Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Функциональный анализ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2023

Размер:

24.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5253 / 5553 54 55 > Следующая >>>

§ 5. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 521

где

	т	*2m—2k
	Qi (Е) ■ S	*2m—2k
	Qi (Е) ■ S	(2k - 1)! (2т — 26)! (А, Ц- 2k) '
	При к = — п получаем	фундаментальное решение, соответст

вующее оператору Р. В фундаментальном решении можно оста вить лишь те члены многочлена Qx(£), которые нужны, чтобы

получаемая	функция не имела полюса при к = — п.
Если п	нечетно		и	2т ^		п,	то	фундаментальное решение
имеет вид
Е{хи ..., хп) =				ГI®*1+		••+®я*п
		М—1							f m П
=- - ^- - - -									f m П	dQ
										dQ
4t (2ял)2£		(2пгт — п)\ «!								р («1........1®п)
Если п четно и 2т ^				/г, то
									п f m~ n X
									1	dQ
Если п нечетно и 2т < гг, то									1Р((о,........*соп)
Если п нечетно и 2т < гг, то
Е(х 1, .... х„) =
	гс—1		(гс—2гсг—1)
( - D		2	(гс—2гсг—1)							dQ
2(2я)		гс—1	6(			((O^ATj		. • •	“ I" СОп Х п )	Р(о>1........	®ге)
2(2я)		2 й
и если п четно		и 2т<п,			то
Е(х 1, . * „ )	=
(2п ) п		>1 J \|			+		... + ад , Г"«"			dQ
(2п ) п		>1 J \|			+		... + ад , Г"«"			р (©1,..	СОп)
Фундаментальное решение является обычной функцией, ана-
литичной при л; Ф 0 и удовлетворяющей									в окрестности начала
координат соотношениям
Е(х) =		О (r2m~nIn г),				если		п четно и 2т ^ п,
Е(х) =		0{г2т- п)				в остальных случаях.
		0{г2т- п)				в остальных случаях.
При 2т > п функция Е (я)					имеет в начале координат непрерыв
ные производные до порядка 2m — n — 1.

Л и т е р а т у р а : [12].

522	ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

4.Фундаментальные решения однородных регулярных урав

нений. Линейный дифференциальный оператор с посто янными коэффициентами называется регулярным, если он одно

роден	(т. е. все члены являются производными одного и того же
порядка т)		и если на конусе P(coi,				соп) =	0 градиент функ
ции Я(соь		соп) не обращается			в нуль при со ф 0. Для регу
лярного оператора фундаментальное решение имеет вид
		Е {х\ у ... ухп		fтп (2 1		x k°>k) dQ
		Е {х\ у ... ухп			Р (©!,	.... (Оп)	’
					Р (©!,	.... (Оп)	’
где Q — единичная сфера, а функция						f m n { x )	имеет следующие
значения:			м, то
1)	если п четно и т ^		м, то
			\—		1
		f m n ( х ) =	(21)п ( т	-	я)! Х 'П~ П 1п I х I;
2)	если п четно и т <		п, то
			"о-+пг
		(-1)2		(я —т - 1 )!
		/ тп (я ) :		(2п)п

3) если п нечетно и m > п, то

п—1

/ тп (х) :	( - D	'sign х;
4 (2п)п~~{ (га — п)\
4) если п нечетно и т <	п, то
	п—1
f (х\ — (-1)___.(п—т—1) /		ч
Гтп()	2 (2 < - ‘	1 ,‘

При этом интеграл понимается в смысле регуляризованного

значения:	xn) = limEe(xl,	хп),
£(*,,

е->0

где

Ее(Х|у ... у хп

fmn (S Xk(Ok) d Q

Р («1...... (On)

Здесь через Q8 обозначено множество точек на единичной сфе ре, для которых | Р (coi, .... con) | > е.

Л и т е р а т у р а : [12].

§ 5. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 523

5. Фундаментальное решение задачи Коши. Пусть дано ли нейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффици ентами

д_	’	и = О
р { dt

порядка т по переменному t. Пусть дифференциальный опера тор

таков, что для уравнения

Р <*[~дТ’ d f)

задача Коши корректна. Тогда фундаментальное решение за дачи Коши для исходного уравнения имеет вид

	Е {t,	х) =		J	(t, х {®{ +			... + хпа>п,	— п) dQ,
где								оо
								оо
	I.	4 =		--------------------				\|би(, I —
a Gait,	\| ) — фундаментальное решение задачи Коши для урав
нения	Ра [ j j , -\|-) о =				0.
В случае нечетного числа переменных получается более про
стая формула:				Г С -1
			-	Г С -1
	E(t, х) =			(~ 1}	\	2	/	Г dn
	E(t, х) =			-	~-^= rGJ		a (t, t)dQ.
				Qnn	2 (n — 1)!			a
Однородный линейный оператор с постоянными коэффици-
ентами	р (-Ш' Тх~ ’				~Ш~)		называется		гиперболическим,
если при любых			значениях			сор		со^, 2	= 1» уравнение’

m-го порядка относительно v:

P ( v , СОр . . (оп) = 0 ,

имеет т вещественных и различных корней. Решение гиперболического уравнения

д__	д	_д_
dt	дх\	-)«(*> 0 = (
dt	дх\	дхГС/

524 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

при начальных условиях

дки (х, 0)

= 0,

0 < 6 < т

—2,

dtk

дт~ \ ( х , 0 ) _______ 2 /

dtm-i

имеет вид

и{хь ....

