книги / Функциональный анализ
..pdf§ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
401 |
тшцы (число k определяется оператором Л); при этом каждая такая точка спектра является простым полюсом резольвенты Rh.
Л и т е р а т у р а : [33], [268], [270], [271], [278], [279].
4. Позитивные собственные числа. Собственное число Яо Ф
ф 0 положительного оператора А называется позитивным, если •ему соответствует хотя бы один собственный элемент е0 из ко нуса К. Этот элемент называется положительным собственным элементом оператора А. Позитивное собственное число очевидно положительно.
Позитивное собственное число обладает важным свойством:
если оператор А является щ-положителъным и ^-ограниченным в пространстве £, то позитивное собственное число простое и больше абсолютных величин остальных собственных чисел.
Это утверждение, вообще говоря, теряет силу, если опустить условие ^-положительности оператора Л, даже в случае нераз ложимого оператора. Если элемент и0 сам является собственным элементом оператора Л, то вместо Ho-положительности доста точно требовать ^-ограниченности Л в пространстве £.
Пусть Л — линейный положительный |
оператор, г(А) > 0 и |
спектр оператора Л на окружности |Я| = |
г (А) состоит из конеч |
ного числа полюсов конечной кратности. Пусть замыкание 9 (К) линейной оболочки 9 {К) конуса есть все пространство Е. Тогда число г(Л) является позитивным собственным значением как оператора Л, так и оператора А'. В частности, если линейный положительный вполне непрерывный оператор А имеет собствен
ные числа, отличные от нуля и 9{К) = Е, то г(Л) является по зитивным собственным значением как оператора А, так и опе ратора А'.
Аналогично, если линейный положительный оператор Л пре образует каждое ограниченное по норме множество элементов конуса К в компактное множество и имеет положительный ча стичный спектральный радиус р(Л), то р(Л) — позитивное соб ственное значение оператора Л (при этом не обязательно, чтобы
выполнялось соотношение 9(К) = Е).
Практически удобно пользоваться следующим утверждением: пусть для линейного положительного вполне непрерывного опе
ратора Л существует такой элемент и, что u = v — w (vy w ^ |
К, |
||||
v Ф 0) |
и Ари^>аи |
(а > 0) при |
некотором |
натуральном |
р\ |
тогда |
оператор Л имеет |
позитивное |
собственное |
число Яо, при- |
|
чем |
р _ |
|
|
|
|
У а . |
|
|
|
|
|
Если конус К — нормальный, миниэдральный и воспроизводя щий, Л —линейный неразложимый оператор и число г(А) — по зитивное собственное значение операторов Л, Л7, то собственное
402 |
ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ |
|
значение |
г (А) просто. |
В случае рефлексивного пространства |
Е г(А) является также |
простым собственным значением опера |
|
тора А'. |
|
|
Предыдущие результаты получают дальнейшее развитие, если оператор А является ^-положительным.
Пусть линейный вполне непрерывный щ-ограниченный в про странстве Е оператор А щ-положителен. Тогда:
1) |
оператор А |
имеет в К один и только один (нормирован |
|
ный) |
собственный вектор х0: |
|
|
|
Ахо = KQXQ |
(AQ> 0, O,UQ^ |
ри0; а, р > 0); |
2) |
сопряженный оператор А' имеет в К' один и только один |
||
нормированный собственный элемент ф: |
|
||
|
|
Л'ф = Авф, |
|
при этом ф — строго положительный функционал\ |
|||
3) |
соответствующее этим элементам собственное значение Аа |
||
является простым и превосходит модуль всякого другого соб ственного числа оператора А.
Обратно, если вполне непрерывный и0-ограниченный в про странстве Е оператор A (AKczK) обладает свойствами 1), 2), 3), то он uo-положителен относительно К.
Условия сформулированого утверждения выполнены, если ко нус К телесен, а оператор А вполне непрерывен и сильно поло жителен. Предположение о полной непрерывности оператора А можно заменить условием: спектр оператора А на окружности |А| = г (А) состоит из конечного числа йолюсов конечной крат ности.
