Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 4122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

210	ГЛ. 7. ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
^у2. Для задачи о		распространении				тепла на отрезке
	ди	д2и							0<t<T,
	W~:W		= v{x't)'						0<t<T,
	W~:W		= v{x't)'			0 < х <
	ди(0, t)		...
	Т		= * ' ( " '						0<t<T,
	И(1. 0 = *2 W								0<t<T,
	И(1. 0 = *2 W
рассмотреть разностную			схему вида
	,,"+1		*т—х	— 2ипт + и * + 1					= ф (тя, гах),
			*т—х
	т			Л2
	т			Л2
	т = 1, 2		ЛГ -		1;	« =	0,1,		. , [ 7 7 т ] - 1 ,
		..о	= ij)0 (m«),			т =	0,	1,	...М,
		и m	= ij)0 (m«),			т =	0,	1,	...М,
	и" -	«о	.(*,)".		« = 1 , 2 , . .				[Т/х],
	/г		.(*,)".		« = 1 , 2 , . .				[Т/х],
	/г
			= i\|)2 (пх),			« = 1 , 2 , .			, [Г/т].
За	норму		принять		максимум			абсолютных величин правых

частей уравнении, составляющих в совокупности рассматриваемую разност ную схему. Шаги т и h считать связанными равенством т = rh2, г = const. Показать, что, положив (\|3i)n =tyi(nh), получим схему с первым порядком аппроксимации на гладком решении. Какой формулой следует . определить (i|)i).n , чтобы получилась аппроксимация второго порядка?

§ 24. Условие Куранта, Фридрихса и Леви, необходимое для сходимости

В § 21 мы доказали, что разностная схема

,,п+1

4	m+1	0,
		0,
		(О

•i>(mh), J

аппроксимирующая задачу Коши

ди	ди «		0 < t < Т,
~ЪТ ~	~дх ~	'
			(2)
и (х, 0) =		г\|з (х),

не может оказаться сходящейся при произвольной функции \|>(я), если т/Л > 1 (см. рис. 9 на стр. 179). При этом было ис пользовано соображение общего характера, впервые на не сколько другом примере сформулированное Курантом, Фридрихсом и Леви.

§ 24. УСЛОВИЕ КУРАНТА, ФРИДРИХСА	И ЛЕВИ	211
Это соображение часто помогает при конструировании и ис
следовании разностных схем. Оно состоит	в следующем.
1. Условие Куранта, Фридрихса и Леви.	Допустим,	что в по

становке дифференциальной задачи участвует некоторая функ ция г|з (см., например, (2)). Выберем произвольную точку Р, принадлежащую области определения решения и. Пусть зна

чение

решения и(Р)

зависит

от

значений

функции

г|)

точках

некоторого

множества

G$ =

G$ (Р),

принадлежащего

области

определения

функции

г|з,

т.

е.,

изменяя

значения

г|з

малой

окрестности

любой

точки

из области

G^(P),

можно

вызвать

изменение

значения

решения

и{Р).

Допустим,

что

для

вычис

ления

решения

используется

некоторая разностная

схема

Lnu.W

— f(h),

причем

значение

решения ы<л> в точке сетки, бли

жайшей

Р,

полностью

определяется

значениями

функции

на некотором множестве G\p1

= G§} (Р).

Для

того

чтобы

имела

место

сходимость u.W—*u

при

h-*0,

разностная

схема

необходимо

должна

быть устроена

так, чтобы

при h—>-0 в

произвольной

окрестности

любой

точки

области

G^(P)

при

достаточно малом

h имелась

точка множества G^ =

= G§] (Р).

Объясним,

почему

случае

невыполнения

сформулирован

ного

условия

Куранта,

Фридрихса и Леви

сходимости

ожидать

не приходится. Пусть оно не выполнено, так что в некоторой


фиксированной			окрестности			некоторой точки Q из области
G$(P)	при	всех	достаточно			малых	h	нет точек	из	множества
G^ — G^iP).		Если сходимость и<Ы-*и						и при данной функции яр
имеет	(случайно!) место,				то	изменим		гр в указанной		окрестно
сти точки Q так, чтобы изменилось значение и(Р),									оставляя вне
этой окрестности функцию \р неизменной. Сходимость											иМ—+и
при	новой	функции		гр	уже	не может иметь места: значе
ние и(Р) изменилось,				в	то	время	как значения		«<h> в		точке

сетки, ближайшей к Р, остались при малых h неизменными, поскольку функция ip в точках множества Оф1) = ОфЛ) (Р) осталась неизменной.

