книги / Функциональный анализ

С м = л - " « « с < ! н Ш .

где Lm(р ) — полиномы Лагерра. Для собственных функций не­

тельный состоит из конечного числа однократных собственных значений. При / > 0 точка X = 0 также может быть дискретным собственным значением.

При 1 = 0 существует много потенциалов, для которых мож­ но найти собственные функции в явном виде. Примерами яв­

лишь простейшие признаки, сходные со сформулированными выше в одномерном случае. Более подробно оператор Н3 рас­ смотрен ниже в § 3.

значений конечной кратности. Полный набор собственных функ­ ций непрерывного спектра содержит в точности по одной соб­ ственной функции для каждого k = ( k u k 2i k 3). Подробнее об этом см. § 4.

Существует очень мало примеров, когда можно дать явные выражения для собственных функций трехмерного оператора Шредингера. Один пример дает кулоновский потенциал, дру­ гой — так называемый точечный потенциал. Собственные функ­

Сам точечный потенциал является некоторым пределом опера­ торов умножения на функцию, сосредоточенную в окрестности начала координат. Параметр а характеризует способ этого пре­ дельного перехода.

Ли т е р а т у р а : [158], [292], [299].

3.Многоэлектронный атом. Конкретный пример многочастич­

ной системы — это п электронов в поле положительного заряда Z, сосредоточенного в начале координат (ядро атома). В коор­

электронов, причем при перестановке любой пары совокупностей переменных (*, а) функция ф меняет знак. Оператор энергии действует только на координаты электронов и задается диффе­ ренциальным оператором

этих подпространств приводит оператор энергии и может быть реализовано как пространство функций, зависящих только от координат, удовлетворяющих некоторым условиям симметрии. Эти условия, вообще говоря, менее тривиальны, чем просто пол­ ная симметрия или антисимметрия. Возможные типы симметрии находятся в однозначном соответствии с некоторыми представ­ лениями симметричной группы Sn (группы перестановок п эле­ ментов) и описываются достаточно сложно.

В случае системы двух электронов имеются два возмож­ ных значения для полного спина системы и, соответственно, два

Полное пространство состояний ф разлагается в прямую сумму, в которую фо входит один раз, a — три раза.

Дискретные собственные значения оператора энергии соот­ ветствуют различным состояниям атома, образованного ядром и электронами. Наименьшее из этих значений описывает основное состояние атома, все остальные — возбужденные состояния.

и состоит из бесконечной серии собственных значений, накапли­

непрерывный спектр в другом подпространстве. Таким образом, на части отрицательной полуоси спектр оператора энергии сме­ шанный, собственные значения лежат на непрерывном спектре. Положительных, собственных значений оператор энергии не имеет.

Случай Z < п исследован менее детально. Примеры показы­ вают, что дискретный спектр может быть конечным и даже вообще отсутствовать. Однако это положение не доказано в об­ щем случае,

водорода. Соответствующий оператор рассмотрен выше в п. 2. Его дискретный спектр отрицательный, накапливающийся к точ­

лия. Основное состояние принадлежит пространству ф0. Значе­

состоящей из электрона и атома водорода. Физики считают, что в подпространстве ф0 имеется одно собственное значение, опи­ сывающее отрицательный ион водорода. В подпространстве дискретный спектр отсутствует. Строго доказана только конеч­ ность дискретного спектра.

Эффект налегания дискретного спектра на отрицательный не­ прерывный спектр может иметь место, начиная с п = 3.

Ли т е р а т у р а : [292], [298].

§3. Спектр оператора Шредингера

инекоторых родственных дифференциальных операторов

Выше было отмечено, что спектральный. анализ оператора Шредингера имеет основное значение для квантовой механики. В § 2 были приведены некоторые сведения о спектре оператора Шредингера. Здесь эти сведения будут существенно дополнены.

С общей точки зрения оператор Шредингера представляет собой пример оператора эллиптической сингулярной краевой за­ дачи. Поэтому наряду с описанием спектра оператора Шредин­ гера здесь приводятся аналогичные факты о дифференциальных операторах несколько более общего вида. Рассматриваются дифференциальные выражения

Предполагается, что функция v(x) полуограничена снизу, вещественная матрица а (х) = {iац {х)}™ k=I — положительно опре­ деленная. Коэффициенты не имеют особых точек на конечном

расстоянии*). Операторы М, МП1 А определяются первоначаль­ но на достаточно гладких финитных в Rm функциях, а за­ тем расширяются по Фридрихсу до самосопряженных операто­ ров в L 2 { R m ) (см. гл. IV, § 4, п. 3). Дифференциальное выраже­ ние 1пу аналогичным образом связывается с оператором 1п

Для оператора А дискретность спектра может быть обусловлена

выполненное при сколь угодно малых а > 0, необходимо для

пускает элементарной формулировки. В частности, критерий дискретности спектра оператора М формулируется в терминах гармонической емкости (см. [293]).

*) Это условие ниже считается выполненным на протяжении всей главы, если специально не оговорено противное.

**) Здесь и ниже критерием называется условие, одновременно необхо­ димое и достаточное.

с [0, оо) для 1°П9 1ПУ М гарантируется, например, условием

ч

выполненным для некоторой последовательности кубов Дд не­ ограниченно возрастающего объема |Д&|. Без предположения v(x) ^ 0 указанное условие обеспечивает принадлежность по­ луоси [0, оо) предельному спектру.

Ли т е р а т у р а : [158], [285].

3.Отрицательный дискретный спектр. Здесь рассматривается

отрицательный спектр операторов 1°Пу 1ПУ М, Мп в п р е д п о л о ­ ж е н и и v{x) ^ 0. Какое-либо свойство спектра указанных опе­ раторов будет называться устойчивым, если оно сохраняется при замене v(x) на av(x) при любом а > 0. Большинство фор­ мулируемых ниже утверждений вытекает из абстрактных ре­ зультатов гл. IV, § 4, п. 3.

Если отрицательный спектр одного из операторов 1°П9 1пу Мп устойчиво дискретен (т. е. ограничен снизу и состоит из конеч­ нократных изолированных собственных значений), то предель­ ный спектр совпадает с полуосью [0, оо). Из сказанного в п. 2 теперь следует, что для устойчивой дискретности отрицатель­

ного спектра 1°ПУ 1Пу Мп необходимо условие

ничена. Число отрицательных собственных значений может быть конечным или бесконечным. Критерием устойчивой конечности

отрицательного спектра операторов 1°ПУ 1п служит условие

lim р2/г-1 J \ v(t)\dt = 0.