книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

лее интеграл уравнения (9.1) представляет подвижные сущест­ венные особенности (изолированные или нет).

Пенлеве отмечает, что не представляется возможным, подоб­ но уравнениям второго порядка, образовать конечное число ти­ пов* уравнений (9.1) с неподвижными критическими точками, которые были бы приводимы к другим. Это с достаточностью показывает рассмотрение автоморфных функций. В самом деле каждому классу алгебраических кривых соответствуют различ­ ные типы автоморфных функций и, следовательно, различные типы уравнений (9.4) (где п = —2, ß= 0) с однозначным интегра­ лом. Вместе с тем Пенлеве дает эскиз предполагаемого реше­ ния проблемы (в том числе и для уравнения более общего вида), представлявшийся ему весьма вероятным, не выходя существенно за пределы уже трактовавшегося круга идей.

В дальнейшем эстафета исследований в этом направлении перешла к ученикам и последователям Пенлеве. Первым среди них был А. Буланже, занявшийся в 1903 г. определением всех уравнений вида (9.1) (при условии, что R — рациональна по у", у' и аналитична по у, х ), которое допускает непрерывную группу преобразований вида Х=х, Y=F(x, у, а, Ь, с), где А — рацио­ нальна по у, аналитична по х и зависит существенно от трех па­ раметров: а, Ь, с. Согласно общей теоремы Пенлеве [228.17], уравнения, допускающие подобную переходную группу, имеют критические точки неподвижными. Опираясь на это, Буланже установил, что единственные уравнения, которые допускают не­ прерывную группу с тремя параметрами указанного вида, могут быть только линейные уравнения или приводящиеся к таковым через простое возможное томографическое преобразование, про­ изведенное над функцией у, связанное или нет с заменой функ­ ции y = ez.

§ 2. Дальнейшие исследования уравнений третьего порядка. Работы Шази и Гарнье

Основная работа по исследованию уравнений третьего поряд­ ка в первые два десятилетия нашего века была выполнена дву­ мя талантливыми учениками Пенлеве—Шази (75) и Гарнье. Здесь мы встречаемся с весьма интересным для того време­ ни явлением, когда почти один и тот же круг вопросов стал решаться в одно время двумя математиками одной школы, исхо­ дившими из аналогичных основ, но работавших при этом неза­ висимо друг от друга. Так как направление их исследований по крайней мере корректировалось Пенлеве, то в этом явлении можно усмотреть интересный случай своеобразного научного эксперимента, поставленного Пенлеве, видимо, вполне сознатель­ но. При этом увеличивалась надежность и разнообразие резуль­ татов, а также более ускоренное их усвоение в научном обиходе. Случаи развития сходных идей и совпадения открытий в мате-

230

■матике и вообще в науке встречаются нередко. Примером тому служит построение самого аппарата дифференциального и ин­ тегрального исчисления. Но при рассмотрении подобных вопро­ сов основное внимание (даже и сейчас) направляется на выяс­ нение приоритета в хронологическом отношении, тогда как по существу он может в иных случаях и не быть единоличным, что не умаляет заслуг отдельных ученых, а наука от этого может

.лишь выиграть. Для неё важен сам факт открытия гораздо более, чем его авторство. Но вместе с тем открытия делаются конкрет­ ными учеными, в конкретной исторической обстановке, и раскры­ тие связей и причин, имевших место,— наша задача.

В данном случае работы Шази и Гарнье не были совместны­ ми, в отличие от знаменитого дуэта Врио и Буке; каждый из них публиковался отдельно, но в разработке данного вопроса они получили весьма существенные, частично сходные, друг друга дополняющие результаты и разделяют примерно одинаково за­ слугу прогресса в данной области. Их многочисленные заметки об уравнениях третьего порядка стали появляться в докладах Парижской академии с 1907 г., а в 1911 г. эти исследования подытожены в больших статьях монографического характера [124.2; 157.2], которые в основном будем иметь в виду при обзо­ ре их результатов. Шази и Гарнье исследовали прежде всего общий интеграл упрощенного уравнения

У " = ( :1- 1 ) Уу- + ъ (У) У'У" + с(у ) у'3- ( п ф - 1). (9-5)

установив для него явную форму сначала при условии, когда коэффициенты b и с были рациональными функциями по у, а за­ тем для более общего случая, когда они — алгебраические жан­ ра единица. Эти первые результаты молодых ученых, как отме­ тил Пенлеве, были получены одновременно (в 1907 г.) несколь­ ко различными путями и совсем независимо друг от друга.