Условию Куранта, Фридрихса и Леви нетрудно придать форму теоремы, а проведенные рассуждения превратить в ее доказательство, однако мы не будем этого делать.

Рассмотрим несколько примеров, где изложенное нами со ображение позволяет установить расходимость и непригодность разностной схемы и нащупать устойчивую и сходящуюся раз ностную схему. Конечно, доказательство сходимости приходится проводить отдельно, так как выполнение условия Куранта, Фридрихса и Леви лишь необходимо, но недостаточно для сходимости. Заметим также, что при наличии аппроксимации условие Куранта, Фридрихса и Леви необходимо и для

212 ГЛ. 7. ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

устойчивости, поскольку из аппроксимации и устойчивости сле

дует		сходимость.
—	2.	Примеры разностных				схем	для задачи		Коши. Используем
условие Куранта, Фридрихса и Леви для									анализа	нескольких
разностных				схем, аппроксимирующих				задачу	Коши
	-JT" +		а (0 - \| т =		'Фо (Jf. О,	- o o < x < o o ,			0 < / < т ,		j
			и(х, 0) = i p , (х),			— о о < д ; < о о ,				J
где	tyo(x,t)			и tyi(x)	— заданные		«входные данные»			задачи	(3) и
					а (0 Е = -		1 -	2t.
	Решение			задачи	(3) в какой-либо точке				(хР, tP)	зависит от
значений			функций		tyo(x,t)	и		во всех	тех точках,		через

i t

А=(2, 0)

Рис. 16.

которые проходит характеристика дифференциального уравне ния (3), выходящая из некоторой точки А оси Ох и входящая в точку Р.

Действительно, характеристики здесь — интегоальные коивые дифферен циального уравнения

				d	x	п\
т. е. параболы х=		— t2	— г* +	С. Вдоль		каждой			характеристики
	du _	ди	ди	dx	—	+	a{t)-^		= ^(x,	t).
	~dt ~ W		+~dx~dt		—	+	a{t)-^		= ^(x,	t).
	~dt ~ W		+~dx~dt
Поэтому	зчачение		решения и (хр,			tр)	в какой-либо			точке Р =	tp)
выражается	формулой		tp
			tp
« (*р>	tp) =	* i (А)	+ \	%1Х	(0. t]		dt =	я\|5,	(А) + j	% (х, t)	dt,
			0						AQP
где А есть точка на оси Ox, a AQP — отрезок								характеристики.

На рис. 16 изображена характеристика x=2--t — г2, вы ходящая из точки А = (2, 0) и входящая в точку Р = (0, 1).

§ 24. УСЛОВИЕ КУРАНТА, ФРИДРИХСА И ЛЕВИ

213

Мы видим, что значение и(Р) = и(хР,

tP)

решения

задачи

(3)

зависит от

значения

функции

ipi(jf)

в точке

А,

так

что

= G4h(P).

Далее,

и(Р)

зависит

от

значений

tyo(x,

на

от

резке характеристики

AQP.

Этот

отрезок

AQP

есть

G$0(P).

Рассмотрим

разностную

схему

u l + l

- u 1

ii \

ит—\

1Аи<*>

+ a (tn)

= 1р0 (хт,

tn)

(4)

или

т =

± 1

. .. ;

я =

0, 1, . . .,

[1/т] -

< + 1

[ 1 +

a(gr]u»-a(дги»+

тгр0 (*m >

д ,

(5)

< = *Лхт)>

где xm = mh,

tn =

nx,

r — x/h,

a(t)

—l—2t.

Покажем,

что

эта схема не может быть сходящейся ни при

каком

соотно

шении шагов г, так как ни при каком г она не

удовлетворяет

условию Куранта, Фридрихса и Леви.

Возьмем в качестве точки Р точку

(0, 1). Сетку

выберем

так,

чтобы

Nx=l.

Значение

решения

u(h)

(Р)

точке

Р =

(0, 1), т. е. utf,

силу разностной

формулы

(5) выразится

через значение ip0 (0,

1 — т)

через

значения uN_^\

и^~1.

Эти

два

значения

свою

очередь

выразятся через

ip0 (— h,

1—2т),

•ф0(0, 1 — 2т)

через

три

значения

uN_22,

u^j2,

и^~2

т.

д.

В конечном

счете

значение

выразится

через

значения

функ

ции

ip0(*» t)

точках

сетки,

отмеченных на рис.

крестиками,

и через значения u°_N =

^l(x_N),

u°_N+1=^l(x_N+])

и§=Ф,(*о)

функции ipj (х)

в точках

x_N,

х 0

на

оси

Ох.

