книги / Функциональный анализ

алгебры С(Г), содержащая А и функцию К9 обязана совпадать

с С(Г).

Вот еще несколько нетривиальных примеров максимальных подалгебр (ниже эти примеры будут включены в общие схемы).

Алгебра L 1( R + ) является замкнутой максимальной подал­ геброй алгебры L ^ R 1) (см. пример 8 в п. 1, § 1).

Пусть а — иррациональное число и алгебра Аа состоит из всех тех непрерывных функций на двумерном торе, коэффициен­ ты Фурье которых Стп = 0 при т -f- па < 0. Эта алгебра яв­ ляется максимальной подалгеброй алгебры всех непрерывных функций на торе. Тор служит границей Шилова относительно Аа, и Аа есть алгебра Дирихле. Если тор реализовать в виде ос­ това единичного бицилиндра в С2, то пространство максималь­ ных идеалов идентифицируется с подмножеством бицилиндра,

которое описывается уравнением | | = | 2:2 |а- Точка (0,0) не принадлежит границе Шилова, но представляет собой одноточеч­ ную долю Глисона. Алгебра Аа аналитична на пространстве максимальных идеалов в смысле определения § 2 п. 3, хотя ее пространство максимальных идеалов имеет вещественную раз­ мерность 3.

В противоположность алгебре Ла, более естественный аналог алгебры аналитических функций в круге — алгебра тех непре­ рывных функций на n-мерном торе, которые допускают голо­ морфное распространение внутрь соответствующего полицилин­ дра, при п > 1 далека от максимальности. Однако эта алгебра является максимальной в классе подалгебр, инвариантных от­ носительно голоморфных автоморфизмов тора (см. п. 3).

Ли т е р а' тур а: [246].

2.Максимальные подалгебры алгебры С ( Х ) . В этом пункте рассматриваются замкнутые подалгебры алгебры С(Х) и пред­ полагается, что функции из подалгебры разделяют точки ком­ пакта X и что константы принадлежат подалгебре. Будет изу­ чаться свойство максимальности подалгебры, поэтому нигде не

будет предполагаться совпадения компакта X с пространством максимальных идеалов (не известно вообще ни одного примера, когда совпадение имеет место в данной ситуации).

Проблема изучения произвольных максимальных подалгебр допускает следующую редукцию к случаю подалгебр, обладаю­

372 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ

а это означает, что фактически А есть максимальная подалгебра в С(У). Среди замкнутых подмножеств У, для которых Лу=£С(У), имеется единственное минимальное подмножество Е. Оно назы­ вается существенным множеством относительно А. Если Е = Ху

то алгебра А называется существенной максимальной подалгеб­ рой алгебры С(X).

Если А удовлетворяет последнему условию, то она является проникающей подалгеброй: Аг = С(У) для любого замкнутого подмножества, не совпадающего с X. Для максимальных под­ алгебр свойства быть антисимметричной, аналитической, об­ ластью целостности, существенной и проникающей являются эк­ вивалентными.

Последнее замечание позволяет указать пример подалгебры, которая не содержится ни в одной максимальной. Такой подал­ геброй служит, в частности, алгебра R(X) (см. § 1, п. 3, при­ мер 2), если она регулярна, но не совпадает с С(Х).

С другой стороны, всякая собственная проникающая подал­ гебра алгебры С(Х) на н е с в я з н о м X содержится в некото­ рой существенной максимальной подалгебре. Это обстоятель­ ство позволяет построить максимальную подалгебру, например, в алгебре всех непрерывных функций на канторовом совершен­ ном множестве, а также указать нестандартные примеры макси­ мальных подалгебр в алгебре всех непрерывных функций на окружности.

В заключение этого пункта приводится весьма общий анали­ тический вариант теоремы Вермера о максимальности.

Пусть R — открытая риманова поверхность и O(R) — алгеб­

и плотно в /С, для каждой точки р е int К имеется только одна представляющая мера Иенсена (см. § 2, п. 2) на X относитель­ но замыкания 0{R) по равномерной сходимости на /(. В этих предположениях замыкание 0(R) по , равномерной сходимости на X является максимальной подалгеброй алгебры С(Х).

Ли т е р а т у р а : [246].

3.Максимальные подалгебры в алгебрах с инволюцией. Тео­ рема Вермера допускает обобщения совсем другого типа, чем указанное в конце предыдущего пункта. Именно, можно отправ­ ляться не от того факта, что внутренность круга обладает одно­ мерной аналитической структурой, а использовать то обстоя­

тельство, что его граница представляет собой связную компакт­ ную абелеву группу.

Предварительно здесь приводятся некоторые сведения об упорядоченных группах. Пусть G — дискретная абелева группа. Группа G может быть упорядочена в том и только том слу­ чае, когда она не имеет элементов конечного порядка. В послед­ нем случае при дополнительном ограничении на мощность она допускает введение архимедовой упорядоченности и сохраняю­ щий порядок изоморфизм на некоторую подгруппу группы R1 (взятой в дискретной топологии). Архимедов порядок на группе индуцируется максимальными полугруппами и только ими. В силу сказанного в этом абзаце описанная ниже ситуация до­ статочно обща.

Пусть В — полупростая банахова алгебра с пространством мак­ симальных идеалов Х> в которой плотны тригонометрические полиномы, т. е. линейные комбинации характеров. Через В+ обозначается совокупность тех элементов из В, которые орто­ гональны к характерам, отвечающим точкам отрицательной по­

луоси (напоминание: X = G с: R1). Тогда В+ есть максимальная подалгебра алгебры В.

