справа, является главным. Если таким будет второй член, то

ляется первый член, то свойства решений тесно связаны со свойствами решений уравнений первого порядка с оператором A(t). Этот случай и рассматривается в настоящем пункте. Под­ чиненность второго слагаемого справа первому при этом ха­

В дальнейших формулировках для простоты операторы Л

иВ считаются постоянными и уравнения имеют вид

^= А ^ + В х .

Рассматриваются следующие возможности:

I. Оператор А х= ВА~Хподчинен оператору Л, т. е. \\Ахх\\ ^

^с||Ля|| при ^ е О(Л).

II. Оператор А х подчинен Л, и для достаточно малых ц справедливо неравенство

Имеют место утверждения:

1) Если операторы А и А\ являются производящими опе­ раторами аналитических полугрупп и выполнено II, то для

шение задачи Коши, аналитическое в секторе, содержащем по­ ложительную полуось.

2) Если выполнено только I, то те же утверждения спра­

Г Л А В А VI

НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Вэтой главе рассматривается уравнение

х= Ах,

где А — оператор (вообще говоря, нелинейный), определенный

Первый из них принято называть оператором Урысона, вто­ рой — оператором Гаммерштейна.

Первый вопрос, возникающий при изучении указанного урав­ нения, это вопрос о существовании решения. Э^от вопрос часто формулируют в такой форме: существует ли неподвижная точка при преобразовании А ?

Оператор А может оказаться определенным на части Т про­ странства £ — тогда речь идет о неподвижных точках этого Оператора, принадлежащих Т.

Если требуется найти решение, обладающее дополнительным: свойством, то выделяется подмножество Г0 сг Г элементов, об­ ладающих этим свойством, и неподвижная точка ищется в Г0. Например, в задачах, где ищутся неотрицательные решения, полагают Т0 = Т f| КУгде К — соответствующий конус неотри­ цательных элементов Е (см. гл. VIII).

Второй вопрос — это вопрос о единственности решения, т. е. единственности (в Т0) неподвижной точки преобразования А.

Для нелинейных уравнений во многих случаях основной ин­ терес представляют теоремы неединственности, т. е. теоремы о существовании двух и более решений. Например, в различных

задачах теории устойчивости и теории волн заранее известно одно (тривиальное) решение задачи, и основной целью являет­ ся разыскание других (нетривиальных) решений.

В тех случаях, когда решение не единственно, ставится во­ прос о количестве решений или об оценке этого количества свер­ ху и снизу.

Часто приходится рассматривать уравнение

х = А{х; А),

где оператор А(х; X) зависит от числового параметра X (в неко­ торых задачах параметр также может являться элементом не­ которого пространства).

Для уравнений с параметром возникает ряд новых задач, связанных с изменением количества решений при изменении па­ раметра.

Особый Интерес представляют те критические значения пара­ метра А, при которых решения разветвляются или сливаются.

Простейший пример ^уравнения с параметром дает задача о собственных числах и собственных элементах линейного опера­ тора, т. е. задача о решениях уравнения

х = у Ах,

где А — линейный оператор. Здесь при всех X ф 0 имеется три­ виальное решение х = 0. Те значения Ху при которых появляют­ ся другие решения, и называются собственными числами. Ана­ логично для нелинейного оператора X называется собственным числоМу если уравнение Ах = Хх имеет решение х Ф 0, х назы­ вается собственным элементом оператора А.

§1. Нелинейные операторы и функционалы

1.Непрерывность и ограниченность оператора. Пусть опера­ тор А определен на множестве Т банахова пространства Еу а его значения принадлежат банахову пространству Eit Оператор А

называется непрерывным в точке х0е Г, если из \\хп — xoll -*0 (хп е Т) следует, что \\Ахп — Ах0\\ -* 0.

Оператор А называют слабо непрерывным в точке хо, если из слабой сходимости последовательности хп к х0 следует слабая сходимость Ахп к Ахо.

Иногда рассматриваются операторы А усиленно непрерывныеу преобразующие слабо сходящиеся последовательности, эле­

щиеся последовательности элементов в последовательности, сла­ бо сходящиеся.

