книги / Функциональный анализ

452ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

7.Общий случай. В общем случае несимметричного потен­ циала, по-видимому, не существует упрощения задачи, связан­ ного с вольтерровостью интегральных уравнений. Основу для' нахождения f(k\ а, Р) составляет само интегральное уравнение теории рассеяния. Сходимость последовательных приближений для этого уравнения при всех k можно показать также при усло­ вии, что потенциал v(x) удовлетворяет какому-нибудь условию малости, например,

При этом условии оператор Н совсем не имеет дискретного спектра. Если же дискретный спектр присутствует, то последо­ вательные приближения заведомо сходятся не при всех k. В то же время при достаточно больших k последовательные прибли­ жения всегда сходятся, независимо от величины потенциала. Этот факт является оправданием так называемой формулы Борна для амплитуды рассеяния, которая получится, если в вы­ ражение для f{k\ а, Р) (см. п. 5) подставить вместо и(х, к) ее нулевое приближение — соответствующую плоскую волну:

fB (к; а, Р) = — ^г- Je~ik{Xt a)v (х) eik(А?>р) dx.

Точное утверждение состоит в том, что при больших k f{k\ а, Р) — fB(k; а, Р) = о(1)

равномерно по а и р, причем если v(x) —дифференцируемая функция и | grad v (х) | = О (г-2-8), е > 0, то вместо о(1) здесь можно поставить 0(l/k). Иногда !в(к, «, Р) называют первым борновским приближением, называя борновским рядом ряд, ко­ торый получится, если в выражение для f(k\ а, Р) подставить ряд последовательных приближений для решения и(х, к). По­

жений через первое, т. е. через преобразование Фурье от потен­ циала v{k).

Интегральное уравнение теории рассеяния позволяет приме­ нить также и другие приближенные методы для определения амплитуды f(k ; а, Р). Например, схема метода Галеркина для этого уравнения тесно связана с так называемым вариационным методом Швингера для задачи рассеяния.

Ли т е р а т у р а : [288], [292].

8.Обратная задача теории рассеяния. Описанная задача нахождения оператора рассеяния по потенциалу может быть названа прямой задачей теории рассеяния. Можно поставить и

454 ГЛ . IX . О П Е Р А Т О Р Ы К В А Н Т О В О Й М Е Х А Н И К И

удовлетворяет условию

оо

J* r\v { r )\d r < оо,

о

Для случая / > 0 разработан аналог этой схемы. Необходимые и достаточные условия 1)—4), которым должна удовлетворять фаза Т1о(&), остаются в силе при I > 0.

Интегральное уравнение для А (г, t) допускает явное реше­ ние в случае, когда So(k) — рациональная функция. Решения и потенциал получаются в этом случае в виде рациональных функций от тригонометрических и гиперболических функций. Простейший пример дает функция

- > 0 ’ р > а

Соответствующий потенциал имеет вид

02 (02 _ а2) v(r) = 2 (0 ch а sh 0r)2 *

Обратная задача изучена также для систем уравнений с ра* диальными операторами и для одномерного уравнения Шредин* гера.

Л и т е р а т у р а : [283], [301],

Г Л А В А X

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

§1. Обобщенные функции и действия над ними

1.Вводные замечания. Некоторые физические величины (на­ пример, плотность сосредоточенной нагрузки) не могут быть выражены при помощи обычных функций. Поэтому в физике и технике давно применялись обобщенные или сингулярные, функции, выражающие такие величины. Примером сингулярной функции является так называемая б-функция, определяемая

следующим свойством:

Для любой непрерывной функции cp(x) выполняется равен­ ство

оо

Очевидно, что б-функция не является обычной функцией. В са­

— оо

такими свойствами. Можно лишь построить последовательность обычных функций fn(x) такую, что для любой непрерывной функции ф(х) имеем

456 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Такие последовательности функций называются 6-образными последовательностями. Во многих случаях, в которых, по сути дела, речь шла о б-функции (например, в вопросах, связанных с точечными источниками и стоками, функцией Грина и т. д.), вместо б-функции применялись б-образные последовательности, после чего выполнялся соответствующий предельный переход. Это столь же осложняло математическую физику, как ослож­ нила бы математический анализ систематическая замена всех производных пределами разностных отношений, а интегралов — пределами интегральных сумм.

Устранение этих трудностей оказалось возможным лишь после построения строгой теории сингулярных функций, устано­ вления правил действий над ними и создания достаточно разви­ того алгоритмического аппарата. Такое построение было прове­ дено на базе изучения непрерывных линейных функционалов в некоторых линейных топологических пространствах.

