книги из ГПНТБ / Фудим Е.В. Пневматическая вычислительная техника. Теория устройств и элементов
.pdf60 |
ОСНОВЫ ТЕОРИИ П Н Е В М А Т И Ч Е С К И Х Ц Е П Е Й |
t P J l . I |
Параллельное соединение п звеньев предусматривает наличие на выходе сумматора *) выходов Pi (s) этих звень ев (рис. 2.7, б):
11 |
71 |
П |
Р (S) = 2 |
Pi (S) = S |
Ъ (*) Р « (S ) = ^ п х (S) S |
i=l |
|
|
т. е. передаточная функция эквивалентного сумме передаточных функций всех звеньев, параллельное соединение.
* i ( S ) , (2-
звена равна образующих
Р, K,ts) Рг Н2М Рз |
Рп>, |
а) |
|
> 1Г Р
В)
Рис. 2 . 7 . Преобразование последовательной (а), параллельной (б) и антипарал лельной (в) цепочек структурной схемы.
При |
антипараллельном |
соединении, или |
соединении |
|
с обратной связью (рис. 2.7, в), |
суммирование осущест |
|||
вляется |
на входе: |
|
|
|
Р (s) = |
К, (s)P1 {s) = Кг (s) |
[ P n x |
(S) + Рл(8)] |
= |
=Кг (s) [Рвх (s) + К2 (s) Р (s)]. (2.13)
Отсюда передаточная |
функция |
|
|
|||
|
|
|
Кг |
(») |
|
(2.14) |
|
|
K(s) |
= 1 — Ki |
{s)Ki(s)' |
|
|
Кг |
(s) обычно называют передаточной функцией в прямом |
|||||
канале, К2 |
(s) — передаточной |
функцией в канале |
обрат |
|||
ной связи. |
|
|
|
|
|
|
|
В частном случае, |
при очень большом | Кг |
(s) |
| (схема |
||
с |
глубокой |
обратной |
связью), |
К (s) ~ — IIК2 |
(s). |
*) Если выходом звеньев является ток, то сумматора как до полнительного устройства не требуется.
|
Э Л Е М Е Н Т А Р Н Ы Е |
|
ОСНОВЫ Т Е О Р И И Ц Е П Е Й |
61 |
|
|
|
Т а б л и ц а |
2.3 |
|
Основные правила |
преобразования линейных цепей, |
|
|
|
составленных из звеньев с детектирующими свойствами |
|
||
|
Выполняемое преобразова |
Эквивалентные структуры |
|
|
п/п |
ние |
|
|
|
|
|
|
Замена последовательной цепочки звеньев од ним звеном
Замена параллельной це почки звеньев одним звеном
Замена аптнпараллельного соединения (це пи с обратной свя зью) одним звеном
— к2ш * - J |
|
Р ' |
К,Ш |
р, |
Р |
|
||
К,№1 |
1Р,-~\Щ*)\-~Р< |
|
|
||
|
\ |
при K,{S)»I ) |
Перемещение точки |
сум |
|
-»-®— Km |
||
мирования |
против |
/Н^Ьрт |
л 1 г—, |
||
направления переда |
|||||
чи сигнала |
|
|
|
Рг |
|
|
|
|
|
||
Перемещение точки |
раз |
|
|
||
ветвления против на |
|
Pi |
|||
правления |
передачи |
Pi |
|||
|
|||||
сигнала |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
Перемещение |
точки |
|
кт |
||
разветвления по на |
|
||||
|
|
||||
правлению |
передачи |
Km |
|
||
сигнала |
|
|
|
-*-\1/кш\ |
|
Перемещение точки сум |
|
|
|||
мирования |
по |
на |
|
р,—\кт |
|
правлению |
передачи |
|
|
||
сигнала |
|
|
|
|
62 ОСНОВЫ Т Е ОР ИИ П Н Е В М А Т И Ч Е С К И Х Ц Е П Е Й [ГЛ. I
Часто полезно пользоваться и другими очевидными преобразованиями. В табл. 2.3 иллюстрируются основные правила преобразования для звеньев с детектирующими
свойствами. |
|
|
|
|
|
Последовательность |
расчета |
схем, состоящих |
только |
||
из звеньев |
с детектирующими |
свойствами, следующая: |
|||
1) последовательные |
и параллельные цепи |
и |
цепи |
||
с обратной |
связью заменяются эквивалентными; 2) |
стро |
ятся структурные схемы для каждого входа при равенст ве нулю всех остальных входов; 3) производятся экви валентные преобразования этих схем до тех пор, пока не будет получено одно звено; 4) записывается уравне
ние согласно принципу |
суперпозиции. |
Г. В о з м о ж н ы е |
с п о с о б ы п е р е х о д а к |
п р о щ е р а с с ч и т ы в а е м ы м ц е п я м . Некото рые свойства цепей открывают возможность перехода к дру гим цепям, по которым выборочные либо все параметры исходной цепи рассчитываются легче. Искомому пара метру исходной цепи соответствует некоторый параметр новой схемы, причем соответствие между этими парамет рами заведомо известно и определяется использованным для перехода свойством цепей.