хя,

t) =

--------

2 Г m

m-1

Г f

\ 1 Г х- п \ Ъ ч 1 к + Л х+т

1 « M

S **£* +

*)'

J . l

( Я+1)( Я +

2) ...

(Я + m - l )

tf=0

, _ f 2

CO,

+ Q\

г д е

< ь ( в - S

fc/n—2fe—1

(2k — 1)! (m — 2k — 1)! (%-

2k) '

fe=l

через H(lu

| n) обозначена

функция P(l, |i,

и через

to — выражение

| grad H | sign

V t J¥L

2u lk dlk

(da— элемент поверхности H = 0).

решение задачи

При Я = — п

получается фундаментальное

Коши. Если п нечетно, то решение имеет вид

"±1

(Х[, • . . у

Хп)

;

( - 1)

1)! X

2 (2я)п-1 ( т - п -

J (2 х & ь + t)m~n' x[sign (2 xkU + ^)]m

1со;

я = о

если же п четно, то решение имеет вид

, ... ,

хп) —

2 xk% + t

I)!

| Ц х*-М Г"-'In

я = о

2 х /Лк

§ 6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 525

(формулы Герглотца — Петровского). Когда порядок га уравне ния меньше, чем п — 1, формулы для фундаментального реше ния задачи Коши приобретают вид

Е{хи ....	п+ 1	J в<»-и>(2^ +)ю
при нечетном п и
Е (хц ... \| хп)	(—1) 2 (п — т)\		/	п—т+1
Е (хц ... \| хп)	(2я)"		/	п—т+1
			я=ю ( 2	xk% + О

при четном п.

Все интегралы в этих формулах понимаются в смысле регуляризованного значения.

Л и т е р а т у ра: [12].

§ 6 . Обобщенные функции в комплексном пространстве

1 . Обобщенные функции одного комплексного переменного.

При рассмотрении функций комплексного переменного исполь зуются операторы

_ д _ _ \_(_д___. _ д \		J L — L ( J L J L
дг — 2 \ д х	1 ду ) ’	дг ~ 2 \ дх + 1 ду ) ’

где z = х + iy. Например, ряд Маклорена пишется так:

f 1 (х,

у) =

f(z,

2) =

J ]

fU'

z>2k’

1, fc=о

где положено

fu’k)(z, 2)

di+kf (г,

г)

Hz,

z ) = f , ( ± ± i

z —•z

dz^ dzk

2i )■

Для

аналитических

функций

= 0

(это

следует

из

условий Коши —Римана).

пользуются дифферен

При интегрировании функций f(z, 2)

циальной формой

dzdz = — 2idxdy.

дифференци

Пусть

D — пространство финитных бесконечно

руемых функций ф(г, 2).

Пусть Я и р — такие комплексные чи

сла, что п = А — р — целое число. Тогда при

Re(A,-f р) >

—2

сходящийся интеграл

уJ гх2^ф(z,

(г\г*

ф) =

z) dz d2

526	ГЛ. X ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

определяет обобщенную функцию zKz^ в D. Эта функция одно родна, а именно: для любой функции ф(г, г) из D справедливо равенство

= aK+la^+l (z^z*4, ф(г,

г)).

При

Re(X +

M ' ) < —2 обобщенная функция

z%z^

опреде

ляется

с помощью аналитического

продолжения

по

s =

^+ p,:

т--1\

{zxz^, ф) = j

ZXZ»

ф (z, z) —

<p(fe-п(о, 0)

,>=|

dz dz +

|2 | < 1

kin

k+l= 0

z^2^ ( z ,

z) dz dz +

2я

m " 1

( Ь

Ф(Д!-1)(0, 0)

|z|> l

k+l=0

ft! /! (ft

X +

ц + 2 ) ’

где Re(A, +

l*>) >

— m — 2.

