книги / Функциональный анализ

производной можно потребовать, чтобы оператор-функция A(t) при достаточно больших t удовлетворяла условию Липшица IIЛ(f) —i4 ( f i) ||^ e |f — ti\ с достаточно малым коэффициен­ том е.

В гильбертовом пространстве можно дать следующий крите­ рий отрицательности особого показателя. Если существует эрми­

для любого решения x(t) однородного уравнения, то особый по­ казатель отрицателен.

Наоборот, для всякого однородного уравнения с отрицатель­ ным особым показателем можно построить форму (V(t)x, у) с указанными свойствами. Оператор V(t) может быть получен,

например, по формуле

оо

V{t)= J U*(x, t) U (т, t)dx. t

Ли т е р а т у р а : [22], [36], [179], [185].

6.Уравнение с периодическим оператором. Пусть в урав­

нении

^= A ( t ) X

оператор-функция A(t) периодична с периодом со:

Эволюционный оператор U(t, 0) = U(t) обладает свойством

U (t + со) = U (t) U (со).

Оператор С/(со) называется оператором монодромии уравне­ ния с периодическим оператором.

Старший и особый показатели уравнения с периодическим оператором совпадают и равны логарифму спектрального ра­ диуса оператора монодромии (см. гл. III, § 2, п. 1), деленному на период

В частности, чтобы особый показатель был отрицательным, необходимо и достаточно, чтобы спектр оператора монодромии дежал внутри единичного круга.

Если спектр оператора монодромии не окружает нуля, то уравнение с периодическим оператором приводимо. Оно может быть сведено заменой x = Q(t)y к уравнению с постоянными коэффициентами с помощью оператора

(Логарифм оператора U определен в гл. III, § 3, п. 1.)

В гильбертовом пространстве можно дать оценки для пока­ зателей о экспоненциального роста решений через границы

Л и т е р а т у р а : [22], [179], [185].

7. Неоднородное уравнение. Для неоднородного уравнения

^ - = A(t)x + f(t)

решение задачи Коши с начальным условием х(0) = х0 можно записать с помощью эволюционного оператора U(t, т) для соот­ ветствующего однородного уравнения в виде

t

x(t)= U (t, 0) х0+ J U (t, т) f (т) d%.

о

Для неоднородного уравнения важным является вопрос об ограниченности его решений на (0, оо) при условии ограничен­ ности f(t) :

sup \\f(t) ||< оо. 0</ < ОО

Для того чтобы при каждой ограниченной функции f(t) ре­ шение задачи Коши с нулевым начальным условием JC(0) = 0 для неоднородного уравнения было ограниченным на полуоси (0, оо), необходимо и достаточно, чтобы старший показатель однородного уравнения был отрицательным. При выполнении последнего условия все решения неоднородного уравнения будут ограниченными на (0, оо).

Если дополнительно известно, что оператор-функция A (t)

(и? конечно, достаточно), чтобы особый показатель однородного

274 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

с линейным оператором Л, имеющим всюду плотную в банахо­ вом пространстве Е область определения D(A).

Решением уравнения на отрезке [О, Т] называется функция x(t), удовлетворяющая условиям: 1) значения функции x(t) принадлежат области определения D (А) оператора А при всех t е [О, Т]\ 2) в каждой точке t отрезка [О, Т] существует сильная производная x'(t) функции x(t)\ 3) уравнение x'(t) = Ax(t) удовлетворяется при всех t е [О, Т].

Под задачей Коши на отрезке [О, Т] понимают задачу о на­ хождении решения уравнения на [О, Г], удовлетворяющего на­ чальному условию

х (0) = х0<= D (Л).

Если для линейного уравнения с ограниченным оператором вопросы существования и единственности решения задачи Коши, непрерывной зависимости его от начальных данных всегда ре­ шались положительно и поэтому основное внимание уделялось поведению решений при t —►оо, то для уравнения с неограничен­ ным оператором перечисленные вопросы становятся централь­ ными.

Говорят, что задача Коши поставлена корректно на отрезке [0, Г], если: 1) при любом x0^ D ( A ) существует ее единственное решение и 2) это решение непрерывно зависит от начальных

<е [ 0, Т].

Всилу постоянства оператора Л из корректности задачи Коши на каком-либо отрезке [0, Т] следует ее корректность на

элементу л:0еО (Л ) значение решения x(t) задачи Коши х(0) = = Хо в момент времени t. Если задача Коши корректно постав­ лена, то оператор U(t) определен на D(A), линеен и ограничен. Поэтому он может быть по непрерывности расширен до линей­ ного ограниченного оператора, определенного на всем простран­ стве £, который также обозначается через U(t).

где U(t) — сильно непрерывная полугруппа ограниченных опе­ раторов. Оператор Л может быть расширен до производящего Оператора 17(0) полугруппы U(t),

тора А, то функция U(t)xо может быть недифференцируемой и ее значения могут не принадлежать D(A). Функцию U(t)xo мо­ жно назвать обобщенным решением уравнения х' = Ах.

Как указывалось в гл. III, § 3, для сильно непрерывной по­ лугруппы

lim in II и (О II : СО< ОО, t->ОО

Если на каком-либо отрезке функция U(t)x абсолютно не­ прерывна, то внутри этого отрезка

у+г°°

U(t)x0= — -±r j extR{k)x0dl.