Основная задача, которую стремился решить Шази [124.2], ■состояла в исследовании новых уравнений с неподвижными кри­ тическими точками и открытии новых трансцендентных !. Имен­ но такой путь поиска обусловливается тем, что большинство классических функций (показательных, эллиптических, автоморфных и т. д.) являлись интегралами тех дифференциальных уравнений, общие^интегралы которых были однозначны и кото­ рые не были линейными ни для функций эллиптических, ни для функций автоморфных. Среди интегралов таких уравнений ав­ тор и надеялся найти новые трансцендентные, важность которых для различных ветвей анализа была бы очевидной.

В случае п = —2, Ь(у)= о однозначные функции, определен­ ные уравнением (9.5), были автоморфными или выражались

1 По содержанию это его докторская диссертация, опубликованная в Упселе в 1910 г.

231

через известные функции. Для п ф —2 Пенлеве высказал без до­ казательства положение, что жанр алгебраических функций Ь(у) и с (у) есть нуль или единица и что определенные уравне­ нием (9.5) однозначные функции есть классические или их ком­ бинация. Об изучении других случаев уравнения (9.5) мы уже упоминали выше.

Шази занялся подробным изучением уравнения вида

где Р — полином по у", у', у с аналитическими коэффициентами по X, надеясь найти простые уравнения, интегралы которых не были бы известными классическими функциями и которые не приводились бы к каноническим уравнениям Пенлеве I—VI, ко­ торые мы в дальнейшем будем именовать группой А. Но резуль­ таты оказались мало обнадеживающими. В классе рассмотрен­ ных уравнений, за исключением четырех видов, еще не до конца изученных, не имелось существенно новых, подобных классу А. Были только уравнения, допускающие интегрирующий множи­ тель и приводящиеся к уравнению второго порядка, преобразу­ ющемуся алгебраически к уравнениям А.

Но среди уравнений (9.6) оказались достойными внимания уравнения

(/г — целое, больше 6), общие интегралы которых были одно­ значны в области, ограниченной прямой или окружностью, кото­ рые изменялись вместе с константами интеграции и образовали существенно особую линию (сечение). Трудно было предполо­ жить, что интегралы столь простых по виду уравнений представ­ ляли весьма сложные особенности. Они могли быть определены

как функции у(х) = — • ■>где z удовлетворяла гипергеомет­ рическому уравнению

(где k>6, целое или /г= оо), и уравнение х — г* ff}— (z, Z\ —

различные произвольные, линейно независимые интегралы уравнения (9.9)) определяет функцию Шварца і(х), фундаменталь­

интеграл уравнения (9.7) голоморфен в области его определе­ ния, а общий интеграл уравнения (9.8) мероморфен в такой же

1 См. об этом в следующих главах.

232

области. Если положить у= к~2 6 то функция и будет удов­ летворять уравнению четвертого порядка ииІѴ—(k—2)и'и"'+

+ ■2 (k + èy~и"2 = Q» общий интеграл которого также обладает

как существенно особым разрезом переменной окружностью и определен внутри или вне этой окружности в зависимости от величин констант интегрирования. Он голоморфен в любой точ­ ке области определения, за исключением, в общем, х = оо.

Если интеграл определен внутри разреза или если разрез — прямая, то он однозначен; если, напротив, он определен вне раз­ реза, то число его ветвей около сечения равно знаменателю дро-

би 12 0 как при частном интеграле и = х 6~ к . .

Функция и(х) обладает функциональными свойствами, по­ добными тета-фуксовым, и для k = 7, 8, 9, 12 сама есть тета-фук- сова. Отмечены и другие интересные свойства функции и(х).

Среди типов уравнений (9.6), еще не полностью изученных Шази, он отметил уравнение у'"=уху"— (А+1 )ух~1у'2 (А, — целое, положительное) как наиболее интересное в том смысле, что его изучение привело исследователя к рассмотрению уравнений, об­ щие интегралы которых однозначны, в то время как особые их интегралы имеют подвижные критические точки. О существова­ нии таких уравнений не было известно.

