книги / Функциональный анализ
..pdf§ 10. ПРОСТРАНСТВА С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ |
261 |
|||
Пусть {Ял} — произвольный |
набор |
собственных |
чисел оператора |
А —А0 |
в П х и Im Kh ^ 0 (^ 0 ) для |
всех k. |
В случае |
вещественных Я =Ял под |
р(Ял) понимается введенная выше величина, а для невещественных Я полагается Р (К ) — dim 2?к (А). Тогда 2 Р (Ч ) ^ х-
кk
Приведенные результаты остаются верными не только для /-самосопря женных операторов А в П^, но и для любых / -симметрических (или иначе
J-эрмитовых) операторов А в Ик:
D (А) = Пх> |
[Ах, у] = [х, Ау\ |
(х, у е й (Л)). |
Справедливы также аналоги этих предложений для любых однозначно об ратимых /-изометрических и, в том числе, /-унитарных операторов U в Пх (с заменой вещественной оси единичной окружностью).
Наличие у /-унитарных (/-самосопряженных) операторов в UK конечномерных максимальных семидефинитных инва риантных подпространств лежит в основе так называемого ме
тода дефинизации. |
Если |
^(Я) |
есть минимальный |
многочлен |
||
сужения |
UI&K (где |
« 2 |
— инвариантное относительно /-уни |
|||
тарного |
оператора U в Пя неотрицательное к-мерное подпро |
|||||
странство), то |
оператор |
&(U) |
(дефинизирующий |
оператор) |
||
обладает |
тем |
свойством, |
что |
линеал ^ {U )П* семидефинитен |
(неположителен). Это позволяет в ряде случаев сводить реше ние задач в пространстве к известным результатам обыч ной теории.
В частности, метод дефинизации приводит к следующему результату. Для /-самосопряженного оператора А в Пх с чисто вещественным спектром (что не является существенным огра ничением) имеет место аналог обычного спектрального разло жения:
АЕлХ = JЯ dEKx |
(х е Пя). |
д |
|
Здесь (/-самосопряженная) спектральная оператор-функция Ек определена не на всей оси (—оо, оо), а лишь вне конечного числа (^ и ) так называемых критических точек,
~ E min (h, jj,)’ Е х-о = Е к, Е ( °°) — 0, Е ( + °о) = /,
Д —любой интервал (а, р) вещественной оси, не содержащий критических точек, Е д = £(р) —Е ( а). Критические точки спек тральной функции Е% являются собственными значениями су жения оператора А на п-мерное неотрицательное инвариантное подпространство (существующее в силу основной теоремы). Хотя последнее определяется не единственным образом, множе ство критических точек определяется оператором А однозначно.
Если ограниченный оператор А в /-пространстве Н /-неотри цателен, т. е. [Ах, х] ^ 0 для всех х, то спектр А веществен. Для
262 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
таких операторов в любом |
// (не |
только |
в Пх) |
имеет местр |
спектральное разложение |
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ах = Sx + |
J X dEKx |
(х е |
Я), |
|
где Е\ — спектральная функция с |
единственной |
критической |
точкой 0 (интеграл понимается как несобственный), a S — неот рицательный оператор со свойствами:
S2 = 0, SEA = EAS = 0 (ОфЬ), AS = SA.
Спектральные разложения, указанные выше для некоторых классов /-самосопряженных операторов, позволяют построить для этих классов функциональное операторное исчисление.
Другим примером применения спектральных разложений является устанавливаемое с их помощью полярное представле ние ограниченного строгого плюс-оператора А. Так называется
представление А = |
VR, где: 1) R —ограниченный |
/-самосопря |
|||||
женный |
оператор |
с неотрицательным |
спектром |
и такой, что |
|||
R2 — Л°Л, |
a N(R) = N(A°A) |
(N(U)— множество |
нулей опера |
||||
тора U). |
2) |
V —частично /-изометрический оператор, т.е./-изо |
|||||
метрический на некотором проекционно полном |
подпростран |
||||||
стве Н\ а Н |
и равный нулю на |
Яг = я !11. |
|
|
|||
Для того чтобы ограниченный строгий плюс-оператор А |
|||||||
допускал полярное представление А = |
VR, необходимо и доста |
||||||
точно, чтобы выполнялись условия: 1) |
спектр о(А°А) |
неотрица |
|||||
телен; 2) |
подпространство N (А0) проекционно полно. |
При этом |
R определяется единственным образом, а V определяется един ственным образом в том и только том случае, когда выполнено хотя бы одно из условий:
а) N(A) = {0}. б) Я(4*) = {0};
в) подпространство N(A°) равномерно положительно.
