книги / Функциональный анализ

х ^ К, оператор At ^-ограничен снизу, причем AiUo%KoUo. Тогда каждое позитивное собственное значение К2 оператора А2 не меньше Ко. В частности, если оператор Ai и0-положителен, то вся­

Ai и А2— положительные операторы. Пусть операторы Ai и А Wo-положительны. Тогда имеет место неравенство

/-[(/ — Л , Г Ч ] < г 04).

Последнее неравенство показывает, что приближения

%п+\ == А \ Х п + \ -f- A^Xfi f (п = 0, 1, . . .)

сходятся к решению уравнения х = Ах + / быстрее, чем после­ довательные приближения yn+i = Ауп + f.

Это неравенство также имеет место, если оператор А нераз­ ложим, операторы А, (/ — А {)-’1А2 вполне непрерывны и A {u>Q для каждого квазивнутреннего элемента и конуса К.

Ли т е р а т у р а : [33], [275].

9.Неоднородное линейное уравнение. Пусть А — линейный

положительный оператор. Тогда неоднородное уравнение

нение не имеет решений в конусе. Аналогичное утверждение имеет место уже при г {А) ^ 1, если оператор А вполне непре­

AiX ESS Ах + / оставляет инвариантным конусный отрезок (wo, v0). Отсюда, в частности, вытекает, что единственное решение х* не­ однородного уравнения принадлежит (wo, t/о). Элементы Wo, v0 называются приближениями к х* соответственно по недостатку и по избытку. Исходя из инвариантного относительно преобразова­ ния А{х = Ах + f конусного отрезка, можно образовать новый более узкий инвариантный конусный отрезок {ut, Vi) с (w0, v0).

также инвариантен относительно оператора Аи т. е. для решения х* имеют место оценки и0< их< и\ < х* < v] < vx< v0. Исходя

из отрезка (и\, р*), можно получить аналогичным образом но­ вый инвариантный конусный отрезок (и*, v*2) и т. д.

Возникает задача о построении исходного инвариантного от­ носительно оператора А\ отрезка (н0, VQ). Пусть х0— произволь­ ный элемент из Е. Положим Х\ — Ах0+ /, = ATI — хо. Если для некоторых элементов v, w > 0 выполняются соотношения

быть получено методом последовательных приближений. После­ довательные приближения

ип+1 = Вхип — B2vn + f, vn+l — Bxvn — B2un + f

монотонно сходятся к решению х* соответственно «по недо­ статку» и «по избытку», т. е.

«п < «п+1 < ** < Vn+l < Vn (« = 0, 1, ...)•

ществует оператор Л"1, определенный на Е2 и действующий в Ей такой, что Л_1/С2 Ki.

Пусть конус К\ содержит квазивнутренние элементы, а опера­

причем оператор А положительно обратим. Пусть для некоторых квазивнутренних элементов а0, V\ е К\ и некоторого а > 0 вы­ полняется неравенство

Bv0^> аAvi.

Тогда оператор В положительно обратим, если выполнено одно

Можно привести и признаки обратимости «большего» опера­ тора Л, в предположении, что «меньший» оператор В положи­ тельно обратим. Пусть для некоторого элемента и0е Ki (но=И=0) и некоторого е > 0 выполняется неравенство

Ниже приводится еще одно утверждение о существовании положительного обратного оператора.

Пусть конус Ki — воспроизводящий и нормальный, а линей­ ные операторы А, В, С удовлетворяют соотношению

Сх<^.Вх<^Ах

причем операторы Л, С положительно обратимы, а оператор Л"1 (Л — С) вполне непрерывен. Тогда оператор В положительно обратим.

Для уравнения Ах = f с положительно обратимым операто­ ром сравнительно просто могут быть указаны приближения к ре­ шению х* по недостатку и по избытку и оценена близость этих приближений к решению. Этим, в основном, определяется та роль, которую играют положительно обратимые оператор^ в чи­ сленных методах.

Пусть найдены такие элементы и, v, w е £*, что

внутренний элемент конуса Kt.

Л и т е р а т у р а : [264].

11. Инвариантные функционалы и собственные векторы со~ пряженных операторов. Линейный непрерывный функционал f(x) называется инвариантным относительно ограниченного опе­ ратора Л, если

f(x) = f(Ax).