Эта теорема позволяет доказывать максимальность подал­ гебр типа S ) в /^(G), где G — локально компактная абелева группа, a S — полугруппа в G (см. замечание к примерам 7, 8 в п. 1 § 1). В частности, отправляясь от нее, нетрудно объяснить максимальность в примерах, приведенных в конце п. 1. С дру­

(достаточно рассмотреть пример открытой правой полуплоскости с присоединенным началом координат в /?2). Вообще, если S — борелевская полугруппа в G и если Ll (S) — максимальная подалгебра алгебры Ll (G), то S П(—S) может содержать толь­ ко нулевой элемент группы G, а сама S содержится в замкну­ той полугруппе, индуцирующей на G архимедову упорядочен­ ность.

Ниже формулируется еще несколько результатов, касающихся максималь­ ности, в которых не предполагается, что исходная алгебра полупроста.

Пусть В — коммутативная банахова алгебра с инволюцией (см. § 2, п. 4).

порожденная системой G+.

В этой ситуации любой характер группы G, рассматриваемой в дискрет­ ной топологии, имеет вид g\—xp(g), где ф-1- линейный мультипликативный

374 ГЛ VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ

функционал на В. В частности, пространство максимальных идеалов алгеб­ ры В естественно наделяется структурой компактной абелевой группы. Если

гебры В, о которой очень часто можно утверждать, что она совпадает с А. Например, пусть X — компакт и G — группа непрерывных функций на X, равных по модулю 1, причем линейная оболочка группы G плотна в С(Х). Пусть в группе G имеется полугруппа G+, индуцирующая на G архимедову

Рассмотрим снова банахову алгебру В с эрмитовой инволюцией, порож­ денную группой G унитарных элементов. Пусть на В действует полугруппа 2 линейных операторов, удовлетворяющих условиям Те = е, Tfg = Tf-Tg, а также осуществляющих взаимно однозначное отображение G на себя. Пред­ полагается, что в группе G имеется полугруппа F с единицей, причем выпол­

вконце п. 1.

Ли т е р а т у р а : [246].

§5. Групповые алгебры. Гармонический анализ

1.Групповая алгебра. Пусть G — группа с конечным числом элементов и пусть R — линейная система,- полученная из фор­ мальных линейных комбинаций элементов группы:

*= S Xgg ( х <= R ) ,

а

где xg— произвольные комплексные числа. В системе R естест­ венным образом можно ввести операцию умножения элементов:

если

Если обозначить произведение g'g" = g, то g" = (g')~*g и ■формула для умножения примет вид

*# = S ( 2 g \g'

При введенной операции умножения система R становится алгеброй, которая называется групповой алгеброй конечной группы G.

Характер восстанавливается по мультипликативному функциона лу по формуле х (g0) = <p (ego), где

Пространство Ш максимальных идеалов есть компакт в сла­ бой топологии, поэтому и пространство X характеров группы бу­ дет компактом в соответствующей топологии. Эта топология оп­ ределяется с помощью фундаментальной системы окрестностей элементов %<ь

U = (%0> Х\, •••> ХПУе)>

Л. С. Понтрягиным с помощью фундаментальной системы окре­

будет снова характером группы. Операция умножения непрерыв­ на в топологии пространства X.

Итак, пространство характеров дискретной группы является компактной топологической коммутативной группой.

Простейшим примером дискретной группы является группа • Z целых чисел. Групповая алгебра состоит из последовательно­ стей х = {сш} с законом умножения

+ оо

{ху у)т= 2 ^т'^т—т'

т'——оо

и нормой

и* и = S i c w i.

Эта алгебра изоморфна и изометрична винеровской алгебре абсолютно сходящихся рядов Фурье (см. пример 6, § 1, п. 1). Характерами группы будут функции eim®. При -б, отличаю­ щихся на целое кратное 2я, характеры совпадают, поэтому мож­ но считать, что 0<-®4i2n, и изображать характеры точками

Важный класс функций на группе G образуют положитель­ но определенные функции, т. е. такие функции ф(£), что для любого конечного набора элементов git ..., gn группы G и лю­ бых комплексных чисел gi, . . . , gn выполнено неравенство

пп

2 h * ( g k - g i ) h l i > о . k=\ l=\

По каждой положительно определенной функции на группе можно построить линейный положительный функционал на груп­

Из теоремы о представлении положительного функционала (§ 2, п. 4) следует теорема о представлении положительно оп­ ределенной функции на группе:

непрерывная функция на коммутативной локально компакт­ ной группе положительно определена тогда и только тогда, когда она является преобразованием Фурье неотрицательной меры (оп­ ределяемой по ф однозначно) на группе характеров:

Ф ig) =■- j X(g) ЛФ(х). X

Л и т е р а т у р а : [212], [213], [217], [238], [242], 1246].

6. Спектральный синтез. Эндоморфизмы групповых алгебр.

Говорят, что в полупростой алгебре разрешима проблема спектрального синтеза, если всякий замкнутый идеал в этой ал­ гебре есть пересечение максимальных идеалов. Например, так обстоит дело в алгебрах С(Х) всех непрерывных функций на компактах. По отношению к групповым алгебрам локально компактных абелевых групп проблема спектрального синтеза приводит к нетривиальным аналитическим задачам. Первый пример неразрешимости проблемы спектрального синтеза в этой ситуации относился к алгебре К(/?3).

В некотором смысле полное решение вопроса дается сле­ дующей теоремой: проблема спектрального синтеза в группо­ вой алгебре V(G) локально компактной абелевой группы О тогда и только тогда разрешима, когда группа G компактна (другими словами, когда группа характеров дискретна).