книги из ГПНТБ / Физические основы рентгеноспектрального локального анализа

ЛИТЕРАТУРА

1. T h o m a s , J . Appl. Phys. 14. p. 397 and AERE-R4593 (1963).

2.D u n с u m b, 1st European Colloquium on Electron Probe Microanalysis, 1964.

317(1955).

10.W e b s t e r , Phys. Rev. 37, 115 (1931).

23.G r e e n , Proc. 3rd International Symposium of X-Ray Micro­ analysis, Stanford, Academic Press, 1962.

25.D u n с u m b (1967), Private communication.

26.B i s h o p , Institute of Physics Conference, London, Feb. 1967.

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ВОЗБУЖДЕНИЯ РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОНАМИ

д . Браун

Введение. Статья представляет собой краткий крити­ ческий обзор имеющихся в настоящее время методов расчета распределения по глубине первичного (возбуж­ денного электронами) рентгеновского излучения. Об­ зор является скорее пристрастным и избирательным, чем объективным и исчерпывающим. Во-первых, мы рассмат­ риваем три различных метода, которые успешно приме­ нялись. Во-вторых, мы рассматриваем общие вопросы теоретической физики — рассеяние, потерю энергии, ионизацию,— которые лежат в основе каждого из этих методов расчета. Затем мы сравниваем теоретические пред­ сказания с различными экспериментальными данными и делаем попытку оценить положение дел в теоретической (и экспериментальной) программе исследования. Наконец, представлены некоторые соображения по поводу тех ис­ следований, которые могут или должны быть предпри­ няты.

Теоретические вопросы, а) Три метода расчета. Рас­ смотрим бомбардировку однородной полубесконечной твердой мишени электронами с энергией 30 кэв. Прежде всего введем три упрощения. Во-первых, предположим, что бомбардирующие электроны теряют энергию только при столкновении с атомными электронами. Во-вторых, предположим, что они отклоняются только вследствие уп­ ругого рассеяния на поле атомных ядер. В-третьих, после того как электрон потеряет часть энергии в мишени, его пробег в мишени будем характеризовать средней длиной пути электрона, отвечающей этой потере энергии. Каж­ дое из этих упрощений не очень строгое, но такая схема обладает разумной простотой. Чтобы еще более упростить анализ, можно использовать еще два свойства этого физи­ ческого процесса, а именно те, что рассеяние происхо­ дит преимущественно на малые углы и что после много-

сать уравнением переноса Больцмана. Смысл такого ме­ тода состоит в том, что можно не рассматривать движение отдельных частиц, а вместо этого ввести функцию распре­ деления их

f(r, v, t),

которая характеризует вероятность того, что частица в момент времени t находится в объеме d3r и имеет вектор скорости, лежащий в пределах d3v. Если предположить, что между длиной пробега s и скоростью v существует взаимно однозначное соответствие, то можно использо­ вать функцию распределения

прошел электрон. Тогда уравнение движения для функ­ ции распределения (уравнение переноса) имеет вид

где TV — число рассеивателей (атомов) в 1 см3; о (a, v) — эффективное сечение рассеяния электрона со скоростью v на угол a; sin а da dfi — телесный угол, заключенный между а, а + da и |5, (3 + сф, где р — азимутальный угол в сферических координатах; и' — некоторое направление движения, образующее угол а с и. В этом уравнении пер­ вый член в правой части представляет направленный по­ ток электронов, первый член в интеграле характеризует рассеяние в телесном угле при скорости и, а второй член характеризует рассеяние вне этого угла. Это очень слож­ ное интегро-дифференциалыюе уравнение можно значи­ тельно упростить путем введения ««малоуглового прибли­ жения». Для членов, выражающих рассеяние, применяет­ ся разложение в ряд; с учетом того, что рассеяние преиму­ щественно происходит на малые углы, (1) принимает вид

где к — транспортный свободный пробег по импульсу:

Кроме того, мы будем рассматривать распределение толь­ ко под поверхностью образца. Это сократит число неза­ висимых переменных с семи до трех, а именно:

где # — угол между направлением движения и внутрен­

первичных рентгеновских лучей, задав вероятность иони­ зации соответствующих атомных оболочек. Численное решение уравнения дает очень интересные данные об энергетическом и угловом распределении обратно рассеи­ ваемых от образцов электронов.