В ряде задач возникает необходимость рассмотрения се мейств коммутирующих /-унитарных или ограниченных /-само сопряженных операторов, а также алгебр ограниченных опера торов в /-пространствах. В случае пространства Пх основная теорема об инвариантном подпространстве допускает обобщен ние: любое семейство /-унитарных* (или ограниченных /-само сопряженных) коммутирующих операторов имеет общее для всего семейства инвариантное х-мерное неотрицательное под: пространство.
Л и т е р а т у р а : [22], [161], [162], [163], [166], [167], [168], [169], [171], И72].
3. Примеры. Из многочисленных приложений изложенной теории здесь приводятся два примера.
|
§ 10. ПРОСТРАНСТВА С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ |
263 |
а) |
К а н о н и ч е с к и е системы. Рассматривается |
канони |
ческое дифференциальное уравнение в гильбертовом простран стве:
где / = Р+— Р- — оператор Грама, задающий индефинитную метрику [х, у] = (Jх, у), а гамильтониан H{t) системы — огра ниченный самосопряженный оператор. Пусть для любых х, у функция (H(t)x,y) измерима в каждом конечном интервале и
j \\ Н (t)\\dt < оо для любых tu t2^ 0 .
и
Обобщая подход, развитый ниже в гл. V, § 1, рассматривают слабые решения системы, т. е. вектор-функции x{t)> удовлетво ряющие при любом у соотношению
|
y \ =i(JH(t)x(t), |
у) |
|
|
почти всюду по t. |
|
Я(^ + со) = |
Я(г) |
|
При |
выполнении условия периодичности |
|||
(О ^ t < |
оо) оператор монодромии U(со) |
(см. |
гл. V, §' 1, |
п. 6) |
оказывается /-унитарным оператором и справедлив следующий критерий: для того чтобы все слабые решения x(t) канониче ской системы были ограниченными на полуоси 0<4Я<оо, не обходимо и достаточно, чтобы оператор монодромии Я (со) был устойчивым J-унитарным оператором (критерий устойчивости U
см. в п. 2).
Линейное пространство 36 гамильтонианов Я(/), удовлетво ряющих перечисленным выше условиям, можно нормировать, положив
G)
IIЯ (*)!!*.= J IIЯ (011^. 0
Каноническая система называется устойчивой, если все ее (сла бые) решения ограничены на полуоси 0 ^ t < оо и остаются ограниченными при достаточно малых возмущениях гамильто ниана: \\ff(t)-H(t) IIс* < е .
Для того чтобы каноническая система была устойчивой, не обходимо и достаточно, чтобы ее оператор монодромии 0 ( со) был сильно устойчивым /-унитарным оператором (соответствую
щий критерий см. в п. 2). |
о п е р а т о р н ы е |
пучки. Различ |
|
б) К в а д р а т и ч н ы е |
|||
ные задачи |
математической физики приводят к изучению ква |
||
дратичного |
пучка L ( A ) = |
А2/ + А5 + С, где |
S, С — некоторые |
264 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
замкнутые линейные операторы, действующие в гильбертовом пространстве Н. В большинстве задач В = В* и D(B)czD(C), что и предполагается в дальнейшем.
При А ф 0 оператор L(X) определен на D(B) и совокупность p(L) всех регулярных точек пучка (т. е. точек %Ф 0, для кото рых существует непрерывный обратный оператор L-1(A)) яв ляется открытым множеством. Его дополнение a(L) в комплекс ной плоскости называется спектром пучка L(h). Если С = С*, то o{L) симметричен относительно вещественной оси. Основным для изучения спектральных свойств пучка Ь(Х) оказывается изучение операторного квадратного уравнения
L(Z) = Z2 + BZ + C = 0.