k—/=—П

регулярна

всюду,

за исключе

Обобщенная

функция z^z*4

нием точек Я, ц = — 1, —2, ... В этих точках функция zKz^f как

функция от s =	X+ М- при фиксированном п = К— ц, имеет про
стые полюсы. При этом
Выч z^z*4=		2я	1 = ^ 4 *		г ) ,
л=— 1			ft! Л
\i=——1
где					дк+1Ь (г, г)
(б, ф) = ф(0, 0)		и	бik,l)(z,	z) =	дк+1Ь (г, г)
					dzk dz1
Нормированная обобщенная функция
		г1^
		s +	I п I + 2
является целой	аналитической		функцией от s =			А + р, при фик
сированном п =	А — ц. При		А = — k — 1,		ц =	— / — 1	имеем
z1^			* 1 -3 1 ^ 4 1			z- ) t
s + \|« \| + 2				ft! 11
	'k=—k—1
	\|x=—l—1
где j = min (k, l).							zkz^.
Обобщенная функция z~h~l является частным случаем							zkz^.
Ее можно определить равенством
	z -ft-i =		k 1 d*(z->)
	z -ft-i =	(_l)*_L		dzk
			ft!	dzk

При этом

<3(- - ь - \ \

1 \ k n

« ( f t , 0) /

- 4

§ 6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

527

(производная не равна нулю, так как г~к~^ не аналитична в точ ке г = 0).

Так же, как и в вещественном случае, вводятся присоединен ные однородные функции zK»lnm\z\:

(z^z^ lnm| г | , cp) = -j Jzkz^ lnm | г | ф (z, z) dz dz,

где интеграл надо понимать в смысле регуляризованного значе ния. Присоединенной однородной функцией является и функция

fe-U-Z-	ф) = т			Ц 2'г < -
( z -	ф) = т	L		Ц 2'г < -
		L	«+/*=о
	- 0 ( 1	- \| 2 \|)	У	П/I 01 гlzlj dz dz.
			i+j=k+l
Преобразованием Фурье функции <p(z, I)				называют функцию
	ф(ау, W ) = Y	Jф(г, z)eiRezm dz dz.

Преобразование Фурье обобщенной функции F определяется равенством

(F, <p) = 4n2(F, фО,

где фЛг, г) = ф(— z, — 2). Имеет место формула

		zxz*			. ог.+ц.Ч-2—jl Я—р. \|		W ^	Я 1
	r ^	+ \|«\| + 2j			ш

где s =	+	п — Х — р..
Так же вводятся обобщенные функции вида								fl (z)f>l(z), где
f(z)— мероморфная			функция и п = %— ц — целое число. Если
финитная функция ф(г, I)					сосредоточена в области, содержащей
один нуль кратности k функции f(z)						и не содержащей полюсов
этой функции, то интеграл					\| f (г) Р	(г)ф (z, z) dz dz
		(Р Р >	=ф)\
при заданном %— \|я сходится в области Re(^ + \|я) > 0.									анали
При	Re(^ + p,)<0			его	значение	определяют путем
тического продолжения				по s = X +			Единственными		особен
ностями	этого интеграла				как аналитической			функции от X
и (я являются простые полюсы в точках							(X, \|я) =	(—р/£,	—<7/&),
p ,q = 1,2, ... (X— [я — целое).

528	ГЛ X ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Точно так же, если функция <p(z, z) сосредоточена в области, содержащей один полюс порядка I функции f(z) и не содержа щей нулей этой функции, то интеграл сходится при Re(A.-fp) < 0 . При Re(A. + p) > 0 его значение определяется путем аналити ческого продолжения по s = %+ тр Единственными особенно стями этого интеграла как функции от X и р являются простые полюсы в точках (X, р) = (p/l, q/l), р, q = 1,2, ...

В общем случае интеграл определяют путем разбиения функ ции <p(z, 2 ) на конечное число слагаемых, каждое из которых сосредоточено в области, содержащей не более одного нуля или полюса функции f(z).

Л и т е р а т у р а [16].

2. Обобщенные функции т комплексных переменных. Пусть S — поверхность в m-мерном комплексном пространстве, зада ваемая уравнением

P ( z ) * P ( z „ ,..., гт) = 0*),

где P (z )— бесконечно дифференцируемая функция от z и г.

Предполагается, что дифференциальная форма dP dP не обра щается в нуль на поверхности S. Дифференциальную форму d(o порядка 2т — 2 определяют соотношением

dzdz = ±-dP dPda

и полагают

(6(Р), ф )= J Ф da.

р=о

Здесь приняты обозначения

/ i \ т	_ / i \т
^yj	dz dz — ^yj dZi dzi ... dzm dzm

Пусть

(. i) (p . _	дк+1'б (P)
K ’	dPhdP1 '

Для этой обобщенной функции остаются справедливыми свойства, установленные в вещественном случае (см. § 3, п. 5):

*) Чтобы не усложнять записи, функции т комплексных переменных часто обозначают через P(z) вместо P(z, г).

