книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

ΩΩ

Полагая, что для обоих тензоров напряжений Tσ и Tσ0 выполняется уравне-

ние равновесия (1.4.18), к правой части (1.5.136) можно добавить соответствующие слагаемые

Int = Int0 + ∫[( Tσ) U −( Tσ0 ) U 0 +

которые позволяют представить (1.5.136) в виде

Применяя здесь к объемному интегралу формулу М. В. Остроградского–К. Гаусса (П1.103), с учетом формулы О. Коши (1.3.13) имеем

где σn = σ0n – поверхностные напряжения гетерогенного и гомогенного тел соответственно.

Теперь рассмотрим тело Mα отдельно без включения. Очевидно, что внешнее по отношению к Mα воздействие тела включения Mβ следует представить множеством сил на поверхности Sαβ, а внутренние параметры НДС такого тела, используя принцип суперпозиции, можно записать в виде

281

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

где Tσf , Tεf – параметры НДС, возникающие в теле Mα, свободном от внешнего

воздействия, приложенного к телу M. Энергия внутренних сил тела Mα, где Int0 определяется формулой (1.5.135) и

Ω

Здесь UINT учитывает энергию взаимодействия двух схем НДС среды Mα, помещенной в объеме Ωα = Ω\Ωβ, где Ωβ – объем тела включения Mβ. Для упругих тел, свойства которых описываются соотношением (1.5.1), энергию удобно за-

писать в ином виде.

4

Упражнение 1.5.16. Используя симметрию тензора Tc в (1.5.1), доказать справедливость следующего равенства:

С помощью (1.5.144), учитывая (1.4.50), получаем

Формула М. В. Остроградского-К. Гаусса (П1.103) при выполнении для Tσ0

уравнения равновесия (1.4.18) из (1.5.145) с помощью формулы О. Коши (1.3.13) позволяет получить

Если формулу (1.5.139) применить к телу Mα, то вместо U следует подставить перемещение U, определяемое из (1.5.140). В этом случае

282

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Сравнивая (1.5.146) и (1.5.147), имеем:

где знак минус учитывает силовое взаимодействие (1.4.34) тел окружения и вклю-

Вместо перемещения U f и напряжения σ nf подставим их значения, полу-

Изначально предполагалось, что σnf = σn и U f = U . Поэтому

283

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Подстановкой (1.5.154) в (1.5.148) получаем окончательный результат, представляющий собой формулу Дж.Д. Эшелби при заданных статических граничных условиях гетерогенного тела:

Формула (1.5.155) получена для гетерогенного тела с заданными статическими граничными условиями в напряжениях.

Упражнение 1.5.17. Доказать, что при заданных кинематических граничных условиях в перемещениях формула Дж.Д. Эшелби имеет вид

Таким образом, при определении общей для гетерогенного тела внутренней энергии деформирования интегрирование по объему с помощью формул (1.5.155) или (1.5.156) можно заменить частичным интегрированием по поверхности, что значительно упрощает исследования гетерогенных сред.

Кроме приведенных примеров отметим еще несколько способов определения эффективных характеристик композитов.

Наиболее простым является метод вириального разложения, основанный на разложении эффективных характеристик в ряд по концентрации одной из компонент композита. При этом объемная доля содержания такой компоненты в композите должна быть достаточно мала.

При описании поведения поликристаллических материалов, в которых скачкообразное изменение свойств при переходе от одной точки к другой связано с ориентацией кристаллитов, А. В. Хершей и Е. Кренер использовали метод са мосогласования, в котором каждый анизотропный кристаллит рассматривается как шар или эллипсоид, включенный в бесконечную гомогенную среду с неизвестными свойствами. Такая комбинация тел подвергается однородному внешнему воздействию на значительном расстоянии от включения. Затем средние параметры во включении приравниваются (согласовываются, с чем и связано название метода) значениям параметров приложенного к композиту внешнего воздействия. В результате получается множество уравнений, которое определяет свойства эффективного модуля.

284

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

При решении некоторых задач могут оказаться полезными методы механики смеси, которая, по сути, является механикой набора сплошных сред. Так, для многокомпонентной сплошной среды уравнение неразрывности в эйлеровых координатах имеет вид (1.4.7), который с помощью (П1.91) может быть преобразован:

Если эффективную плотность смеси представить в виде

где масса m смеси в рассматриваемом объеме равна сумме масс mα компонент в

Уравнение (1.5.157) совпадает с уравнением (1.4.5) для гомогенных сред, если ввести понятие эффективной скорости в соответствии с предложениями Л. И. Седова:

Механика смеси позволяет учитывать явления, связанные с химическими реакциями, ионизацией и диффузией, происходящими внутри композитного тела.

При химической реакции и ионизации допускается изменение массы компоненты

при неизменности массы всего композитного тела (1.1.1)

N

∑ χα = 0 . (1.5.161)

α=1

В этом случае уравнение неразрывности тела Mα имеет вид

285

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

где χα – изменение массы тела Mα в единицу времени на единицу объема вследствие химической реакции или ионизации.

С помощью эффективного значения скорости (1.5.159) в общем случае с учетом химического взаимодействия компонент и процессов диффузии уравнение неразрывности (1.5.162) записывается в виде

α=1

В заключение раздела отметим, что многообразие применяемых композитных металлов и видов изделий из них, постоянное их увеличение, связанное с потребностями различных отраслей науки и техники, по-видимому, не позволяют, по крайней мере в ближайшее время, развить сколько-нибудь общую теорию построения эффективных модулей, пригодную для произвольного сочетания компонент композита. В отдельных случаях, как было показано, удобно применять те или иные способы оценки эффективных свойств и с этой точки зрения, очевидно, полезно в дальнейшем развивать теории расчета эффективных характеристик КМ. Наиболее перспективными представляются методы, позволяющие учитывать индивидуальные особенности каждой компоненты КМ если не для произвольного их сочетания, то хотя бы для определенных классов КМ, например многослойных, волокнистых, армированных и т. п.