Пусть оператор В = В* ограничен, а С — вполне непрерыв ный неотрицательный оператор. Рассматривается прямая орто гональная сумма И = Н\ 0 # 2 двух экземпляров Н\ и Н2 ис ходного гильбертова пространства Н и соответствующие орто
проекторы Pf Hj = PjU |
( / = 1 , 2). Й можно рассматривать |
||||||||
как /-пространство, где / = |
Р\ — Р2. В И |
задается оператор Л |
|||||||
операторной |
матрицей |
А = |
{Ajk) |
(здесь |
Ajk = PjAPk |
(/, k = |
|||
= |
1, 2), где |
А ц — 0, |
A \2 = C'h —(вполне |
непрерывный) |
неот |
||||
рицательный |
корень из |
С, А2\ =*=— |
и А22 — —В). |
Оператор |
|||||
А |
/-самосопряжен и |
к |
нему применима основная |
теорема |
(см. п. 2) об инвариантном подпространстве М класса 27i+. Это позволяет установить следующее основное для всей теории ква дратичных пучков предложение. Пусть OQ{L) — невещественная часть спектра пучка L(X). При любом разбиении a0(L) на две непересекающиеся симметрично расположенные относительно
вещественной оси части А и А — oo{L) — Л у квадратного урав нения L(Z) = 0 найдется вполне непрерывный корень 2л, об
ладающий следующими свойствами: |
1) ZAZA ^ C |
и 2) не |
|
вещественная часть спектра CT(ZA) совпадает с Л. |
К м С где |
||
Корень Z л |
получается здесь по |
формуле ZA = |
|
Км —угловой |
оператор (см. п. 1) упомянутого выше инвариант |
ного подпространства М е $Ш+.
Ли т е р а т у р а : [22], [166].
ГЛАВА V
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВБАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§I. Линейные уравнения с ограниченным оператором
1.Линейные уравнения 1-го порядка. Задача Коши. Линей
ное дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид
^= A(t)x + f(t),
где f(t) — заданная функция со значениями в банаховом про странстве Е, x = x(t)— искомая функция со значениями в £, A(t) (при каждом фиксированном t)— линейный оператор, дей ствующий в пространстве Е. Производная понимается как пре дел по норме пространства Е разностного отношения
х (/ + Л/) — х(t) |
Л , Л |
—*—L—~ -----— |
при Д/->0. |
В этом параграфе'рассматривается тот случай, когда A(t) является при каждом t ограниченным оператором. При этом условии свойства решений линейного уравнения аналогичны свойствам решений системы линейных дифференциальных урав
нений, которые можно рассматривать как |
линейные |
уравнения |
|
в конечномерном банаховом пространстве. |
|
|
|
Задачей Коши для рассматриваемого уравнения называется |
|||
задача о нахождении решения уравнения |
при 0 ^ t |
< |
оо, удо |
влетворяющего заданному условию х(0) = |
х0. |
|
/(^) = 0. |
Линейное уравнение называется однородным, если |
2. Однородное уравнение с постоянным оператором. Для од нородного уравнения
dt ~ ЛХ
с постоянным ограниченным оператором А решение задачи Коши существует, единственно и может быть записано в виде
х (t) = eAtXq.
266 |
ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
Оператор eAt определяется рядом (гл. III, § 3, п. 4)
eAt = I + tA |
tnAnп\ + |
который сходится по норме операторов. Оценка каждого члена ряда по норме дает неравенство
|| eAt ||<е*
Операторы eAt при различных t (—оо < t < оо) образуют однапараметрическую группу, ограниченных операторов
gAte A% — e A(t +х) e
Оценка нормы оператора eAt, приведенная выше, является грубой, так как она учитывает лишь норму оператора Л и не учитывает расположение его спектра. Более точная оценка со держится в следующем утверждении: если вещественные части всех точек спектра оператора А меньше числа а, то
\ \ е м ||
Обратно, из выполнения этого неравенства следует, что дей ствительные части точек спектра оператора А не превосходят а
(ReX < а). |
для |
ограниченности всех |
решений уравнения |
В частности, |
|||
на полуоси 0 |
t < |
оо необходимо, чтобы |
спектр оператора А |
лежал в замкнутой левой полуплоскости, и достаточно, чтобы он лежал в открытой левой полуплоскости.
Для ограниченности всех решений на всей оси —оо < t < оо необходимо, чтобы спектр оператора А лежал на мнимой оси. Это условие не является достаточным, что можно проверить на примере конечномерного оператора с кратными элеметарными Делителями.
