книги / Функциональный анализ

§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ

481

4) Ф ун кц и и

| х |

2m s ig n л: со о тв етств у ет

о б о б щ е н н а я

ф у н к ц и я

(| х \ ~ 2т s ig n л:,

<р) =

Jоо х ~ 2т | ф (х) — ф (— х )

—

О

- 2 [ * ф' ( 0 ) + - £ ф' " ( 0 )+ ... + (2/п ■" Т)Т<Р(2ст~1) (°)е (1 ~

*)] } d x -

I л: |л s ig n JC при

Х =

— 2т.

5) Ф у н кц и и

—{|

0

при

д. < 0

х^+ тlnmх+

Г х Ч п т х

при

х > 0 ,

соответствует

при

ReA, >

— га — 1,

— 1, —2, . . . . обобщен­

ная функция

+

j ххlnm хф (х) dx

+

(- \)тт\ ф^-1) (0)

(* — 1)! (Я, + k ) m+l '

При — га — 1 < ReА<<

— га

ее

можно

задать

более

простой

формулой:

Jоо х%In '” X [ф ( х )

(х * l n m Х + , ф) —

— ф (0) —

о

-

Ф(ге-1) (Q)] d x .

— Х ф '( 0 ) - . . .

Последняя формула получается из формулы для х^

(см. п. 2)

заменой

х % на

хЧпт х. Точно так

же

обобщенная

функция

xMnmx_

задается формулой,

получаемой

из

формулы для

х % заменой х % на хЧпт х.

Аналогичное

замечание

справедливо

для обобщенных

функций

x~"lnmx+,

х-"1 пв,х_

1 | х Iх 1 пт

х 1|,

| х

sign х 1 пт | х |.

6

)

Обобщенные функции In(лг -f- г'О) и ln(x — г'О) определяются

формулами:

In (я + г'О) =

lim

In (х + г'е) =

In | х

Ц- г‘я 0 (— х ) ,

е->+0

In (х — г'О) =

lim

In (я — г'е) =

In | х

| — г'я0 ( — я),

£ +0

где,

как и выше, 0 (х) = 0

при х < 0

и

0 (х) = 1 при х

> 0 .

7)

Обобщенные функции (х + г'О)* In (х+г'О) и (х—г'0 )я In(х—г'О)

задаются формулами:

(х +

i 0 ) x In ( х + г'О) =

*+ In х + + i n e iXnx x + e iXnx x In х _

при

Х ф — п ,

(—1)" гя*-" Н- (— l)"-1 \

+

х ~ п In| -У|

при

Х =

— п;

(х -г'0

)Ч п (х - /0 ) =

х х+ In х + — i n e ~ iXnx x +

e ~ iXnx x In x _

при % ф

— гг,

{ - \ ) n~ li n x z n +

(—l)n~‘ 4

+

x ~ " \ n \ x \

при X =

- n .

7.

Обобщенные функции x x+ ,

x }

и

им аналогичные как

функции от параметра к .

была

основана на

равенстве

1)

Регуляризация функции х*±

(х^)' =

Я,х+-1. Существует другой

путь

регуляризации

этой

чают значения

выражения

<р)

и

при

Re X ^

—1.

Оказы­

вается, что при

R e X > —

n — l , Х

ф

— 1,

—2 , . . . ,

— п,

значе­

ние этого аналитического

продолжения дается формулой п. 2 ,

а при — п — 1 < Re Я < — п — более

простой

формулой, при­

веденной там же. Аналитическая функция

( х х+>

<р) имеет простые

полюсы при X =

—1 , —2 , ..

, —k,

. . .

Вычеты в этих полюсах

даются формулами

ф(А—О (о)

Выч ( х х ,

Ф)=

(ft-1)1

'

А » = - А Ч

+

§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ

483

X = —1,

, —k,

причем

Выч х \ =

1)п/ 6 <fe-I) (*),

к — 1,

2, ...

^

1« —‘Я

вая

вместо

нее функцию

*+/Г(Я 4- 1).

Эта функция является

целой

аналитической

функцией

от

X,

принимающей

при

Л,=

— 1........ — к, ...