Теоремы существования позитивных собственных чисел мо жно проиллюстрировать на интегральном уравнении Фредгольма
ь
J K(t, s)<p(s) ds = k<f>(t)
а
с неотрицательным непрерывным в квадрате а |
/, s |
b ядром |
|
K (t, s). Если существует такая система |
точек |
sit $2, . |
sp из |
(а, b), что |
|
|
|
К (Si, s2)Ki.s2, s3) ... к (Sp, |
s,) > |
0, |
|
то уравнение имеет положительное собственное число, не мень шее модуля всякого другого его собственного числа. Этому числу Ао отвечает по крайней мере одно неотрицательное решение (соб ственная функция) интегрального уравнения.
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
403 |
Если для всякой непрерывной неотрицательной функции q>{s),
не равной тождественно нулю, найдется такая итерация KN O, S)9 что
JьKN(ty s ) y ( s ) d s > 0
а
то уравнение Фредгольма имеет единственную положительную собственную функцию. Транспонированное уравнение
ь
J К {s, t) ф (s) ds = Аф (t)
а
имеет едйнственное положительное решение, отвечающее тому же положительному собственному числу КоСобственное число Хо больше модулей остальных собственных чисел интегрального
уравнения.
Пусть теперь в интегральном уравнении Фредгольма ядро K(t, s) — неотрицательная измеримая в квадрате а ^ t, $ ^ b функция, удовлетворяющая условию
Jь |
ьJK2(t, s )dt ds < oo. |
|
a |
a |
|
Если неравенство |
|
|
K(s{, S2)К (^2> ^з) |
••• К (^p> *^l) ^ ^ |
|
выполняется при некотором p ^ |
2 на множестве точек положи |
|
тельной меры в соответствующем р-мерном кубе, то в этом слу чае интегральное уравнение имеет по крайней мере одно соб ственное число, причем среди наибольших по модулю собствен ных чисел имеется положительное. Последнему отвечает по край ней мере одна неотрицательная собственная функция из L2.
Если при этом для каждого е > 0 найдется такое натураль ное N — N(e)%что итерация KN (S, t) обращается в нуль на мно жестве точек меры не больше е, то интегральное уравнение имеет в Ц единственную неотрицательную собственную функ цию. Отвечающее ей собственное значение больше модулей остальных собственных значений ядра K{t, s).
Л и т е р а т у р а : [33], [253], [254], [268], [271].
5. Положительные операторы на миниэдральном конусе. Пусть К — миниэдральный конус, А — линейный положительный вполне непрерывный оператор, имеющий в конусе К собствен ный вектор v : Av = v. Пусть оператор А ^-ограничен в про
странстве £, Ev = £, где Ev состоит из всех х е Е, на которых определена у-норма.
404 ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ
Тогда собственные числа оператора Л, равные по модулю» единице, являются корнями целой степени из единицы. Множе
ства |
неподвижных векторов операторов |
Л и Л' имеют базисы |
||||||
Vi, V2t ..., vr |
и, |
соответственно, |
фь ф2, ...» |
фг, обладающие |
||||
свойствами: |
vu |
v2, • ••> vr и |
ф2>--•» |
Фг |
биортогональны: |
|||
1) системы |
||||||||
^i(^/)===®// |
/ == ^ |
г), |
|
1, 2, |
... , |
г) |
||
2) |
для всякой |
пары |
i Ф j (/, / = |
|||||
|
|
|
|
inffo*, Ф/) = |
0; |
|
|
|
3) |
линейные комбинации |
|
и |
|
являются неотри- |
|||
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
дательными в том и только том случае, когда все коэффициенты C i неотрицательны.
В линейном многообразии М\ всех собственных и присоеди ненных элементов оператора Л, отвечающих всем собственным числам, равным по модулю единице, можно выбрать базис, так же обладающий свойством 3). Оператор Л допускает разложе
ние А = |
Ui + Ль где оператор Ui отображает все пространство |
£ на Mi |
и элементы базиса переводит друг в друга, оператор |
Ai имеет спектральный радиус меньше единицы.
Предположение ^-ограниченности оператора Л и равенство
Ev = Е, очевидно, выполнены, если конус К телесен и v — внут ренний элемент К.