Иначе говоря, инвариантный функционал есть неподвижный вектор для сопряженного оператора:

. Весьма важным является утверждение: если совокупность ограниченных положительных коммутирующих друг с другом операторов {Ah} имеет общий неподвижный элемент внутри те­ лесного конуса К, то существует положительный функционал

F(x), инвариантный относительно всех операторов Лд.

П р и м е р . Пусть G—коммутативная группа, Е — простран­ ство ограниченных на G функций x(g)f операторы Ah ( AeG)

ных функций из Е, остающимся неподвижным при преобразо­ ваниях Ан. Поэтому существует инвариантный функционал

F{x{g + h)) = F{x(g)) (A eG ).

Более общим, чем теорема о существовании инвариантного функционала, является утверждение: для всякой совокупности {Ah} коммутирующих друг с другом ограниченных линейных

ляющийся общим собственным вектором всех сопряженных one- раторов:

тренность К в свою часть, можно ослабить, заменив его ус­ ловием положительности операторов Ah. Однако при этом нельзя, вообще говоря, гарантировать выполнимость неравенства

Xh>0.

Л и т е р а т у р а : [268J.

12. Сходимость последовательности положительных опера­ торов. Пусть £ 0—подпространство банахова пространства Е с конусом К, F(Eo, К) — совокупность нормированных функциона­ лов из К\ отвечающих точкам гладкости конуса К, лежащим в Е0 (см. § 2, п. 5).

Функционал

является полунормой.

Если IMI* является нормой, то Е0 называется насыщенным пространством или подпространством, насыщенным точками гладкости.

Насыщенное подпространство называется равномерно насы­ щенным или равномерно насыщенным точками гладкости, если норма || • II* эквивалентна основной норме пространства.

Для телесных конусов в конечномерных пространствах поня­ тия насыщенного и равномерно насыщенного подпространства совпадают. Аналогичная ситуация имеет место и для простран­ ства С непрерывных на компакте Q функций с конусом К не­ отрицательных функций. В общем случае из насыщенности под­ пространства не вытекает его равномерная насыщенность.

Равномерно насыщенное подпространство Е0 называется вполне насыщенным, если F(E0, К) содержит такое подмноже^ ство F0(Eo> К) (возможно совпадение Fo(E0t К) = F(E0, К)), что:

Тогда последовательность Ап сильно сходится к единичному

При переходе к нетелесным конусам возникает дополнитель­ ное предположение об ограниченности норм операторов Ап.

В связи с приведенными утверждениями приобретает инте­ рес описание насыщенных и вполне насыщенных подпространств и, особенно, конечномерных подпространств. В этом направле­ нии достаточно полный анализ проведен для пространства С(£2) непрерывных функций на компакте £2 с конусом К неотрица­ тельных функций. Для того чтобы в С(£2) существовали k-мер- ные вполне насыщенные подпространства, необходимо и до­ статочно, чтобы компакт £2 можно было гомеоморфно вложить в (k — 2) -мерную сферу.

Пусть Е — вещественное банахово пространство с телесным конусом /С, Р — аддитивный однородный оператор, действующий из Е в линейное топологическое пространство X, со счетной ба­ зой окрестностей нуля. Пусть ЗГ— система множеств нормиро­ ванных положительных линейных функционалов, отвечающих точкам гладкости /С, обладающая тем свойством, что пересече­ ние любой последовательности множеств из !F содержит мно­ жество из ЗГ .

Пусть выполнены условия:

1) Если Рхп —>0 (хп е £ ) , то найдется такая подпоследова­

при всех f из некоторого F ^ЗГ . Тогда Рхп -+Рх*. Имеет место следующее важное утверждение.

Пусть Ео — сепарабельное подпространство £, содержащее внутренний элемент Хо конуса К. Пусть множество &~(Ео) нор­ мированных линейных положительных функционалов, отвечаю­ щих точкам гладкости, лежащим в Ео, содержит некоторое мно­ жество F ^S T . Тогда для каждой последовательности положи­ тельных линейных операторов Ап из Апх->Рх ( х ^ Е 0) выте­ кает соотношение Апу-+Ру для всех у & Е .