Контрольные вопросы

1.Какова роль тензоров состояния при описании механических свойств анизотропных материалов?

2.По каким признакам специальные типы анизотропии объединяются в кристаллические классы, множества?

3.Как описываются механические свойства анизотропных сред?

4.Какие среды называются трансверсально-изотропными, ортотропными, изотропными?

286

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

5.Какие уравнения называются определяющими? В чем суть принципов детерминизма, локального действия и материальной независимости от множества координат?

6.Что такое M-образец и какие условия должны выполняться при проведении M-опытов?

7.В чем суть математической постановки краевых задач и какова роль в ней определяющих уравнений?

8.Каким образом осуществляются кинематическая и статическая постановки краевых задач? В чем особенность постановки температурных задач?

9.Как строятся диаграммы механического состояния металлов? Какие способы испытаний наиболее часто используются для определения механических свойств металлов?

10.В чем суть гипотезы единой кривой и как она используется при решении задач ОМД?

11.Как с помощью диаграммы механического состояния металла определить предел текучести при заданной остаточной деформации? Что называется деформационным и вязким упрочнением?

12.Как записывается условие пластичности для изотропных сред?

13.Какие модели пластичных сред используются для приближенного описания поведения металлов при пластической деформации?

14.В чем особенность записи условий пластичности для анизотропных материалов?

15.В чем суть скольжения и двойникования? Что называют плоскостью, направлением и структурой?

16.Перечислите способы оценки эффективных свойств КМ. В чем их суть? Что такое эффективный модуль?

17.В чем особенности решения задач механики смеси?

Типовые варианты контрольной работы № 3 по разделам МСС «Стати% ка» и «Динамика»

Иллюстративный вариант

А. Как показать, что касательные напряжения не зависят от гидростатического давления?

Б. Чем в общем случае характеризуется внешнее силовое воздействие на объем сплошной среды?

287

1.МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

В.Как записывается условие пластичности в координатах Т – Г – Н?

нормальное pn и касательное τn поверхностные напряжения на наклонной

площадке, заданной единичной внешней нормалью n = 13 (−2e1+ 2e2 + e3 ) ,

инайти косинус угла α между σn и n .

Д.Для тензора напряжений из п. Г найти полное σокт , нормальное pокт и

касательное τокт напряжения на октаэдрической площадке и максимальные касательные напряжения τik.

Е. Проверить выполнение уравнения равновесия для заданных компонент

Ответы по пунктам иллюстративного варианта

А. В общем случае вычисление касательного напряжения на произвольной площадке с нормалью n возможно по двум формулам: τn = n×(Tα n ) × n

и τn = n×(Dα n ) × n , в которых Tσ и Dσ отличаются сферической частью Sσ, определяемой средним напряжением σ0. Гидростатическое давление

р = – σ0. Следовательно, вычисление τn по второй формуле показывает независимость касательного напряжения от гидростатического давления.

Б.Внешними силами: объемными (массовыми и инерционными) и поверхностными.

В. T = τт .

Г.Полное поверхностное напряжение σn = 13 (4e1− 4e2 + 4e3 ); нормальное поверхностное напряжение pn = 13 (8e1 −8e2 − 4e3 ) ; касательное поверх-

ностное напряжение τn = 13 (−4e1+ 4e2 +8e3 ) ; cosα = − 13 .

288

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Д. Сначала находим матрицу тензора в главных координатах

τ12 = 0 ; τ23 = ±3 ; τ31 = ±3 , из них наибольшее τmax = τ31 = ±3 .

Е. Выполняется.

Вариант 1 А. Какой физический смысл девиатора напряжений?

Б. В чем физическое различие записей ∂∂ρt = 0 и ddρt = 0 в эйлеровых координатах?

В.Как вычисляется мощность внутренних сил, затрачиваемая на изменение объема?

нормальное pn и касательное τn поверхностные напряжения на наклонной

площадке, заданной единичной внешней нормалью n = 13 (−e1+ 2e2 − 2e3 ),

инайти косинус угла α между σn и n .

Д.Для тензора напряжений из п. Г найти полное σокт , нормальное pокт и

касательное τокт напряжения на октаэдрической площадке и максимальные касательные напряжения τik.

Е.Проверить выполнение уравнения равновесия для заданных компонент тензора напряжений σ11 = 6 x12 x2 + 6 x1 x2 ; σ22 = 2 x23 ; σ12 = −6 x1 x22 −3 x22 .

289

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Вариант 2 А. Какой смысл имеют боковые компоненты тензора напряжений?

Б. Как записывается уравнение движения?

В. Как вычисляется тепло, выделяемое в результате пластической деформации?

ное σn , нормальное pn и касательное τn поверхностные напряжения на наклонной площадке, заданной единичной внешней нормалью n = 13 (−2e1+ 2e2 + e3 ) , и найти косинус угла α между σn и n .

Д. Для тензора напряжений из п. Г найти полное σокт , нормальное pокт и

касательное τокт напряжения на октаэдрической площадке и максимальные касательные напряжения τik.

Е. По заданному тензору функций напряжений Дж. Максвелла

пряжения.

Вариант 3

А.В каком случае удобно вычислять напряжения через функцию напряжений Дж. Эри? Как выполняется это вычисление?

Б.В каких случаях нормальные напряжения положительны, в каких – отрицательны?

В. Как вычисляется мощность инерционных сил?

нормальное pn и касательное τn поверхностные напряжения на наклонной

290