Таким

образом, множество G$(P)

состоит

из точек сетки,

отмеченных

крестиками, а множество G$(Р)

— из

точек х_н,

x_N+l,

. ..,

х0

на оси Ох (эти множества имеют общие точки на оси Ох).

Оче

видно, что

любая точка Q множестза С7ф0(Р) имеет

окрестность,

в которую

не

попадают

точки

множества

(Р),

как

бы

мало

ни было h. Разностная схема (4) не удовлетворяет условию Куранта, Фридрихса и Леви, необходимому для сходимости.

Рассмотрим теперь для задачи (3) разностную схему (рис. 17)

+ a (tn)	lm+\	~ — 'Фо (хт> tn),
		(6)
		"m = *1 (Хт)>

т = 0, ± 1, . . . ; п = 0, I ,

1/т — 1,

214			ГЛ. ?, ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ						СХЕМ
ИЛИ
		u^	= [l+a(tn)r]u-m-a(tn)ru-m+l				+ x^0{xm,		tn),
где	г =	т/«.					Nx=\,		УУ —целое, так
Шаг т			сетки	выберем	из условия
что	точка		Р = (0, 1) будет		принадлежать			сетке. Значение		реше
ния	uw	в	этой	точке, т. е. «0 V , в		силу		формул (7) выразится
через		гр0(0, 1 — т) и два значения				и^"1	и uf~l.		Эти два	значе

ния в свою очередь в силу (7) выражаются через гр0 (0, 1 — 2т),

Р(0, /)

Рис.

17.

-ф0 (h, 1 — 2т) и через три значения и^~2, и^~2,

uf~2

и т. д. В ко

нечном

счете

выражается

через значения

ty0(xm, tn)

в точках

сетки,

отмеченных

на

рис.

крестиками,

через

значения

и° = 1|'1(0)1

н° = ар, (я,),

«0 у =

гр,(л;л,) функции

гр, (х)

точках

х0,

Х\,

на оси Ох. Таким

образом,

G$ (Р)

в этом

слу

чае— это множество точек, отмеченных крестиками, a

G$}(P)—

это множество точек х0,

Xi, ...,

на оси Ох. Ясно, что в случае

г =

т/h > 7г

(этот

случай

не

изображен

на

рисунке)

точка

В —(1/V, 0)

лежит

левее точки

Л = 6'ф,(Р). Поэтому существует

окрестность

точки

А, в

которую

не попадают при h—+0 точки

С^'(Р). Условие Куранта, Фридрихса и Леви нарушено, и схо


димости ожидать			нельзя.
Для того чтобы схема					(6) могла оказаться сходящейся, не
обходимо,		чтобы	г ^	'/г- Но этого			мало. Допустим,		что r < 1,
но некоторая точка Q характеристики AQP лежит над прямой
BP,	как на рис.		17. Тогда			тоже	нельзя	ожидать сходимости.
Значение		функции	ty0(x,t)		в точке		Q оказывает влияние на зна
чение и(0, 1) решения				дифференциальной				задачи, т. е. Q при
надлежит		множеству		G^(P).		Но	значение ipo(*>0 в		точке Q
(как	и значения		tyo(x,f)		на	всем	участке	QP характеристики)

§ 24. УСЛОВИЕ

КУРАНТА, ФРИДРИХСА И

ЛЕВИ

215

не

оказывает влияния на

значение и^ЦР)

решения разностного

уравнения в точке Р: существует окрестность

точки

куда

при ft—»0 не попадают точки множества

G[h){P)-

Условие

Ку

ранта,

Фридрихса и Леви не выполнено.

Выбрав

г настолько

малым,

чтобы

треугольник

ОРВ

со

держал

не

только

точку

А = ( 2 , 0 ) ,

но

и всю

характеристику

AQP,

уже

можно

доказать устойчивость

(и

сходимость)

раз

ностной схемы (6). Для

такого

выбора

числа

учтем, что

(в

силу

дифференциального

уравнения

характеристики

dx/dt

a(t))

величина

—\/a(t)

есть

тангенс угла наклона

касатель

ной к характеристике к оси Ох, а —г = —т/ft есть тангенс угла

наклона прямой BP	к оси Ох. Легко понять, что			характеристика
AQP будет лежать	в треугольнике	ВОР,	если
r ^	\—77VT = 4-.		т ^ V •	(8)
^	max \| a (t) \|	3	3	v

о< * < 1

итогда условие Куранта, Фридрихса и Леви выполнено. Покажем, что при условии (8) разностная схема (6), ап

проксимирующая задачу Коши (3), устойчива, и следовательно, сходится. При этом нормы определим равенствами