У— to o

Вчастности, последняя формула имеет место для решения задачи Коши при всех t > 0.

Если заранее неизвестно, что задача Коши корректна, то мо­ жно пытаться находить ее решения с помощью обратного пре­ образования Лапласа. Трудность заключается в том, что резоль­ вента не может убывать быстрее, чем 1/|Я|, и даже в наиболее благоприятных случаях последний интеграл не будет абсолютно сходящимся. Однако на некоторых элементах х0 резольвента быстро убывает на бесконечности, интеграл сходится и дает

276 ГЛ. V. л и н е й н ы е д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я

решение задачи Коши. Например, если резольвента оператора А определена при R e X ^ a и ее норма удовлетворяет неравенству

\\R(V\\<M(\ + | Я | )*

при некотором k ^ —1, то последняя формула определяет реше­ ние задачи Коши при любом х0е D (Л^+3) ([k]— наибольшее це­ лое число, не превосходящее k).

Для уравнения с комплексным параметром £

совокупность К а всех £, при которых задача Коши корректна, называется множеством корректности задачи Коши для опера­

группа Ut(t), дающая решения задачи Коши. Если обозначить

внекоторой полуплоскости.

Ли т е р а т у р а : [36], [38].

2.Равномерно корректная задача Коши. Корректно постав­ ленная задача Коши называется равномерно корректной, если для ее решений из хп( 0 ) 0 следует, что л;п(^)->0 равномерно по t на каждом промежутке [0, Т].

Полугруппа U(t), отвечающая равномерно корректной задаче Коши, обладает тем свойством, что U(t)xo—>Xo при любом

Хо^Е, т. е. удовлетворяет С0-условию (см. гл. III, § 3, п. 5). Обратно, если U(t) — полугруппа операторов с С0-условием,

то для уравнения

§- U ’ Q ) x

задача Коши равномерно корректна.

Если для уравнения х' = Ах задача Коши равномерно кор­ ректна, то замыкание оператора А совпадает с производящим оператором U'(0) полугруппы U(t) с С0-условием.

Необходимыми и достаточными условиями равномерной кор­ ректности задачи Коши для уравнения х' = Ах с замкнутым опе­ ратором А являются неравенства

Д/?Г(Л)Ц<-^е^ -^ (ReА > со) ( т = 1 , 2, ... ),

где М не зависит от т. Достаточным условием является нера­ венство

дифференцируемое на [О, Г], то задача Коши равномерно кор­ ректна. Более того, если при том же условии на оператор А при

Коши, то задача Коши равномерно корректна.

Аналогично тому, как делалось в предыдущем пункте, можно

ствующая полугруппа £/(£) будет аналитической внутри этого сектора, и справедлива оценка

l|t/(OII<Afe«ltl.

Следует отметить, что для того чтобы полугруппа [/(£) об­ ладала перечисленными свойствами в секторе ф1 < а ^ £ < ф 2, необходимо, чтобы задача Коши для уравнения х' = £Ах была равномерно корректной на лучах а ^ £ = ф! и arg £ = ф2.

Одним из простейших примеров равномерно корректной за­ дачи Коши является задача Коши для уравнения теплопровод­ ности:

состоящее из всех непрерывных ограниченных функций на оси

состоящем из всех дважды непрерывно дифференцируемых функций v(x), для которых O / G См (— оо, оо).

межутке [0,71 изменения t.

Соответствующая полугруппа U(t) ограниченных операторов задается интегральной формулой Пуассона

—оо

исостоит из сжимающих операторов. Другие примеры будут приведены в § 3.

Ли т е р а т у р а : [27], [36], [58].

3.Ослабленная задача Коши. Для многих приложений при­ ходится расширять понятие решения задачи Коши.

Ослабленным решением уравнения х' = Ах на отрезке [0, Т]

называется функция x(t)t непрерывная на [0, Г], сильно непре­

рывно дифференцируемая и удовлетворяющая уравнению на (0, Г]. Как видно из определения, здесь отказываются от того, чтобы уравнение удовлетворялось при t = 0.

Под ослабленной задачей Коши на [0, Т] понимают задачу о нахождении ослабленного решения, удовлетворяющего началь­ ному условию х(0) = Хо (элемент х0 может не принадлежать области определения оператора А).

Если отвлечься от вопроса о существовании решения за­ дачи Коши, то можно указать достаточно общие условия его единственности. Для единственности решения ослабленной зада­ чи Коши достаточным является условие

А,-> ОО

(написанный предел всегда неотрицателен). При этом решение единственно на [0, Г —h] и может разветвляться при t > Т — h. Если h = 0, то решение ослабленной задачи Коши на всей по­ луоси (0, оо) единственно. С другой стороны, для всякой функ­

существует дифференциальное уравнение х' = Ах с операто­ ром,Л, для которого ||/?ь(Л) || < р(Я), имеющее нетривиальное решение с начальным условием х(0) = 0.

Если оператор А замкнут и имеет регулярную точку Ко, то между обычным и ослабленным решениями уравнения х' = Ах