Пусть |
Ко— собственное число |
оператора |
Л, которому |
соот |
||||||
ветствует собственный элемент е0 и |
присоединенные |
элементы |
||||||||
еи е2, |
еш-\ (см. гл. III, |
§ 2, |
п. |
1). Тогда уравнение |
имеет |
|||||
частные решения вида |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Хо(t) = eute0, |
xt (t) = |
еы (e, + |
te0), |
|
*m_, (t) = |
|
|
|||
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
tm~X |
\ |
|
|
|
= eKot\em-i + fem- 2+ |
••• + (m_ i)| eo)• |
||||||
Если |
собственные |
и присоединенные |
элементы |
оператора |
||||||
Л образуют |
базис в пространстве |
Е |
(см. |
гл. I, § 6), |
то любое |
решение может быть представлено в виде ряда из частных ре шений указанного вида. В частности, если собственные векторы
§ 1. УРАВНЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ |
267 |
{еп} оператора А образуют базис в Е, то общее решение урав нения имеет вид
* ( 0 = 2 спек"*еп.
Ли т е р а т у р а : [22], [179], [185].
3. Случай гильбертова пространства. Пусть однородное уравнение с постоянным оператором рассматривается в гиль
бертовом пространстве Н. |
то и оператор etA |
||
Если |
оператор А — самосопряженный, |
||
тоже |
самосопряженный и положительно |
определенный. Если |
|
A = |
iB, |
где В — самосопряженный оператор, то оператор eiBt — |
унитарный.
Для того чтобы все решения однородного уравнения в гиль бертовом пространстве были ограниченными на всей оси, не обходимо и достаточно, чтобы оператор А был подобен опера тору iB, где В — самосопряженный оператор, т. е.
|
A = Q(IB) СГ1, |
где операторы Q и Q-1 ограничены. |
|
Как и в общем |
случае, для ограниченности всех решений |
на полуоси 0 ^ t < |
оо достаточно, чтобы спектр А лежал в от |
крытой левой полуплоскости. |
|
В гильбертовом пространстве можно дать критерий, обоб |
|
щающий известную |
т е о р е м у Л я п у н о в а : для того чтобы |
спектр оператора А лежал в открытой левой полуплоскости, не обходимо и достаточно, чтобы существовал такой ограниченный самосопряженный положительно определенный оператор W, что оператор WA + A*W являлся бы , отрицательно опреде ленным.
Иначе говоря, необходимо и достаточно существование по
ложительно определенной формы |
(Wxt х), |
для которой |
d <~4t |
X) |
(р>0) |
при любом решении x(t) дифференциального уравнения.
Лит е р а т у р а : [22], [179].
4. Уравнение второго порядка. Для уравнения второго по рядка
■§г + * * “ 0
с ограниченным линейным оператором В в банаховом простран стве Е задача Коши состоит в нахождении решения по началь ным данным:
х(0) — х0 и *'(0) —
268 |
ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
|
Решение этой задачи дается формулой |
|
|
|
х (0 = cos t\T B x0 + |
*!, |
где ограниченные операторы cos t Y В и sin t Y В j Y В определены сходящимися по норме операторов рядами
cos t Y В = 1 |
- |
12Г + |
t'B2 |
|
t6B 3 |
, |
|
41 |
|
6! |
+ |
||||
sin t V B |
_ , |
r |
t*B . |
t5B2 |
. |
BB* |
|
" V B |
|
|
3! ' |
5! |
' |
7! |
|
Для того чтобы все решения уравнения второго порядка |
|||||||
были ограниченными |
на |
всей оси_~ -оо |
< |
/ < |
00, необходимо и |
||
^ |
|
|
sin t Y В |
|
|
|
достаточно, чтобы оператор —у = — был равномерно по / огра
ниченным.
В гильбертовом пространстве для ограниченности всех реше ний на оси —оо < / < оо необходимо и достаточно, чтобы опе ратор В был подобен положительно определенному оператору.
Ли т е р а т у р а : [22], [179].
5. Однородное уравнение с переменным оператором. Пусть теперь в уравнении
^ = A ( t ) x
ограниченный в банаховом пространстве Е оператор A(t) непре рывно зависит от /. Решение задачи Коши для этого уравнения существует и единственно. Оно может быть получено методом последовательных приближений, примененным к интегральному
уравнению |
^ |
*(/) = х0+ |
J A(x)x(x)dx. |
|
о |
Окончательно решение можно записать в виде x (t )= U (t)x0,
где оператор U(t) является суммой сходящегося по норме one
раторов ряда |
t |
t |
|(TЛ) |
X |
U (t) = I + |
J А (т)dx + |
|
J A (T,) dxxdx + ... |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
Для ограниченного оператора |
U{t) справедлива грубая |
|||
оценка |
|
|
t max |
|| A (t) || |
|
|
|
U{t) ||< e |
. |
§.1. УРАВНЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ |
269 |
Оператор U(i) можно рассматривать как решение задачи Коши
= A ( t ) U , и ( 0 ) = 1
для дифференциального уравнения в пространстве ограниченных операторов, действующих в Е.