В конечномерном случае приведенные утверждения примени мы к так называемым стохастическим матрицам, т. е. к матрицам
с неотрицательными элементами, |
удовлетворяющими условиям |
|||
п |
|
(г = |
1, 2, |
... , п). |
2 аш — 1 |
|
|||
ft=l |
|
|
|
|
Для интегрального уравнения |
|
|
||
ъ |
, |
5) ф(5) ds — /Цр( |
|
|
J К (t |
t) |
|||
а |
|
|
|
|
с непрерывным неотрицательным ядром, удовлетворяющим усло |
|
вию |
|
ъ |
|
J K{t, s ) d s ^ \ |
(а < t < b), |
а |
|
получаются следующие утверждения:
а) Все собственные числа, по модулю равные единице, суть натуральные корни из единицы.
б) Множество собственных функций, отвечающих значению Я = 1, имеет базис, состоящий^ из неотрицательных функций
|
§ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
405- |
||||||
<pi(s), |
ф2($), •••> |
фг(«) и |
обладающий |
следующими |
свойст |
|||
вами: |
Для каждой функции фДз) (/ = |
1, |
2, . . . , г) существует |
|||||
Г. |
||||||||
в (а, Ъ) по крайней мере одна точка, в которой данная функция |
||||||||
положительна, а остальные функции базиса равны нулю. |
||||||||
2°. Для каждой точки из интервала |
(а, Ь) найдется по край |
|||||||
ней мере одна функция базиса, положительная в этой точке. |
||||||||
в) |
Множество собственных функций транспонированного ура |
|||||||
внения, отвечающих значению %= 1, имеет базис, состоящий из |
||||||||
неотрицательных функций tjH(s), фг(5), ...» фг($), биортогональ- |
||||||||
ный с базисом Ф1(5),ф2(5), |
. |
фг($) |
и обладающий тем свой |
|||||
ством, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
^(5)ф /(5)зз0 |
(а < 5 |
< 6 , |
/ ф |
/; |
/, |
у = 1 , 2, |
г). |
|
Пусть теперь неотрицательное и измеримое в квадрате а ^ 5 ^ 6 ядро K{t, s) обладает следующими свойствами:
1)функция K{ty s) ограничена почти всюду;
2)для некоторой почти всюду положительной функции ф(^):.
ъ
J K(t, s)q(s)ds = (p(t),
а
и для некоторого постоянного L > 0
ъ
J K(t, s)ds<L(p(0-
а
Тогда имеют место свойства а), в) предыдущего утвержде ния и более слабое, чем б), свойство:
6i) |
Множество собственных функций, отвечающих значению |
|
А = 1, |
имеет |
базис, состоящий из неотрицательных функций |
Ti(s), Фг(5), . . . |
, Фr(s). |
|
Ли т е р а т у р а : [255], [259].
6.Оценка спектрального радиуса линейного положительного оператора. В п. 2 уже отмечалось, что для линейного положи
тельного оператора А |
из |
справедливости для некоторого пг и |
||||
х0 G £ , |
Хо— и — v |
(и, |
v ^ |
/С, |
и Ф 0) |
соотношения АтХо >> ах0 |
(а > 0) |
вытекает |
следующая |
оценка |
снизу спектрального ра- |
||
диуса |
|
т __ |
В |
отличие |
от оценки спектрального |
|
г (А): г [ А ) ^ У а . |
||||||
радиуса ^низу, соотношение Л ^ ^ р ^ о |
{и0^ К , и0Ф 0) не обе |
|||||
спечивает (без дополнительных условий) оценку спектрального' радиуса г (А) сверху.