§ 6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 529

	1)	б{к’l)(Р) =		■§: 6,ft+1' 0 (Р) +			-g - б(*’/+,) (Р), и		аналогии-
	i				i		i
ная	формула		для		б(*’0 (Р);
	2) Р6(Р) =		Р6(Р) =		0,
			Р6(А*г) (Р) +			/гб'*-1, л (Р) =		О,
			p8(k, D(р) +			/б<*. /_\|>(/>) =		0;
	3) если поверхности Р =					0, Q =	0 не имеют особых точек
и не пересекаются,				то
			б (PQ) =		р -'р -'б (Q) +		Q_1Q_I6 (Р).
	В частности, если				функция а (г)		не обращается в нуль, то
					б(аР) =	а - 1й -,б(Р).
	Если функция Р			аналитична			— o j, то
			б^«(аР) = « -й- 1а - г- 1б(ЛЛ)(Р)
для	всех	функций а (г), нигде не обращающихся в нуль.
Пусть G(z) — целая аналитическая функция от т комплекс
ных переменных zlt				..., zm. Если %— р =				п — целое	число, то
полагают		(G%G», <р) = (if2)т J GK(z) G* (2)ф (z, z) dz dz,

где					__ j Q	^ (^—P>) arS		О

Если поверхность G (z) = 0 не имеет особых точек, то един

ственными особенностями обобщенной функции GXG^ рассмат риваемой как функция от А, р, являются простые полюсы в точках

(А, р) = (— k — 1, — / — 1),		k, 1 = 0, 1,	• •
с вычетами
Выч	GA,GM' = (—1)*+г -гпг 6(к’l) (G).
X= - k-	1	S I г1
ц = - / - 1
Пусть P ( z ) — невырожденная		квадратичная	форма от т
комплексных переменных:
	т

Р = . 2 gijZiZp

530	ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Рассматривается
(РЛР*\	ф) =	(</2)” J Р^ (2) Р* (2) ф (2, 2) С?2 dz.
Этот интеграл сходится_при Re (X 4-				ц) > 0.	вводят дифферен
Чтобы выразить			при Re(^+M') < 0 ,		вводят дифферен
циальные операторы
	8		д2		д2
	8		d z t dzj	g l	dzt d2j
i, / = 1				i, /=1
где
Хогда при Re(A.+ (а)		>	— k — I определяют Р\Р** формулой
РХР» =		С (Я, jfe) С (р, 1) LkpLlpPx+kPv'+l,
где
С (v, р) = {4Р (v +	1) ... (v + р) (v +			т/2) ... (v + m/2 + р — 1)}

Обобщенная функция РлРа имеет две серии особых точек:

(Я, р) =		(—&— !, —		1),	k,	1 =		0,	1, 2, ...
(Я, р) =		(— m/2 — k, — m/2 — /),			k,	1 =		0,	1, ...
Если	точка	(Я, р) принадлежит только одной из этих серий,
то в ней P V		имеет простой полюс; если же (Я, р) принадлежит
обеим сериям, то РХР^ имеет в ней полюс порядка 2.
В	случае,		когда точка	Я — — k — 1,		р =		— / — 1		принад
лежит только первой серии,				Выч РХР^ есть обобщенная функ-
				/г—1
ция,				\|Lt=—/—1	Р ==0.		Определяют
	сосредоточенная на поверхности
		6(fe-г)(Р) = Ц - ( - 1 )*+/kin			Выч		Р1Р*.
			2л		А,=—&—1
					]!=—/—1
Если	точка	(Я, р) принадлежит только				второй			серии, т. е.
Я = — т/2 — к,			р — — т/2 — /, причем т			— нечетное				число, то

ВычР^Р1* в этой точке равен

m—1

^2 2“W_2^_2^+1J1w+1

w „ r ( - f - + t ) r ( - i + ,)|4 |

где Л — дискриминант квадратичной формы Р.

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5253 / 5553 54 55 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023778.39 Кб0Функции комплексного переменного и операционное исчисление..pdf
#
12.11.202312.71 Mб9Функции комплексного переменного..pdf
#
12.11.20239.11 Mб8Функционально-стоимостный анализ (кейсы - примеры, задания, тесты)..pdf
#
12.11.202314.84 Mб0Функциональное программирование..pdf
#
19.11.202335.37 Mб0Функциональные наноматериалы..pdf
#
13.11.202324.9 Mб34Функциональный анализ..pdf
#
12.11.20233.08 Mб0Характеристики прочности и пластичности конструкционных материалов при высоких скоростях деформации..pdf
#
19.11.202329.55 Mб2Химическая технология вяжущих материалов..pdf
#
19.11.202333.32 Mб2Химическая технология неорганических веществ. Кн. 1.pdf
#
20.11.20234.58 Mб5Химическая технология неорганических веществ.-1.pdf
#
12.11.2023658.12 Кб4Химическая технология неорганических веществ..pdf