Следует указать, что после большого числа столкно­ вений уравнение переноса хорошо аппроксимируется уравнением диффузии. Полная плотность электронов в

преобразовании мы исключили еще одну независимую

Больцмана, используя моменты распределения электро­ нов без «малоугловой аппроксимации». К сожалению, это решение применимо лишь для однородной и безгра­

ставляют в уравнение переноса и получают систему диф­

где .Pj (z) — полиномы Лежандра. Эта система уравнений решалась не для f( (х, s), а для пространственных мо­ ментов коэффициентов разложения

сю

—оо

Легко видеть, например, что средняя глубина для дан­ ного значения s равна

возбуждение рентгеновских лучей, используя упрощен­ ный вариант теории Льюиса. Они использовали только среднее значение для глубины, которое записывается фор­ мулой

о(I

где К — транспортный свободный пробег по импульсу (являющийся функцией v и, следовательно, s). Так как схема Мечника и Томлина чересчур проста, мы не будем ее рассматривать в дальнейшем. Схема Спенсера может быть полезна для решения нашей проблемы в тех случаях, когда можно пренебречь влиянием границы при х = 0 . Основ­ ное преимущество этого метода заключается в том, что он позволяет избежать «малоуглового приближения».

Что касается сложности расчета, то этот метод, по-види­ мому, столь же трудоемок, как и другие, которые мы бу­ дем обсуждать.

М е т о д М о н т е-К а р л о. Метод Монте-Карло принципиально отличается от двух описанных выше методов. В нем используется не функция распределения, а произвольный набор рассчитанных пробегов отдельных электронов. Теоретические траектории электронов строят, используя случайные числа для определения направления и энергии электрона после каждого акта рассеяния. Выборка из этих траекторий дает соответствующее распре­ деление, а также определяет среднее расстояние, которое проходит электрон между актами рассеяния. Этот метод занимает слишком много времени для расчета, и чтобы сократить объем расчетов, обычно опускают полное опи­ сание истории частиц. Это приближение основывается на возможности аналитического решения некоторых ас­ пектов задачи многократного рассеяния. «Сокращенную» историю частицы получают, допуская, что частица ис­ пытывает случайные блуждания и при каждом «шаге» она испытывает влияние многих столкновений [7].

Например, в подходе Бишопа [8] к этой задаче тра­ ектория электрона делится на 25 шагов. Предполагается, что электрон рассеивается на каком-то произвольном от­ резке шага на угол, определяемый теорией многократного рассеяния Гаудсмита — Саундерсона [9]. Эта теория дает угловое распределение электронов, прошедших расстоя­ ние s, в разложении по полиномам Лежандра. (Подроб­ нее об этой теории будет сказано ниже.) Физические пред­ положения, используемые Бишопом в его расчете методом Монте-Карло, вполне аналогичны предположениям, при­

рия Гаудсмита — Саундерсона не использует «малоугловое приближение». Различия, обусловленные этим фактом, по-видимому, должны проявиться наиболее отчетливо в распределении по энергиям обратно рассеянных электро­ нов. Это обусловлено, по-видимому, тем, что «малоугловое приближение» недооценивает рассеивания на большие углы [5]. Как будет показано ниже, эти различия, одна­ ко, не наблюдаются. Из сказанного следует, что решение уравнения переноса несколько более эффективно, чем решение методом Монте-Карло. Это, без сомнения, час­ тично обусловлено сближением уравнений переноса и

диффузии после многократного рассеяния. К сожалению, сравнение эффективности двух методов носит несколько умозрительный характер из-за того, что очень трудно срав­ нивать расчеты разных исследователей на разных вы­ числительных машинах.

б) Теории однократного и многократного рассеяния.