2. Обобщенные функции. Через D обозначают пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций, заданных в Rn и принимающих комплексные значения. Последователь­ ность функций {фй} из D называют сходящейся к нулю, если:

а) все функции щ(х) обращаются в нуль вне одного и того же шара |х| ^ R\

б) для любого q имеет место равенство

И г л ф М ( х ) = 0 . k -> o o

Этим задается сходимость в пространстве D. Можно задать то­ пологию в D системой окрестностей (см. гл. И, § 1, п. 2).

Обобщенной функцией (по Л. Шварцу) называют непрерыв­ ный линейный функционал в пространстве D.

Обобщенная функция F называется вещественной, если для всех вещественных функций ф(х) из пространства D значение (F, ф) вещественно.

Каждой локально суммируемой функции f(x) (т. е. функции, суммируемой в любом шаре й п) соответствует обобщенная функция (/, ф), задаваемая формулой

(/> ф )= J f(x)<p(x)dx.

При этом, если /ч(х) и /г(*) — локально суммируемые функции, причем для всех функций ф(х) из D имеем (/i, ф) = (/2, ф), то почти для всех х выполняется равенство Ы * )= Ы * ) . Таким образом, соответствие * (/, •) определяет вложение простран­ ства локально суммируемых функций в пространство обобщен­ ных функций.

Обобщенные функции, соответствующие локально сумми­ руемым функциям, называются регулярными обобщенными

функциями. Примером регулярной обобщенной функции может служить функция скачка (0, ф), задаваемая формулой

оо

(9. ф )= J* ф(x)dx.

О

Она соответствует функции

Непрерывные линейные функционалы в пространстве D, не представимые в интегральном виде с локально •суммируемой функцией f(x), называют сингулярными обобщенными функци­ ями. Примером сингулярной обобщенной функции является уже упоминавшаяся б-функция. Соответствующий функционал за­ дается равенством

(б, <р) = ф(0).

Заметим, что это равенство определяет функционал не толь­

странство, состоящее из финитных функций^ имеющих непрерыв­ ные производные до k-ro порядка включительно. Последователь­

мерно сходится к нулю и существует шар, вне которого все функции фт (я) равны нулю. Назовем обобщенную функцию F функцией k-го порядка, если функционал (Z7, ф) можно продол­ жить до непрерывного функционала в пространстве Z)(4 Для этого необходимо и достаточно выполнение следующего усло­ вия: если последовательность функций {фт(х)} из D сходится к

нулю в топологии пространства D{k\ то lim (F, Фт ) = 0. т->оо

Таким образом, б-функция является обобщенной функцией нулевого порядка. Любая обобщенная функция F нулевого по­ рядка задается некоторой мерой р в /?„, имеющей конечную вариацию в каждом шаре Qn:

(F, ф )= J* ф (х) d\i (х).

Интеграл понимается здесь в смысле Стилтьеса. В частности, мера р может быть любой положительной мерой, такой, что р-мера любого шара конечна. Единичная мера, сосредоточенная в точке х = 0, соответствует б-функции.

Сингулярные обобщенные функции часто обозначают тем же символом F(x), что и обычные функции, и пишут

(F , ф )= J F{x)(f>{x)dx.

Следует иметь в виду, что обобщенные функции, вообще го­ воря, не имеют значения в отдельных точках.

Л и т е р а т у р а : [12], [67], [68].

3. Другие теории обобщенных функций. Наряду с описанной выше трактовкой обобщенных функций как линейных функцио­ налов в D, встречаются иные подходы к этому понятию. После­ довательность непрерывных функций (фт(*)}, определенных в фиксированном открытом множестве Q из Rn, называют фун­ даментальной, если для любого компактного подмножества К в Q существуют целое число k ^ 0 и последовательность непре­ рывных функций {Fm{x)}, определенных на К, такие, что

валентна нулю. Две фундаментальные последовательности {фш(х)} и (фт(*)} относят к одному классу, если их разность эквивалентна нулю. Такие классы последовательностей назы­ вают обобщенными функциями. Если число k можно выбирать независимо от выбора подмножества К, получаются обобщен­ ные функции конечного порядка.

При указанном подходе действия над обобщенными функ­ циями сводятся к действиям над обычными функциями.

Ли т е р а т у р а : [40], [41].

4.Действия над обобщенными функциями. Сумма обобщен­ ных функций определяется равенством

М\ +Л> Ф) = ф) “f" (f2> ф)>

а йроизведение обобщенной функции на комплексное число а — равенством

(af, ф) = а (А ф).

Если обобщенные функции регулярны, то эти определения совпадают с обычными определениями суммы функций.« про­ изведения функции на число.

Вообще, при определении действий над обобщенными функ­ циями требуют, чтобы для регулярных обобщенных функций