Н " ( Л ) I k = m a x I и» I,

		m, n
\|\| P	\|\|F	= m a x		I гр0 (xm, tn) \| +			m a x		\| гр, (*m)		I-
		m, n					m
Учитывая, что	при	условии (8)
1 + а ( / „ ) г > 1						> o ,		0 < / я < 1 ,
из равенства (7) получим
\ < + 1 \ < ^ - ^ г			+ 2	Ч ± г	] т	^ К \			+
+ х m a x	I гр0 (*		g \| < m a x \| и» \| + т m a x \| % (xm, tn) \| <
m, it				tn				m,n
< т а х \| и » - Ч + 2тгпах\|1\|)0 (*т ,									g \| <
<	m a x \ и Ч		+	(п+	1) т	m a x \| гр0		(*	g	\|	<
	m					m,n
	<	m a x	I гр, (xm)		\| +	1 •	m a x	\| гр0 (xm,		tn) \| = \|\| P > H ^ .
Поскольку	полученное			неравенство

216 ГЛ. 7. ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

справедливо при любых	т	= О, ± 1 , ... и любых п,	(п-{-1)т^1,
то
l l « W , I I ^ < l l / ( f t , l l F f t ,
и устойчивость разностной схемы (6) при условии			(8)	дока
зана. Ограничение (8)	на	шаг т при заданном шаге	h,	т^'/з/г,

можно ослабить, не нарушая условия Куранта, Фридрихса и

/>/ff, I).

Рис. 18.

Леви, если сделать шаг г переменным, tn+\ — tn + т„, и выби рать его при переходе от tn к tn+\ с учетом наклона характери стики вблизи точки t — tn, а именно из условия

Т п — h *** \| а (*„) I		2tn +	1 '	О,	1, . . .
Т п — h *** \| а (*„) I		2tn +	1 '
Измененная таким образом схема (6) имеет вид
л+1 _	л		lm+l — И"
"ш	"л	+ a (Q	lm+l — И"
Т/г		+ a (Q
Т/г
или
« г 1 = I 1 + а е«)гп] к		- а ('„)		+ \ \	К> '„>

"« = tl(*m )-

(9)

(10)

(И)

соответствии

формулой (9)

ограничение

на

шаг

т„

ме

нее жесткое,

чем

при

использовании

схемы

(6)

постоянным

шагом.

При

малых

используется

шаг

т п

лишь

при

приближении

t — 1

приходится

выбирать

тп

x/3h

(рис.

18). Доказательство

устойчивости

схемы

(10)

при

условии

(9)

лишь

несущественно

отличается

от

доказа

тельства

устойчивости

схемы

(б)

при условии

(8):

используя

§ 24. УСЛОВИЕ КУРАНТА, ФРИДРИХСА И ЛЕВИ

	<	max \| и»-1 1 + (т„_, +			т„) max \| гр0 (хт, tn)	\| <
		m			т, п
				< m a x \| < \| + * п + , max \| гр0 (хт ,		tn)	\ <\|\|/<«
Отсюда	следует		неравенство
				IU<w lk/f t <IIPl l F f t .
означающее		устойчивость.					—
3. Примеры разностных схем для задачи Дирихле. Восполь
зуемся	условием		Куранта, Фридрихса и Леви для анализа двух
	У 1
(о,	/)•
		о	•	•
				г
		в л	•	•	(т,		/)
					(т,		/)
		а)		ГЛ О) х	т,0
		а)		ГЛ О) х	6)
				Рис.	19.

разностных схем, аппроксимирующих следующую задачу Ди рихле для уравнения Пуассона:

	• 0 - + -Jj^r =			Ф(х, у),			0<дс, у < 1 ,			(12)
		и L =		1\|з	(х, у),		(х, у) <= Г,

в квадратной области			D ~		(О ^	х, у sg: 1) с границей				Г. По
строим сетку	хт	— mh, yn		= nh, где h =				\/М, М — целое		число
(рис. 19,а). К сетке Dh отнесем						те точки (хт,уп),			которые по
пали внутрь	квадрата		D или на его границу. Рассмотрим раз
ностную схему, аппроксимирующую задачу (12):
m+l,n		2llmn	+ Um_lt		п	ит,п	+ \	^ И т п + и т ,	п-\
		h2			1 +			h?		(13)
		— y(mh,nh),				если		(mh,nh)^D,
		= if (mh, nh),				если		(mh, nh) e	Г.

