книги / Функциональный анализ

циях, удовлетворяющих краевым условиям и имеющих ин­ тегрируемые с квадратом первые производные, допускает замыкание до максимального диссипативного оператора. Задача о нахождении решения системы

dv_

д х

i=1 *

удовлетворяющего краевым условиям и начальному условию и(0,х) = (р(х)еД (Л), равномерно корректна в L2(S). Соот­ ветствующая полугруппа будет сжимающей.

Ли т е р а т у р а : [36], [174], [190].

4.Уравнение Шредингера. В трехмерном пространстве /?з рассматривается уравнение

получаемый замыканием* оператора, определенного дифферен­ циальным выражением —Д + а(х) на финитных функциях, будет самосопряженным оператором в гильбертовом простран­ стве L2(RZ)- Прямая и обратная задачи Коши равномерно кор­ ректны на всей оси. Уравнение порождает группу унитарных операторов U(t) = e~iHt (см. гл. IX, § 1).

Ли т е р а т у р а : [36], [173].

5.Уравнение с запаздывающим аргументом. Здесь будет рассмотрен простейший пример такого уравнения

У' (f) — ay(t — 1) (0 < ^ < o o ).

Для нахождения решения этого уравнения при всех t > О необходимо задать функцию у на отрезке [—1,0]. После этого решение находится последовательным интегрированием на от­ резках [п, п + 1].

Пусть функция x0(s) = y(s) непрерывна, т. е. х0е С ( —1,0). Вводятся функция x(t,s) = y(t -f- s), рассматриваемая при каждом t как элемент пространства С(—1, 0), и полугруппа опе­ раторов U(t)x0(s) — x(t, s) = y(t + s).

Полугруппа U(t) сильно непрерывна и удовлетворяет Со- условию. Производящим оператором ее является оператор дифференцирования по s, заданный на всех непрерывно

дифференцируемых на [—1, 0] функциях x(s), удовлетворяющих краевому условию х'(0) = ах(—1). Функция удовлетво­ ряет уравнению

поэтому исходную задачу можно трактовать как задачу о на­ хождении решения этого гиперболического уравнения, удовле­ творяющего на прямых s = — 1 и s == 0 написанному выше нелокальному краевому условию. Эта задача равномерно кор­

§4. Уравнение с переменным оператором

1.Равномерно корректная задача Коши. Эволюционный опе­ ратор. При рассмотрении дифференциального уравнения

мкнут и имеет плотную в Е область определения. Сначала де­ лается упрощающее предположение, что эта область определе­

функции A(t)Xo имеют определенную гладкость, то говорят, что оператор A (t) имеет такую же гладкость на D(A).

Из этих условий вытекает, что оператор-функция A (t)* A~l (s)

x(tt s) уравнения х' = A (t)x на отрезке [s, Г], удовлетворяющего заданному начальному условию

x(s, s) = xQе D(A).

Задача Коши называется равномерно корректной, если:

совокупности переменных в треугольнике Гд; 3) решение непрерывно зависит от начальных данных, т. е.

из сходимости XQ Tl^ D ( A ) к нулю следует равномерная в Гд сходимость к нулю соответствующих решений xn(tts).

Если задача Коши равномерно корректна, то можно ввести

по непрерывности на все пространство Е. Полученный ограни­ ченный оператор U(t, s) называется эволюционным.

Эволюционный оператор равномерно корректной задачи Коши обладает свойствами:

1.Оператор U(tfs) равномерно ограничен и сильно непре­ рывен в треугольнике Гд.

2.Справедливо тождество4

Лит е р а т у р а : [36].

2. Устойчивая аппроксимация эволюционного оператора. Од­ ним из методов исследования уравнения х '(t) = A(t)x яв­ ляется переход от него к некоторой последовательности урав­ нений

W = A^ X

с ограниченными операторами An(t), в определенном смысле приближающейся к исходному уравнению.

Пусть операторы An(t) на D(A) равномерно по / е [0, Г] сильно сходятся к оператору A(t), удовлетворяющему усло­ виям предыдущего пункта. Пусть Un(t,s) —эволюционные опе­

то говорят, что оператор A(t) устойчиво аппроксимируется опе­ раторами An{t).

чиво аппроксимируется операторами An(t), которые при каж­

= A(t)x равномерно корректна, и U((,s) .является отвечающим ей эволюционным оператором.

Имеет место полезное утверждение о повышении гладкости решения. Если, кроме предыдущих условий, выполнено еще

Одним из методов доказательства равномерной корректно­ сти задачи Коши является построение устойчивой аппроксима­

и непрерывно дифференцируем на D(A)y то задача Коши для уравнения х' = А (t)x равномерно корректна.

Ли т е р а т у р а : [36].

3.Ослабленная задача Коши, корректная на D ( A ) . Ослаб­

непрерывно дифференцируемая и удовлетворяющая уравнению

прерывна по совокупности переменных ty s в полуоткрытом треугольнике 4) решение непрерывно зависит

вводится ограниченный эволюционный оператор такой, что при

ние ослабленной задачи Коши, обладающее свойствами 2)—4), перечисленными в определении ослабленной задачи Коши, кор­ ректной на D (А).