Для того чтобы из неравенства А'пи0^ Рн0,
406 |
ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ |
где т — некоторое натуральноечисло, ио — фиксированный не нулевой элемент К,, следовало неравенство
тп__
г ( Л ) < / р ,
достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:
1)конус К телесен и нормален, ио— внутренний элемент;
2)конус К нормален, оператор А и0-ограничен сверху в про странстве Е;
3)конус К нормален и воспроизводящий, оператор А
ио-ограничен сверху, и0— квазивнутренний |
элемент К; |
|А| = |
4) спектр оператора А на спектральной окружности |
||
= г (А) состоит из конечного числа полюсов конечной кратности, |
||
Но — квазивнутренний элемент /С. |
Лти0< ри 0, |
причем |
Если А — неразложимый оператор и |
||
Агпи0Ф $и0, то при выполнении одного из условий 1)—4) |
имеет |
||
место строгое неравенство г (А) < |
m |
|
|
. |
|
||
В качестве примера можно рассмотреть интегральный опе |
|||
ратор |
|
|
|
Ах (t)= J К [U |
s) х (s) ds, |
|
|
Q |
|
|
|
(Q — ограниченное замкнутое |
множество конечномерного |
про |
|
странства) с неотрицательным |
ядром. Пусть оператор А дей |
||
ствует и вполне непрерывен в одном из пространств Lp { 1 ^ р < < оо). Пусть для некоторой почти всюду положительной функ ции vo(t) <=LP(Q) выполняется почти при всех < е Й неравен ство
J К (t, s) i>0 (s) ds < рг»о (0-
а
Тогда г(А) ^ р. Если при этом ядро K(t, s) порождает нераз ложимый интегральный оператор в пространстве Ьр и почти при всех t из некоторого измеримого подмножества в с Й, m esw>0,
J К (t, s) v0 (s) ds < Po0 (t), Q
TO r(A) < p.
'Пусть конус К нормален, оператор А «0 — ограничен сверху,
Auo<;buo. Пусть р„ — наименьшее из всех чисел р, для которых |
||
|
|
П_ |
выполняются |
неравенства |
Л"«0<рыо. Тогда lim Y$n — г (Л), |
причем для |
всех п = 1, |
Я->оо |
2, ... имеют место неравенства |
||
п___
г{А) ^ Y$n • Если при этом оператор А является также Ыо-огра-
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
407 |
ниченным |
снизу |
и |
имеет в К собственный |
вектор, Лао5>ш/о, |
||
а |
ап — наибольшее |
из |
чисел ос, для которых А пщ^> аао, то |
|||
|
п ___ |
|
причем |
п ___ |
2, ...). |
|
Нш У а„ = г(Л ), |
У ап <>(Л ) (п = I, |
|||||
П |
> о о |
__ |
|
|
|
|
|
Пусть Q(A) — множество таких чисел А, для которых хотя бы |
|||||
при одном х ^ К, х Ф 0, для линейного положительного опера тора А выполняется неравенство
Л х > Ах
и
А (Л) = sup {А: А<=£2(Л)}.
Аналогично, пусть Q(A) — множество таких чисел Я, для ко
торых хотя бы при одном х е Ку х Ф 0, выполняется неравен ство
Ах <^Хх
и
Я (А) = inf {Я: Ac=Q (А)}.
Соответствующим образом определяются числа Я (Л*), Я (Л*)* Пусть конус К телесен. Тогда
Я(Л)^А(Л*), Я(Л*)>А(Л).
Если при этом оператор неразложим, то
Я(Л) = Я(Л*), |
Я (Л*) = А (Л). |
Пусть конус К содержит квазивнутренние элементы, а спектр оператора Л на окружности |А| = г(А) состоит из конечногочисла полюсов конечной кратности. Тогда
г (Л) = Я (Л) > Я (Л), г (Л) = А (Л*) > Я (Л*).
Если к тому же оператор Л неразложим, то
г (А) = Я (Л) = Я (Л) = Я (Л*) = Я (Л*).
В случае, когда конус К нормален и миниэдрален, Л — ^-по ложительный оператор, такой, что для всех достаточно малых е > 0 отрезок [г(А) — е, г(А)] содержит по крайней мере одну регулярную точку оператора Л, справедливо соотношение
408 |
ГЛ VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ |
Пусть А — неотрицательная неразложимая матрица, р(А) — положительное собственное значение матрицы А. Тогда из ска занного выше вытекает, что
п п
р (А) = шах |
min |
2 аих1У) |
min max |
2 |
ачх1У) |
1’ 1=~~--------= |
l’ ~ |
---------. |
|||
х ^ О |
(у, у)= 1 |
'ЧГ1 |
xi ^ 0 |
VI |
|
(х, х)=\ |
2 а |
(у, у ) = 1 (х, х)=\ |
2л |
|
|
|
|
i= 1 |
|
i= 1 |
|
Вопрос об оценке сверху спектрального радиуса произволь ного оператора может быть сведен к аналогичной задаче для положительного оператора. А именно, имеет место следующее утверждение: пусть линейный оператор В и линейный положи тельный оператор А связаны соотношением
А.