Изучение уравнений (9.6) с неподвижными критическими точками показало характер трудностей как вычислительного,, так и аналитического порядка и оказалось настолько интерес­

где R рациональная дробь по у", у', у с аналитическими коэф­ фициентами по X. Исследование их уже не представляло суще­ ственно новых трудностей. Из этого класса Шази старался рас­ смотреть такие, упрощенные уравнения которых были возмож­ но более сложные. В том случае, когда интеграл упрощенного уравнения был фуксовой или клейновой функцией, общий инте­ грал полного уравнения также выражался в этих функциях. Если же интеграл упрощенного уравнения обладал подвижны­ ми существенно особыми изолированными точками, то это же имело место и в общем интеграле полного уравнения и интегри­ рование его сводилось к интегрированию уравнения второго по­ рядка с неподвижными критическими точками.

В третьем случае упрощенное уравнение получается исклю­ чением констант Л и В в уравнении y'2=AP + BQ, где Р и Q обозначают два полинома четвертой степени по у с постоянны­ ми коэффициентами. Среди уравнений с неподвижными крити-

233

ческими точками, допускающих это упрощенное уравнение, автор нашел одно уравнение вида

, у А і (У' - “i f + В і (У' — « У + (У' - ° t ) +

коэффициенты которого, зависимые от шести параметров, опре­ делялись некоторой системой дифференциальных и алгебраиче­ ских уравнений (S), содержащей 31 уравнение между 32 функ­ циями. Шази удалось доказать, пользуясь распространением метода Пенлеве для уравнений второго порядка, что интегралы уравнения (F) в самом деле имели их критические точки непо­ движными и, помимо особых точек коэффициентов, они не име­ ют других особых точек, кроме полюсов. Шази не завершил ин­ тегрирования системы (S) и не нашел класса неприводимых уравнений, которому принадлежало уравнение (F). Но все-таки он показал, что некоторые случаи вырождения уравнения (F) являются уравнениями класса А и, следовательно, уравнение

(F) может быть рассмотрено как существенно новое. Докторская диссертация Гарнье [157.2] посвящалась также

исследованию уравнений третьего порядка. Здесь сначала обсу­ ждалось, как распространить метод Пенлеве исследования урав­ нений второго порядка на изучение уравнений третьего и более высоких порядков, интегралы которых имеют критические точки неподвижными. Трактовка вопроса следует для уравнения (9. 10), где R — рациональная по у", у', алгебраическая по у и ана­

жанра со. В первой части работы после введения давался простой метод для решения задачи при любом со, включая со = 0 . Он осно­ ван на простейших предположениях теории алгебраических функций одной переменной и легко ограничивает жанр в общем случае. Это существенный момент в теории уравнений (9.10), так как отсюда сразу же следовала теорема Пенлеве о жанре алге­ браического соотношения и характере интеграла уравнения (9.10). Отсюда также следовало, что если выражать координа­ ты у, z точки алгебраической кривой жанра выше 1 в функциях X , удовлетворяющих уравнению (9.10) с неподвижными крити­ ческими точками, наиболее простыми функциями, которые мож­ но употребить для этого действия, то эти функции — автоморфные. Это следствие аналогично следствию из известной теоремы

234

Пенлеве. Но так как изучение про­ блемы в общем случае чрезвычайно трудно, то Гарнье сначала

занялся рассмотрением вырождений более общей проблемы, ставшей затем объектом третьей части его работы. В работах Л. Фукса было доказано, что для независимости группы линей­ ного уравнения е второго порядка с рациональными коэффици­

(где А і, Ві — рациональны по х), получить систему, полностью интегрируемую. Эта проблема рассматривалась Р. Фуксом для линейных уравнений еі с четырьмя существенно особыми точ­ ками, установившим связь ее с VI уравнением Пенлеве, о чем подробнее шла речь в гл. 8. С другой стороны, Пенлеве показал, что первые пять его уравнений могут быть рассмотрены как вы­ рождения шестого. Сопоставление этих результатов позволило Гарнье заключить о существовании линейного уравнения еі с коэффициентами, рациональными по х (но уже не необходимо регулярными), аналитическими по t, обладающими вероятной особой точкой Я и таких, что условия интегрируемости системы, образованной еі и уравнением из (9.11) (с рациональными ко­ эффициентами по х), определяются точно первым уравнением Пенлеве Я"=6 X2+t. Но такое уравнение еі действительно легче построить.