Одним из наиболее часто применяемых является пе реход от цепи с рядом источников к ряду цепей с одним источником. При таком переходе в соответствии с прин ципом суперпозиции искомый параметр некоторого уча стка исходной цепи определяется как сумма этого пара метра на этом же участке всех образованных частных цепей с одним источником.
Следует иметь в виду, что для получения частных схем исключаемые источники давления заменяются непосред ственными соединениями, а ветви с исключаемыми источ никами тока удаляются.
|
Т е о р е м а |
о б э к в и в а л е н т н о м |
|
г е н е р а т о - |
||||||
р е. Пусть |
имеется некоторый |
активный |
двухполюсник |
|||||||
Ах |
с одним |
или |
многими |
источниками давления, |
нагру |
|||||
женный пассивным двухполюсником П~2 |
(рис. 2.8, а). |
|||||||||
Если ток в цепи равен i, то падение напряжения |
на вход |
|||||||||
ном импедансе Z H пассивного двухполюсника |
составляет |
|||||||||
IZS, |
а на внутреннем импедансе Za |
активного |
двухполюс |
|||||||
ника — IZa. |
Суммарное |
падение |
напряжения |
в |
цепи |
|||||
|
|
|
AP = |
I{ZH |
+ |
Za) |
. |
|
|
(2.15) |
Э Л Е М Е Н Т А Р Н Ы Е ОСНОВЫ ТЕОРИИ Ц Е П Е Й |
63 |
равно напряжению Др на зажимах 2 л 1, если разомкнуть линию между ними.
Поскольку при последовательном соединении (рис. 2.8, б) двухполюсника"*/7Х , полученного из актив ного двухполюсника Ах при отсутствии в нем источников
энергии, |
двухполюсника 772 и источника давления Др |
||
|
|
ар |
|
|
г / |
i |
|
А, |
"г |
||
|
6}
Рис. 2.8. К теореме об эквивалентном генераторе.
ток i на двухполюснике П2 остается прежним, преобра зование по рис. 2.8 является эквивалентным. Таким обра зом, активный двухполюсник с любым количеством источников энергии можно преобразовать в последова тельную цепь из входного импеданса активного двухпо люсника и источника давления, обеспечивающего перепад давлений, равный перепаду давлений на разомкнутых зажимах исходной цепи.
Д у а л ь н ы е п р е о б р а з о в а н и я . В парал лельной цепи напряжения на элементах одинаковы, токи суммируются, в последовательной — напряжения на эле ментах суммируются, токи одинаковы, т. е. соотношение между токами параллельной цепи такое же, как между напряжениями последовательной цепи, и наоборот. Это обстоятельство указывает на возможность построения пар цепей, отличающихся заменой последовательного соедине ния на параллельное, в которых токи одной цепи числен но изменяются как напряжения в другой, и наоборот. Очевидно, что проводимость элемента одной цепи численно равна импедансу соответствующего элемента другой цепи.
Такие цепи называются дуальными. В табл. 2.4 при ведены пары дуальных пассивных и активных элементов.
Таким образом, любая цепь посредством замены по следовательных соединений на параллельные и паралельиых на последовательные с соответствующей заменой элементов на дуальные может быть преобразована в дуаль ную цепь, для дуальных величин которой верны все по ложения, теоремы, решения и т. п., верные для величин исходной цепи.
64 О С Н О В Ы Т Е О Р И И П Н Е В М А Т И Ч Е С К И Х Ц Е П Е Й ЕГЛ. I
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
2.4 |
|
|
Дуальные элементы и их параметры |
|
|
|||||
Название элемента |
Прово |
Название |
дуального |
|
Численное |
|||
элемента |
при |
после |
|
соотноше |
||||
при параллельном |
димость |
довательном соеди |
Импеданс ние пара |
|||||
соединении |
|
нении |
|
|
метров |
|||
Активная прово |
а |
Активное сопро |
Л |
R = |
а |
|||
димость |
л |
тивление |
л |
|
|
|||
Индуктивность |
1 |
Емкость |
|
1 |
C = |
L |
||
|
|
1с |
||||||
Емкость |
|
sC |
Индуктивность |
L = |
C |
|||
|
s L |
|||||||
Источник |
тока i |
— |
Источник напря |
— |
i = |
Ар |
||
Усилитель |
тока |
жения |
Ар |
— |
||||
— |
Усилитель |
на |
— |
|||||
|
|
пряжения Ку |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
При дуальных преобразованиях изменяется количест во узлов и контуров, что может привести к получению более простой для расчета цепи.