Пусть конус К — нормальный и воспроизводящий. Тогда г(В)<г(А ).
При оценке сверху спектрального радиуса линейного опера тора является полезным утверждение: пусть Ef Ei — банаховы пространства, причем £ 4 полуупорядочено конусом Ки ф(А) — отображение пространства линейных операторов, действующих в £, в пространство линейных операторов, действующих в Е4. Пусть выполнены следующие условия:
Г Ф(А)>9;
2° ф(М) = |1|ф(А) |
для всех комплексных |
t\ |
|||
3° Ф(Ап+ Ат) Ф{Ап) + Ф(Ат) |
(п, m — lj |
2, ...); |
|||
/4° |
ф (Ля) < фя(Л) |
( п = 1, |
2, ...); |
|
|
5° |
из ||<р (Л„) ||—►0 |
следует, |
что |
||Л„Ц->0. |
|
Тогда
г( Л ) < г [ф (А)}.
Вкачестве применения последнего утверждения можно рас смотреть задачу оценки сверху спектрального радиуса линейного интегрального оператора
|
|
Ах (t) = |
|
[ К (t, s) х (s) ds |
||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
с непрерывным |
в |
квадрате |
0 ^ 1 , |
s ^ l |
ядром К. (t, s). Пусть |
|||
|
0 = |
/0< * 1 < |
••• < /„-1 < |
/» = 1 |
||||
— произвольное |
разбиение |
сегмента |
[0, |
1] и |
||||
ф |
(Л ) = |
(М |
<й) |
k = |
l, |
2 |
.(t, . п), |
|
410ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ
8.Сравнение спектральных радиусов и собственных значе ний положительных операторов. Пусть конус К нормален и вос производящий, Л, В — линейные положительные операторы, дей
ствующие в Е, причем Л |
В (т. е. |
Ах Вх |
для всех х е К) . |
Тогда г (А) ^ г (В). Если |
к тому же |
конус К |
содержит квази- |
внутренние элементы, а операторы А и В неразложимы и вполне непрерывны, причем А Ф В, то г (Л) < г (В).
В частности, если В — неотрицательная неразложимая матри ца и Л (Л Ф В) — неотрицательная матрица, элементы которой не превосходят соответствующих элементов матрицы В, то наи большее по модулю неотрицательное собственное значение мат рицы Л меньше наибольшего положительного собственного зна чения матрицы В. _
Будем писать х у, если у — х ё= /С Пусть линейный оператор Л неразложим и удовлетворяет од
ному из двух условий: |
|
|
1. Л вполне непрерывен, 3?{К) = Е; |
К — воспроизводящий и |
|
2. А Wo-ограничен сверху, конус |
||
нормальный. |
|
/С, w0 Ф 0 выполнено со |
Пусть для некоторого элемента w0е |
||
отношение |
(А0 > 0). |
|
Aw0> X0w0 |
||
Тогда для каждого ненулевого х е |
/( ы каждого А: 0 ^ А < |
|
< Ао |
|
|
Ах < |
Ах. |
|
Если конус К обладает свойством нормальности и миниэдралъ- ности, то из неравенства
AXQ А0х0 (XQси /С XQ-у—0)
следует, что Хо = для некоторого постоянного с > 0 w Лх0=АоХ0.
Пусть положительный оператор А щ-ограничен снизу, причем Аи0 A0w0.
Тогда для любого ненулевого х е /С яри А < А0
Лх < Ах,
a W3
Лх < AQX ( х е /С)
следует, что
х — &WQ, Ли0 —AQWQ.
Сформулированные здесь теоремы можно применить к срав нению собственных значений двух операторов.