Поэтому во второй части работы Гарнье рассматривается линейное однородное неприводимое уравнение

235

обладающее особыми по виду1 точками Лі, Х2, ... fa (х=оо — существенно особая точка); т, ѵ — данные числа. Требуется: выбрать для cth, Хі, Pt такие возможно более общие аналитиче­

полностью интегрируемая система. Подробно исследуется случай n = 2, т ^ 4 . При этом были изучены некоторые виды уравнений третьего порядка и получено попутно ряд интересных заключе­ ний.

В третьей части Гарнье исследует обобщенное уравнение Р. Фукса

п

Г4 ( * - * ,)* 3 1 X ( х — 1) ( х — Xj)

+1

Спомощью простых свойств рациональных функций по х он показал, что для независимости группы монодромии (еп) от tir t2, ..., fa коэффициенты аь ..., ß„ должны выражаться рацио­ нально в функциях от tu і2, ... tn, Яі,..., Хп и через первые про­

изводные fa по отношению к одному из в то же время Xj(ti) удовлетворяют некоторой дифференциальной системе (fn, Fn) порядка 2п, которая в случае п=1 переходит в VI уравнение Пенлеве.

В процессе дальнейшего исследования Гарнье показал, что система (fn, Fn) была первым примером явно данной дифферен­ циальной системы произвольно высокого порядка, интегралы которой имели неподвижные критические точки и содержали константы интеграции в трансцендентной форме.

Для некоторых частных значений сь ..., сп+з это утверждение не имело места в том смысле, что система (f„, Fn) допускала решения, удовлетворяющие уравнениям более низкого порядка. Например, если (еп) обладала интегралом, логарифмическая производная которого рациональна, то (fn, Fn) допускала реше­ ния, представимые отношением гипергеометрических функций высшего порядка и удовлетворяющих тем уравнениям, которые

раз позволил ему построить линейное уравнение второго поряд­

1 Т. е. не существенно особыми точками.

236

ка, допускающее данную группу (стр. 115—126). Этим самым был решен частный случай 1 (для е„) знаменитой проблемы Ри­ мана, о которой подробнее речь будет далее. Так дополнялись и обобщались результаты, полученные раньше Р. Фуксом. Углуб­ ленное изучение системы (fn, Fn) вело к новым исследованиям, в том числе к установлению связи ее с так называемыми урав­ нениями о, построенными Шлезингером и т. д. Несомненный успех исследований Гарнье в данном направлении отражал пло­ дотворность применения идей, получивших развитие в нелиней­ ной теории и глубокую их связь с важнейшими проблемами ли­ нейной теории. Кроме того, здесь была также показана полез­ ность использования теории групп для решения задач нелиней­ ной теории, что в то время было весьма прогрессивным явле­ нием2. В ближайшие годы после этого Гарнье исследовал от­ дельные соотношения для уравнений третьего порядка, но в ос­ новном, как известно, занимался исследованием уравнений вто­ рого порядка. К выше рассмотренной тематике он возвратился несколько позже в ряде сообщений (1924 г.), где изучалось по­ ведение общих интегралов дифференциальной системы порядка 2п (fn, Fn) в окрестности их особых трансцендентных точек. В процессе этого был применен разработанный им ранее метод при исследовании VI уравнения Пенлеве и полученные там ре­ зультаты распространены на любой класс дифференциальных систем вида (fn, Fn).

В отличие от Гарнье Шази еще ряд лет сохранял верность исследованиям уравнений третьего порядка и их взаимосвязи с другими. Так, при исследовании уравнений вида

У'" = ауу" + by'2 + су2у' + dy4

(где а, b, с, d — константы) с однозначными общими интеграла­ ми он нашел новый случай интегрируемости уравнения

£ ~ А ( и )ѵ > + В (и) V2 + С (u)v+ D (и),

когда

А (и) = 6и3— (2а + Ь) и2— си —d, В (и) = 7и — а,

т. е. принадлежащего к виду, изученному ранее Р. Лиувиллем в 1892 г.