П е р е н о с е д и н с т в е н н о г о HJC т о ч н и к а
э н е р г и и ( п р и н ц и п в з а и м н о с т и ) . Пусть в
Рас. 2.9. К принципу взаимности для схемы с источником давления.
цепи произвольной конфигурации (рис. 2.9, а) единствен ный источник давления включен в ветви с импедансом Z x и создает в другой ветви с импедансом Z2 ток г2; в со
ответствии с контурным уравнением £2 определяется выра жением
Тогда при перенесении |
источника в ветвь 2 |
(рис. 2.9, б) так, чтобы ток 1г |
сохранил свое направление, |
§ 2] |
Э Л Е М Е Н Т А Р Н Ы Е ОСНОВЫ Т Е О Р И И Ц Е П Е Й |
65 |
для тока ix получаем:
Из сравнения выражений для / 2 и Л очевидно, что они равны, поскольку миноры А 2 1 и А1 2 получены из од ного и того же определителя А и не отличаются по вели чине, так как строки одного являются столбцами другого * ) .
Следователыю, в цепи с единственным источником напряжения при перенесении этого источника в другую
Рис. 2.10. К принципу взаимности для схемы с источником тока.
ветвь ток первой ветви равен току, который был в этой
второй ветви до переноса источника. |
|
|
|
В силу принципа дуальности |
аналогичный перенос |
||
возможен и для цепи с единственным |
источником |
тока. |
|
В этом случае перенос источника |
от |
одной пары |
узлов |
к другой приводит к напряжению в первой паре узлов, равному напряжению во второй паре до переноса источ ника (рис. 2.10).
Это преобразование цепи позволяет вместо тока (на пряжения) искомого участка цепи с одним источником определять ток (напряжение) в цепи с перенесенным источником на участке, где находился источник энергии, что в ряде случаев проще.
П р и м е р р а с ч е т а ц е п и с р я д о м и с т о ч н и к о в п о с р е д с т в о м п е р е х о д а к ц е п я м с о д н и м и с т о ч н и к о м . В соответствии с прин ципом суперпозиции расчет приведенной на рис. 2.11, а цепи с тремя источниками может быть выполнен по трем частным схемам с одним источником в каждой; искомая
*) Поскольку Д-д/Д и Ди/Д представляют собой взаимные про водимости пассивного четырехполюсника, то из принципа взаимно сти следует, что взаимные проводимости пассивного четырехполюс ника одинаковы.
3 Е. В. Фудим
66 ОСНОВЫ ТЕОРИИ П Н Е В М А Т И Ч Е С К И Х Ц Е П Е Й [ГЛ. I
величина, например, ток в ветви равен сумме токов в этой
ветви в частных |
цепях. |
Так, ток г2 = |
г'2б + г'гв+ г'гп где токи г'2 б , г2 в и г2 г |
частных цепей находятся, к примеру, «свертыванием» цепи.
Заметим, что цепь по рис. 2.11, б получена закорачива нием линий 2 и 2' удаленного источника рг и исключе нием ветви 3 — i — 3' с источником тока г; цепь по
г)
Рпо. 2.11. Пример расчета на основе принципа суперпозиции,
р и с 2.11, в— |
закорачиванием линий 1—1' |
и з^далением |
||
ветви 3 |
— i — 3'; |
цепь по рис. 2.11, г — закорачиванием |
||
линий 1—Г и |
2—2'. |
|
||
Д. |
Р а с ч е т |
ц е п е й с о д н и м |
и с т о ч н и |
к о м м е т о д о м п р о п о р ц и о н а л ь н ы х с о о т н о ш е н и й . Напряжения и токи на участках цепи с од ним источником пропорциональны напряжению (току) ис точника * ) . Задав произвольную, например, единичную ве личину искомого параметра, рассчитывают напряжение (ток) источника, обеспечивающего единичную величину
*) Это пропорциональное соотношение обеспечивается благо даря линейности цепи и описывающих ее уравнений,
S 2 J |
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ Ц Е П Е Й |
67 |
искомого параметра. Искомый параметр в силу про порциональности соотношений равен отношению реаль ного параметра источника к найденному.