Рассмотрим вкратце теорию рассеяния электронов, кото­ рая используется в методах расчета, описанных выше. Квантовая механика, использующая приближение Борна (теория возмущения первого порядка), дает любопытный результат, показывающий, что эффективное сечение рас­ сеяния падающего электрона ядром точно определяется классической формулой Резерфорда. Борцовское прибли­ жение более пригодно для электронов с высокой энергией, ядер с низким атомным номером и малых углов рассея­ ния. Сравнение с более точной теорией Мотта (см. в [11]) показывает, что резерфордовское сечение при угле рас­ сеяния 180° и энергии электрона 50 кэв на 20% выше для А1 и на 225% ниже для РЬ. Расхождения гораздо меньше при преобладании малых углов рассеяния. Еще одно затруднение состоит в том, что эффективное сечение Резер­ форда стремится к бесконечности, когда угол рассея­ ния стремится к нулю (параметр столкновения стремится к бесконечности). Это затруднение можно преодолеть, если принять во внимание экранирование кулоновского поля ядра атомными электронами при больших парамет­ рах столкновения. Отсюда возникает проблема выбора приемлемого выражения для потенциала атомного поля V (г). Для не слишком легких атомов можно использо­ вать статистическую модель атома Томаса — Ферми, в которой

(12)

где а0 = 0,529 А — первый боровский радиус атома водо­ рода. Функция ср (г/ц) табулирована. К сожалению, она неточна при больших значениях г и. [12]. Это выявля­ ется при рассеянии на небольшие углы (большой пара­ метр столкновения). Для низких Z и больших г лучше использовать поле Хартри — Фока, но это довольно дли­ тельная процедура. Кроме того, ни одна из этих теорий не учитывает изменений потенциала при вхождении атома в решетку кристалла, что также влияет на рассеяние на малые углы. Мэсси [13] предположил, что следующий метод

может быть «настолько точным, насколько позволяет пре небрежение изменениями, обусловленными вхождением атомов в твердое тело, за исключением случая легких атомов». Поле Томаса — Ферми аппроксимируется потен­ циалом

где с — эмпирическая константа порядка единицы. В борновском (нерелятивистском) приближении это дает

Отметим, что р2 — константа затухания, которая огра­ ничивает о (а), когда а стремится к нулю. Отметим также, что это удобная и простая форма для а (а). В частности, теория Томаса — Ферми удобна тем, что одно уравнение пригодно для всех атомных номеров (если они не очень малы).

При любом подходе к задаче рассеяния необходимо иметь в виду, что электрон может рассеиваться более од­ ного раза. В уравнении (8), полученном в «малоугловом приближении», это отражено членом с лапласианом

где эффективное сечение однократного рассеяния содер­ жится в А,. Подставляя (14) в (13), получаем, пренебрегая малыми членами:

Отметим, что постоянная затухания (3 входит под знаком логарифма. Это несколько снижает чувствительность К к правильному выбору эмпирической константы с в вы­ ражении для р\ Значение с можно хорошо оценить, срав­ нивая численные величины X, полученные с потенциалом Хартри — Фока.

В теории многократного рассеяния Гаудсмита — Саундерсона [9], которой пользуется Бишоп [8], исполь­ зовалось следующее свойство полиномов Лежандра. Если

— отклонение после однократного столкновения, а

і} — полное отклонение после п столкновений, то

т. е. среднее значение любого полинома после п актов столкновений равно n-й степени среднего значения этого полинома для однократного столкновения (при условии, что рассеяние аксиально симметрично). Работа Гаудсми­ та — Саундерсона предшествовала работе Льюиса и тесно с ней связана. В ней рассматривается только угловое распределение:

Снова отметим, что в этом случае а/ (v) — обобщение [ср. (3) и (9), а также (11) и (16)]. И в данном случае это уравнение составлено для бесконечной среды, а •б,--=0 соответствует первоначальному направлению электронов. Наконец, теория Гаудсмита — Саундерсона содержит в О; (v) особенности выбранного выражения для эффектив­ ного сечения однократного рассеяния.

Одно из достоинств численного решения этой задачи состоит в той легкости, с которой можно сочетать различ­ ные методы, используя для каждой части задачи наиболее подходящий. Например, оказалось удобной следующая методика. Сначала электронам «позволяли» проникать на небольшое расстояние в мишень и предполагали, что

Затем электронам «предоставляли» возможность двигать­ ся так, как предсказывается уравнением (4), описываю­ щим перенос в «малоугловом приближении». Наконец, после многократного рассеяния расчет велся по уравне­ нию диффузии (7). Эта схема, по-видимому, представляет отличный компромисс между строгостью и простотой расчета.

в) Потери энергии и разброс по энергиям. Почти всегда делается предположение о взаимно однозначном соответ­ ствии между энергией электрона и расстоянием, которое он проходит в мишени. Действительно, можно показать,