Шази один из первых применил метод асимптотических рядов к исследованию интегралов нелинейных уравнений в работах 1912 г. Так, обобщая с помощью этого метода одну теорему Пен­

производная которого рациональна.

2 Раньше некоторые соотношения между теорией непрерывных групп и дифференциальными уравнениями с неподвижными критическими точками изучал Пенлеве [228.17] в 1900 г. и [228.11] в 1895 г., а еще раньше Пикар, Пуанкаре и др. Несколько выше мы упоминали о результатах Буланже.

237

Пикара [235.17, 2-е изд., 257—267] о разложении интеграла не­ которого дифференциального уравнения первого порядка с дей­ ствительной области на комплексную, Шази удалось доказать, что общий интеграл уравнения

не обладающий ни полюсами, ни алгебраическими критическими точками, обнаруживает логарифмическую (трансцендентную) критическую точку. Те же результаты Бендиксона и Пикара Шази обобщил на комплексную область и на изучение некото­ рого уравнения второго порядка, применяя метод последователь­ ных приближений, строя асимптотическое представление инте­ грала этого уравнения и исследуя его.

Результаты вышеупомянутых и других заметок, были затем подробно изложены в большой статье [124.3]. Шази здесь отме­ чал, что найденные им результаты могут найти применение в проблеме п тел вблизи момента, когда сталкиваются более двух тел или когда тела удаляются вдоль некоторых траекторий, ко­ торые обобщают параболические траектории проблемы двух тел. Координаты п тел допускают разложения рассматриваемого ви­

да по степеням времени; один из показателей есть -у, другие

зависят от отношения масс и могут быть действительными или мнимыми.

Вторая глава этой работы есть часть мемуара, отмеченного большим призом Парижской академии по математическим нау­ кам в декабре 1912 г. Здесь изучается в указанном ранее аспек­ те уравнение (9.12), причем в доказательствах используется асимптотическое представление в некотором секторе интеграла

зи начал рассматривать в аналитической теории такие диффе­ ренциальные уравнения, коэффициенты которых представлялись расходящимися рядами. Комбинируя предыдущий метод с ме­ тодом Пенлеве, ему удалось доказать, что если Р{у(-п~1\ у(п~2\ ..., у', у, х) есть полином по отношению к п переменным г/(п-І), г/(п-2),

..., у', у с аналитическими коэффициентами по х и если общий интеграл дифференциального уравнения у ^ = Р(у(-п~х\ г/(п_2), ....

у', у, х) однозначен, то степень полинома Р по отношению: к каж­ дой из п переменных ограничена. Если рассматривать каждую производную г/(і) как величину веса, равного индексу дифферен­ цирования, увеличенному на единицу, и функцию у — как веса 1, то вес любого члена полинома Р не может превышать веса z/(n>, т. е. п + 1. Этим самым обобщался классический результат отно­ сительно уравнения Риккати. Аналогичное ограничение могло иметь место и в некоторых случаях, когда Р была функцией ра­ циональной или алгебраической (тогда, когда рассматривае­ мое уравнение не приводилось к фуксовому или клейновому).

238

§ 3 . У р ав н ен и я в ы сш и х п оря дк ов

Как видно из предыдущего, трудности исследования уравне­ ний с повышением порядка существенно возрастали, а число, общих заключений значительно уменьшилось. Тем не менее ряд общих положений был доказан и относительно уравнений любо­ го порядка. Первое исследование уравнений высшего порядка с критическими неподвижными точками было опубликовано Пенлеве в 1900 г. Краткая трактовка этого вопроса в несколько иной форме имеется также в [228.22]. Пенлеве рассматривал уравне­ ние q-го порядка вида

где R — рациональна по y(q~*l\ ytq~2\ алгебраична по остальным аргументам. Он искал явное выражение простых условий, необ­ ходимых, чтобы уравнение (9.13) имело неподвижные критиче­ ские точки, записывая его в виде системы

и для второго из этих уравнений, исходя из предыдущих прин­ ципов, устанавливались условия: 1) R должен быть полиномом по и' не выше второй степени, т. е.

для q < 5 и другие, где а , 6—алгебраические функции от «/(<7-3), . , у ' , у , х .

239