Из этого утверждения вытекает следствие: в пространстве С(£2) непрерывных на конечномерном компакте £2 функций су­ ществует такой конечный набор функций, что из сходимости значений на них последовательности линейных положительных операторов к ним самим {по мере, или почти всюду, или по норме некоторого пространства Лебега, или равномерно на неко­ тором замкнутом подмножестве) вытекает сходимость значений

операторов на любой непрерывной функции к ней самой (в со­ ответствующем смысле) .

Ли т е р а т у р а : [263], [265], [277].

§4. Нелинейные операторы

1.Основные понятия. Положительность и монотонность для нелинейных операторов определяются так же, как и для линей­

ных операторов. Оператор А положителен, если А К а К , и мо­ нотонен, если из х<^у следует А х ^ А у . В отличие от линейных операторов в рассматриваемом случае монотонность не следует из положительности.

Оператор A cuAbnq дифференцируем по конусу К в точке х0,

если для всех h ^ K

А (х0+ К) — Ахо = А' (лг0) А + со (х0, /г),

где А' (х0) — линейный оператор, а

Линейный оператор А'(хо) называется сильной производной по конусу оператора А в точке Хо.

Сильная производная А'(хо) по конусу К от вполне непре­ рывного оператора преобразует каждое ограниченное множе­ ство элементов в компактное, а сильная производная по воспро­ изводящему конусу К от вполне непрерывного оператора яв­ ляется вполне непрерывным оператором.

Важную роль при исследовании нелинейных операторов на­ ряду с производной по конусу играет производная на бесконеч­ ности. Оператор А называется сильно дифференцируемым на бесконечности по конусу К, если существует такой линейный не­ прерывный оператор Л'(оо), для которого

водной па конусу К.

Ли т е р а т у р а : [33].

2. Существование положительных решений. Рассматривается уравнение

х= Ах

сположительным оператором Л. Решения этого уравнения бу­ дут неподвижными элементами оператора Л.

существования в конусе К по крайней мере одной неподвижной точки достаточно, чтобы выполнялось одно из условий:

а) оператор А вполне непрерывен, б) оператор А —монотонный и конус К вполне правилен,

в) пространство Е рефлексивно, оператор А слабо непре­ рывен.

Для вполне непрерывного оператора условие существования

Ли т е р а т у р а : [33].

3. Существование ненулевого положительного решения. В тех случаях, когда А0 = 0, нередко возникает вопрос о существова­ нии в конусе вторых (отличных от 0) неподвижных точек у по­ ложительного оператора А.

Говорят, что положительный оператор А (А0 = 0) является сжатием конуса на участке от г до R (0 < г < R), если

Имеет место следующее важное утверждение: если положи­ тельный вполне непрерывный оператор А является оператором сжатия (растяжения) на некотором участке конуса /<, то он имеет на К по крайней мере одну ненулевую неподвижную точку.

Еще одна теорема существования: пусть оператор А (Л0 = = 0) монотонен и вполне непрерывен на конусе К и для неко­ торого элемента и* щ. /С, v* Ф 0

Пусть для каждого х е К

Ах > || Ах И• v*

и для некоторого г > 0

Л х > х (x e /f , IM K ^, хФО).

Тогда оператор А имеет по крайней мере одну неподвижную точку х* е /С, х* ф 0, х* > ||**||V*.

Л и т е р а т у р а : [33], [266].

4. Н еп р ер ы в н ая ветвь п о л о ж и тел ьн ы х собствен н ы х векторов.

Пусть Г — граница открытого ограниченного множества Q c £ , внутренней точкой которого является 0. Пусть на Г П К опреде­ лен положительный вполне непрерывный оператор А, причем

ственный вектор х0: Ах0 = Яо*о, которому соответствует положи­ тельное собственное значение Х0.

Говорят, что положительные собственные векторы положи­ тельного оператора А образуют непрерывную ветвь длины г, если совокупность 2Я всех собственных векторов, лежащих в ко­ нусе, имеет непустое пересечение с границей Г каждого откры­ того множества, содержащего 0 и содержащегося вместе со своим замыканием в шаре ||х|| < г.

Из приведенного утверждения вытекает, что положительные собственные векторы положительного оператора А образуют не­ прерывную ветвь некоторой длины г, если А вполне непрерывен и удовлетворяет условию AQ — 0.