218	ГЛ. 7. ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Схема	(13) получена путем замены производных и
	хх и и.уу раз

ностными отношениями, и аппроксимация не вызывает сомне ния. Мы докажем ее устойчивость в § 34 и изложим способы вычисления решения «со в §§ 35—37. Но обратим внимание на то, что вычислить ее решение не просто, так как система урав нений L„«(ft) = /со для определения значений сеточной функции «С») при малых h достаточно сложна. Сама эта сложность по буждает выяснить, нельзя ли построить схему, решения кото рой вычисляются просто. На первый взгляд, можно воспользо ваться схемой

~ 2«тп„. + и

- 2итп + и

т—1,

Л2

т+\, п

т,

п+1

А2 тп ~

т, п—\

ф ( т « , nh),

т =

1, 2,

. . ., М—1; « =

1,2,

. .. , М — 2,

1т-\,

2 -

2и т.2+~ иит+\, 2

ит2

2 и т 1 + ит0

(14)

А2

— q>(mh,h),

т =

\, 2,

М—1,

umn

= $(mh,

nh),

{х,у)<=Т.

Аппроксимация, очевидно, в этом случае есть, так как схема получена путем замены производных разностными отношениями, а граничное условие аппроксимировано точно. Каждое урав нение из первой группы уравнений связывает значения реше ния в пяти точках сетки, изображенных на рис. 19,6. Вторая

группа	уравнений при	фиксированном	т связывает	значения
решения	в пяти точках	сетки, изображенных на рис. 19, е.
Рассмотрим совокупность уравнений первой группы, отве
чающих	фиксированному значению п,		а именно п=\,	и всю

вторую группу уравнений совместно. Полученная система урав нений связывает значения ит\, ит2 и ито, причем ит0, «оь и02, ими им2 заданы граничными условиями. Эту систему можно

решить, определив umi	и ит2,	т=\,	2,	М—1.	Затем	ис
пользуем разностное уравнение из первой				группы	уравнений
при п = 2 и определим	ит3	по явной	формуле, разрешая			это

уравнение относительно единственной входящей в него неиз

вестной величины Umz. Продвигаясь	слой	за слоем	от	итп	к
ит, n+i, мы вычислим в силу уравнений		первой группы		реше
ние «СО во всех внутренних точках	сетки. Значения		же	в	гра

ничных точках сетки заданы с самого начала.

Однако эта на первый взгляд удобная схема совершенно непригодна. Известно, что решение задачи Дирихле для урав нения Лапласа зависит в каждой точке от значений \\>(х, у)\г всюду на границе. А в построенной нами разностной схеме вы-

ЗАДАЧИ

219

числение решения г#> во всех внутренних точках происходит без использования значения гр(дг, у) на верхней стороне квадрата. Эта разностная схема не может оказаться сходящейся. Слож ность, присущая схеме (11), связана с. существом дела.

В заключение подчеркнем еще раз, что условие Куранта, Фридрихса и Леви не является достаточным условием устойчивости. В § 25 будет, в част ности, показано, что разностная схема

Ul+l

— 111

U''л.1

— U

nx),

н<">

m+l

m-l

ф (mh,

LhU

—

u°m = i|> (mh)

неустойчива

при

любом

г =

т/h =

const. Эта

схема

аппроксимирует

задачу

Коши

и(

— их

=ф(дс,

t),

и (х,

= г()

(х),

для

которой

мы

уже рассмотрели

несколько

других

схем. Легко проверить

в то

же

время,

что эта

схема

при

г =£С 1 удовлетворяет необходимому

усло

вию устойчивости.

Чтобы сделать это, возьмем опять, для определенности, точку (0, 1) на

плоскости 0x1

и будем считать, что она принадлежит

сетке

при всех h,

так

что 1 =

Л/т, где Л/ — целое. Значением^ вычисляется через значения и^"'

ЛГ— I

/V— 1

«о

, и\ .

эти

три

значения

вычисляются

затем

через

пять

значении

на предыдущем

слое t =

(N—

2) т и т. д. В конечном

счете и$

вычисляется,

очевидно, через

значения

г|з (mh),

— N,

— N +

1, . . . ,

—1,

1, . . .

Л/, в точках

сетки, принадлежащих

отрезку —1/л

х ^

1/г

на

оси

Ох.

Если

г =

т/Л <

1, то этот отрезок содержит точку х — 1, значение

кото

рой определяет

«(0, 1), ы(0,

г|)(1). Условие

Куранта,

Фридрихса

Леви

при г

1 выполнено.

ЗАДАЧИ

\IX.

Решение

уравнения теплопроводности

щ — иХх,

—

° °

х <

оо, t > 0,

имеет

вид

(х-1)2

Может ли существовать сходящаяся разностная схема, аппроксимирую щая эту задачу и имеющая вид

ц Р + ' — и Р

где <Xj — некоторые постоянные, если т = Л?

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 4122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