Здесь будет описан метод доказательства существования решений ослабленной задачи Коши, основанный на так назы­ ваемом «замораживании» коэффициента. Предполагается, что при каждом t0е [0, Т] задача Коши для уравнения

Щ- = А Ы х

с «замороженным» коэффициентом A(t0) в определенном смыс­ ле корректна. Пусть ей отвечает полугрупповой оператор

ный, приходят к интегральному уравнению, которому должен удовлетворять искомый эволюционный оператор

Если ядра этих интегральных уравнений имеют слабую осо­ бенность (типа 0((t — s)-*) с р < 1), то решения U(t,s) инте­ гральных уравнений существуют, и при определенных усло­ виях удается доказать, что U(t,s) является эволюционным оператором, отвечающим исходной задаче Коши.

На описанном пути получены, например, следующие резуль­ таты.

Пусть оператор A (t) удовлетворяет условиям: 1) при ReX ^ О

где константы М и Р не зависят от t и 0 < р ^ 1 ;

\\A-l(t)[A(s)-A(t)]x0l ^ c \ t - s r \ \ x 0\\.

Если Р>-§- и l)* то ослабленная задача Коши для

уравнения x' = A(t)x корректна на D(A).

Если, кроме того, уравнение с «замороженным» коэффици­ ентом при всяком to является абстрактным параболическим и полугруппа UA(t,){t) ограничена равномерно по /0, то уравне­ ние x'=zA(t)x является абстрактным параболическим. Задача Коши для него равномерно корректна.

В частности, условия последнего утверждения выполнены, если

И * * М ( 0 ) К - п и х р (ReA>0),

где М не зависит от t, и удовлетворяются условия 2) и 3) с ка­ ким-либо р > 0.

Ли т е р а т у р а : [36], [186].

4.Абстрактное параболическое уравнение с оператором, имеющим переменную область определения. Если A ( t ) — диф­

ференциальный оператор, то его область определения состоит из достаточно гладких функций, удовлетворяющих некоторым краевым условиям. Предположенная выше независимость об­ ласти определения D(A(t)) от t означает в приложениях не­ зависимость от t коэффициентов в граничных условиях, по­

298ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

5.Неоднородное уравнение с переменным оператором. Для неоднородного уравнения

*' = л ( о + т

где U(tt T)— эволюционный оператор, отвечающий однородному уравнению х' = A (t)x.

Если задача Коши для однородного уравнения равномерно корректна и оператор А (/) непрерывен на D(A), то всякое ре­ шение неоднородного уравнения представимо в написанном выше виде.

Если, кроме того, оператор A(t) непрерывно дифференци­ руем на D{A) и функция f(t) имеет непрерывную производную,

то разрешающее выражение J U (t, %)f(x)dx дает решение не-

S

однородного уравнения.

Аналогичное утверждение справедливо в случае, когда опре­ делена и непрерывна функция A(t)f(t) (без требования диф­ ференцируемости оператора A(t)).

Формула для решения неоднородного уравнения также об­ основывается и в тех случаях, когда существует эволюционный оператор U(t,s), дающий решение ослабленной задачи Коши. Так, например, в условиях теоремы существования п. 4 разре­ шающее выражение дает ослабленное решение неоднородного уравнения, если функция f(t) удовлетворяет условию Гельдера

спроизвольным показателем у > 0.

Ли т е р а т у р а : [36].

6.Абстрактное параболическое уравнение в семействе под­ пространств. До сих пор дифференциальные уравнения рассмат­ ривались в фиксированном банаховом пространстве. В прило­

жениях, когда оператор А —дифференциальный, это означает, что область изменения пространственных координат не изме­ няется со временем или, иначе, что область изменения (tyx) является цилиндрической. Однако многие дифференциальные уравнения эволюционного типа изучаются и в нецилиндриче­ ских областях. В абстрактней схеме это соответствует тому, что решение x(t) при каждом t принадлежит своему банахову про­ странству E(t). В разработке теории таких уравнений лишь сделаны первые шаги, один из которых описывается ниже.

300ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

5)продолжение резольвенты E^(A(t)) сильно дифференци­ руемо по t и

в секторе | arg Я | ^ я — <р (ф < п/2).

При этих условиях, являющихся прямым обобщением усло­ вий п. 4, удается также построить эволюционный оператор U(t, s) с обычными свойствами и отображающий подпростран­ ство E(s) в подпространство E(t).

Ли т е р а т у р а : [180].

§5. Уравнения второго порядка

1.Уравнение гиперболического типа. Простейшим примером такого уравнения является

Решением уравнения здесь будет называться функция x(t) со значениями в D(B2), дважды непрерывно дифференцируе­ мая, удовлетворяющая уравнению на отрезке [0, Т] и обладаю­ щая тем свойством, что функция Bx'(t) определена и непре­ рывна на [0, Т].

Для гиперболического уравнения ставится задача Коши, т. е. задача о нахождении его решения, удовлетворяющего за­ данным начальным условиям

статочно, чтобы оператор В был производящим оператором сильно непрерывной группы (см. гл. III, § 3, п. 4) операторов