Если пространство Е\ — числовая прямая, то операторы со значениями в пространстве £i называются функционалами.

Оператор А органичен на Ту если

sup ||А х I < оо. хе=Г

В отличие от линейных операторов из ограниченности нели­ нейного оператора на некотором шаре не вытекает его непре­ рывность. Из непрерывности оператора А на некотором множе­ стве Т вытекает его ограниченность в окрестности каждой точки (локальная ограниченность), однако непрерывный в каждой точке замкнутого шара оператор А может не быть ограничен­ ным на всем шаре (если пространство Е бесконечномерно). При­ мером такого оператора может служить оператор, определенный на всем пространстве /2 равенством

Ах = (%р = £2, %пу ...))•

Этот оператор непрерывен в каждой точке пространства /2, но не является ограниченным ни на одном шаре S(0, г) при г > 1.

Если множество Т компактно, то непрерывный на этом мно­ жестве оператор А является ограниченным.

Оператор А вполне непрерывен на Г, если он непрерывен и каждую ограниченную часть множества Т преобразует в ком­ пактное множество пространства Е\.

Оператор А удовлетворяет на Т условию Липшица, если

\\Ах{— — х2\\ (хХу х2^ Т ) .

Оператор Л, удовлетворяющий условию Липшица, непрерывен.

. Л и т е р а т у р а : [6], [29], [31], [32], [34], [39], [58].

2. Дифференцируемость нелинейного оператора. Операторы, определенные на множествах числовой прямой, называются аб­ страктными функциями. Пусть x(t) (а ^ t ^ Ь) — абстрактная функция со значениями в банаховом пространстве Е. Производ­ ная x'(t) функции x(t) определяется как предел при Д^-*0 ко­ нечноразностного отношения:

Если рассматривается предел по норме пространства £, то производная называется сильной, если рассматривается предел в смысле слабой сходимости в пространстве £, то производная называется слабой.

Оператор А, действующий из банахова пространства Е в ба­ нахово пространство Еи дифференцируем по Фреше в точке XQ>

§ 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ

в точке х0. Говорят, что оператор равномерно дифференцируем.

при всех h ^ E . Другими словами, А'(хо) называется производ­ ной Гато, если A'{xo)h является сильной производной в точке- t = 0 функции А (х0 ib Щ переменной t со значениями в про­ странстве Е\:

Производная Фреше оператора А, если она существует, яв­ ляется также и производной Гато. Если в окрестности точки хэ существует производная Гато А'(х), непрерывная в точке х0 как операторная функция от х, то она является производной Фреше.

Выражение A'(x0)h называют дифференциалом Фреше (соот­ ветственно дифференциалом Гато) оператора А в точке Хо-

Если оператор А вполне непрерывен, то его производная Фреше А'(х0) является вполне непрерывным линейным операто­

ром.

Если оператор А имеет на выпуклом множестве Т производ­

Оператор А называется асимптотически линейным, если он определен на всех элементах х с достаточно большой нормой и если существует такой линейный оператор Л'(оо), что

Оператор А'(оо) называют производной на бесконечности опе­ ратора А.

Л и т е р а т у р а : [6], [29], [31], [32], [34], [39], [58].

3.Оператор Урысона в пространствах С и Lp. Пусть функ­

определен на всех функциях из шара 5 (в, г) пространства С, и его значения принадлежат С. Оператор А вполне непрерывен на 5(0, г).

Если существует непрерывная производная Kx(t, s, х), то оператор А дифференцируем по Фреше в каждой внутренней точке Xo(t) шара S(6,r). Его производная Л'(хо) определяется формулой

Оператор Л'(оо) выражается при этом формулой 1

A' (oo) h(t)— j Коо (ty s)h(s)ds.

о

Для рассмотрения оператора Урысона на всем пространстве С или в пространстве Lv необходимо, чтобы функция K(tfSy х) была определена при всех значениях 0 ^ s ^ 1, — оо < л; <; < оо. Если эта функция по переменной х растет быстрее' любой степенной (например, содержит экспоненциальные нелиней­ ности), то оператор Урысона не будет определен ни на каком