При каждом t существует ограниченный обратный оператор V(t) = t/_1(/). Этот оператор является решением задачи Коши для операторного дифференциального уравнения
- ^ - = - 7 Л ( * ) , |
7 (0 ) = / , |
которое называется сопряженным к предыдущему.
Если рассмотреть для исходного уравнения более общую за дачу Коши, в которой начальное условие задается не в момент времени t = 0, а в любой момент t0.
X (to) = *0, то ее решение можно записать в виде
x(t) = U(t)U- l (t0)x0 = U(t, t0)x0.
Оператор |
U(t, т) = U(t) f/-1 (т) |
называется |
эволюционным |
|||||||
оператором. Он обладает свойствами |
|
|
|
|||||||
|
U(t, |
s)U(s, т) = |
£/(*, |
т) |
и |
U(t, |
t) = I. |
|||
В случае, |
когда |
A(t) |
постоянен: A (t) === Л, эволюционный |
|||||||
оператор |
U (t, |
%) = |
eA(t~'l). |
|
|
|
|
|
||
В дальнейшем в этом параграфе предполагается, что опера |
||||||||||
тор A(t) |
(0 ^ |
t < оо) равномерно |
ограничен: ||Л(/)Н ^ Af. То |
|||||||
гда для |
решений |
исходного уравнения |
справедлива |
оценка |
||||||
|
|
|
|
IU ( 0 II< ^ IU ( 0 ) |
II- |
|
|
|||
Показателем |
экспоненциального |
роста решения |
называется |
|||||||
число |
|
|
|
о — Игл 1п |
!!*(/) II |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
t->ОО |
t |
|
|
|
|
Всегда о ^ М. Точную верхнюю грань чисел о для всех ре шений уравнения называют старшим показателем os. Для него справедлива формула
t->ОО 1
Существенно важной характеристикой уравнения является особый показатель, определяемый формулой
" |
... |
In II U(t, х) II |
270 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Для всякого решения при любом е > 0 справедливо неравен ство
где N e зависит только от е.
Между старшим и особым показателями имеется соотноше
ние Os ^ а*.
Если оператор A(t) постоянен, то старший и особый показа тели совпадают. В общем случае они не совпадают. Например,
для обыкновенного уравнения dx = ( s i n l n / + cosln/)x старший
показатель равен 1, а особый равен ]/2.
Старший и особый показатели не изменяются при сдвиге
аргумента, т. е. при |
переходе к |
d х |
|
уравнению — = A (t + а) х. |
|||
Если в уравнении сделать замену |
искомой функции х = |
Q(t)y, |
|
где оператор Q(t) равномерно ограничен на полуоси 0 ^ |
t < оо, |
||
имеет производную ~ |
и обратный оператор Q_1(^),непрерывные |
и равномерно ограниченные на этой полуоси, то функция у удо влетворяет уравнению
у которого старший и особый показатели такие же, как и у ис ходного уравнения.
Уравнение называется приводимым, если описанной выше за меной оно сводится к уравнению с постоянным оператором. Для приводимого уравнения старший и особый показатели совпа дают.
Величина особого показателя существенно зависит от поведе ния оператор-функции A(t) на бесконечности. Если существует
предел Л00 = 11*шЛ(/) и спектр оператора Л*» лежит в открытой t->ОО
левой полуплоскости, то особый показатель отрицателен.
Если операторы A(t) (0 ^ t < оо) образуют компактное множество в пространстве операторов, спектры всех предельных при t —►оо операторов Лоо *) лежат в полуплоскости ReX,^ —v (v > 0) и существует производная Л'(/), стремящаяся к нулю при t-> оо, то особый показатель также отрицателен. Последнее условие по A'(t) можно ослабить, потребовав, чтобы при доста точно больших t норма ||Л'(/)|| была меньше достаточно малой величины б, согласованной с v. Наконец, вместо существования
*) Оператор А со называется |
предельным для A(t) пру t-+ оо, если су |
ществует последовательность ti |
оо такая, что Пт |Л (//) — Лоо II = 0. |
оо'