значения

6№-1)(х)

(поскольку

функция

Г (Я 4-1)

имеет

полюсы

в

тех

же точках, что и функция

Разложение функции

х^. по

степеням

X — Я0, Я0 Ф — 1, . . .

. .

— к, . .

имеет

вид

*£ =

*£ + (Я .-^ д $ 1 п х + + •••

+

-(Х~ ! оГ Д^1п” х+ + ...

Разложение же х^

по степеням X + k

имеет вид

, _

( - ! ) * - « а<*-»(ж)

1

к

—

,и

,ч.

Г + й

^ Х+ +

(ft -

1)1

Я-

+

(Я + k) x~kIn х++

...

+

- ^

х~к \пт х+ + ...

Она

имеет

полюсы

при

Х =

— 1 , . .. ,

— k,

... с

вычетами

Ь(к' 1) <*)

.

u

А

г

£

1)

является

целой

■

Нормированная

функция

аналитической функцией от X, принимающей

при X — — 1, .. .

.... — k,

...

значения (— l)*-16(ft-1) (х). Имеют

место

формулы:

=

х1* + (Я -Я 0)хЧ п х _ 4 - ... 4~—

* Чп - х _ + ....

^0

1 >

2, • . . ,

k9 • • • t

6(k~]) (х)

1

(k —1)!

X + k +

* z k +

-f- (Я -f- k) x~^ In x__ -{-

.

+

(Л

xzk In- x_ -f-

цией

от X, имеющей

простые

полюсы

при X — — 1, —3, . . .

. ..,

— 2/г — 1, .. . с

вычетами

Выч | х f

2Ь(2к) (х)

(2ft)1

*

Л=—2ft—1

§ 2. РА С Х О Д Я Щ И Е С Я И Н Т Е Г Р А Л Ы

487

Обобщенная функция

Х*-1

обозначается

через Фх(х).

ТЩ"

В п. 7 было показано, что

Ф-* (х) =

lim

хь-1

= б№) (х)

(k = О,

1,

.. .)•

1 W

Поэтому

K->-k

Ф_, (X)=

f-k(X) =

/ W *

/ ( * ) *

6(k>(X) =

fk)(X).

(fi

(

dyf \

rf3+vf

dx3

\

dxy )

C?A:3+Y

488

ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ

ФУНКЦИИ

- k - X - \

г(*(*’ W)

T(— k — X)

dx‘

Л-k-l

-Ч Л —

------) = 6(k) (*)•

dxK \ Г (Я -

k) )

W

Интегральное уравнение Абеля

g fr) —

1

f

f(t)dt

'

Г (1 — a) J ( x - t ) a

можно записать в виде

где Я = —a +

1.

В силу формулы для свертки функций Ф*.(х)

g (х) * Ф_а (х) = / (х) * Фл (х) * Ф_А(л:) = / ( * ) * 6 (л:) = / (л:).

При О <С а <

1 получается формула

f М = г ( a h )

I

(* -

0“- 2 г (0 dt,

Л-1

р—v

О < x <

1,

F{а, р, у; х)

Г(Р)

Г(у)

CV-1 (1 _ ^a+p-v

F (a, p, у; л:) =

Г(у)

d-& Г 4 -Р -1 (1 _ х)“-гГ

* < 1.

dx~*{

Г (у — P)

0 <

L

§ 3. Ф У Н К Ц И И Н Е С К О Л Ь К И Х

П Е Р Е М Е Н Н Ы Х

489

Для б е с с е л е в о й ф у н к ц и и

справедливо равенство

7-P-V*

os V x

2PV n x Pl2Jp(Vx)--

V7 J-

dx-P-V2

[ Л

, ( У * 2) q+lxip+q+l),] =

2Jp+q+l ( V D .

функция r \ r — Y x\-\- ...

+ х *.

При Re %>

—« она задается

формулой

(гк, ф ) = г%ф| ( х )dx =

== J (х\ Ч-

• • • Н~

■**) Ф (■*!» • •

• > •*•„) d x l . . .