L гв=Щ 4=0,02 гг~0Д1
Рис. 2.12. К расчету методом пропорциональных соотношений.
|
Пусть |
требуется |
найти |
ток |
i2 |
в |
цепи *) |
рис. |
2.12. |
|||||||||
Положив |
ц = |
1, находим |
по закону |
Ома: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Рз = |
к |
(r2 |
+ |
= |
0,06. |
|
|
|
|
|
|
||
Далее |
вычисляем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Рз |
_ |
0,06 |
_ , |
|
|
|
, |
л |
, |
л |
|
о |
|
|
|
|
i 3 |
— — — -Q-Qg- — 1, Ц — i 3 - j - h — 1 |
+ |
1 |
— ^; |
|
|
|||||||||||
P's = 4, |
+ |
^ 4 |
= |
0,06 + 2-0,02 = |
0,1; |
ib = |
A |
= |
|
= |
2; |
|||||||
ie = |
*'e + |
*4 = |
2 + |
2 = |
4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
P' = A + |
to |
= |
0,1 + |
4-0,03 |
= |
0,22. |
|||||
Искомый |
ток i 2 |
= |
-у- |
= |
Q'-I/ = |
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Этот |
метод |
эффективен |
при |
численном |
расчете |
(а |
не |
||||||||||
в |
общем |
виде) |
последовательно-параллельных |
цепей. |
|
|||||||||||||
|
*) Пример |
заимствован |
пз [67]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3*
ГЛАВА It
МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ БАЗОВЫХ ОПЕРАЦИИ
ИПОСТРОЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ
ВПНЕВМОАВТОМАТИКЕ
§3. Выполнение простейших операций и схемы замещения устройств пневмоавтоматики
1.Устройства для выполнения простейших операций. Для применяемых диапазонов давления в настоящее время не найдено физических процессов, позволяющих с доста точной точностью реализовать все требуемые базовые опе рации без применения подвижных тел. Поэтому в рас сматриваемой вычислительной технике наряду с процес сами без подвижных тел широко применяются процессы и, следовательно, элементы, использующие подвижные тела. В целях повышения точности для некоторых ос новных операций применяется метод реализации, при котором подвижные тела работают только в дискретном режиме.
Уравнения поступательного движения подвижных тел обычно записывают в координатах усилий и перемещений (и их производных). В пневматических устройствах уси лия создаются давлением газа, а перемещения подвижных тел, приводящие к изменению объемов камер, изменяют количества молекул в камерах. По этой причине, а также в целях записи уравнений всех применяемых элементов в одних и тех же координатах уравнения движения под вижных тел будут записываться в координатах давления и количества молекул (и его производных).
Приведем уравнения, связывающие названные пара метры.
Силовое воздействие газа равно произведению его давления на ту часть S поверхности тела, которая сопри касается с газом:
F = pS.
Составляющая силы F, действующая в заданном на правлении h, равна произведению давления на проек цию S3 поверхности S на плоскость, перпендикулярную
В Ы П О Л Н Е Н И Е П Р О С Т Е Й Ш И Х О П Е Р А Ц И Й
к данному направлению: |
|
Fh = pS*. |
(3.1) |
Sg называется эффективной площадью и в общем случае переменно.
Соотношение между количеством молекул N и пере мещением h находится из уравнений
N = nV, V = Svh, |
(3.2) |
где V — объем вытесненного телом газа и равное ему изме нение объема камеры; Sy = const — коэффициент (в об-
|
h |
|
щем случае он переменный |
и У = § |
Svdh). |
Таким, образом, |
л. |
|
|
(3.3) |
|
N = |
nSyh. |
Переводные коэффициенты между пневматическими
имеханическими параметрами, определяемые уравнения ми (3.1) и (3.3), не содержат параметров, зависящих от состава газаЭто обстоятельство обеспечивает независи мость операций, выполняемых с помощью подвижных тел,
иих характеристик от состава газа.
В ы п о л н е н и е о п е р а ц и й б е з п о д в и ж н ы х т е л . Простейшие операции могут выполняться без подвиж ных тел за счет использования процессов в газах и взаимо действия газов с неподвижными телами.
При используемых диапазонах давления процессы те чения газа описываются нелинейными уравнениями, в свя зи с чем эти процессы не могут быть использованы для реализации линейных операций. Активное сопротивление
при ламинарном течении газа |
приближенно описывается |
||||
уравнением Пуазейля |
*) |
|
|
|
|
„ ^ |
128 |х/ |
_ |
8л\х1 |
|
|
где (.1 — вязкость газа; |
I, d, |
S |
— длина, диаметр, |
сечение |
|
цилиндрического канала; |
я с р |
— средняя плотность мо |
|||
лекул газа в сопротивлении. |
Из |
этого уравнения |
видно, |
*) Записано для молекулярного расхода c/N/dt.