Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 4120 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

190 ГЛ. 7. ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

формулами (3), можно написать

(ill Uxx)x=mh,t=(n+\)%

— -JfUxxxx {X, tn+l) + О (T - f h2),

и (mh, 0).

Отсюда, с учетом x = rh2, можно написать

Lf \U\H-.	<?(x,n,tn+i)	+	0(h2),
Lf \U\H-.	•ф (тЛ) + 0,
	•ф (тЛ) + 0,
ф (хт, tn) — qp (хт,		tn+i)	+ О {п2),
0.

Но

<v(xm, tn+i) = 4>(xm, tn) + [4>(xm, tn+l) — <p(xm, /„)] =

= Ф (xm, tn) + О ( T ) = ф (xm, tn) + О {h2).

Поэтому

\\bfW\\Fh = 0(h2).

П р и м е р 3. Рассмотрим простейшую разностную схему, ап проксимирующую задачу Дирихле для уравнения Пуассона в

(0,1)

(т,л +/)

—•fin+/,/?)

б) (>п,л-/)

	О			(/,0)
					Рис. 12.
квадрате	D	(0 <	л: < 1, 0 <		г / < 1)	с границей Г	(рис. \2,а):
			ихх + иуу	= ц> (х, у),		(х, #) е= А
			u\v	=	ty(x,y),	(х, */)е=Г.
Построим		сетку Dh, отнеся к ней те точки (xm,tn)					=	(mh,nh),
которые	попали		внутрь	квадрата или на его границу.				Шаг h
будем считать выбранным					так, чтобы число 1/Л		было	целым.

§ 22. ПОСТРОЕНИЕ АППРОКСИМИРУЮЩИХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

191

Разностную схему L„uW =

/№ зададим

равенствами

um+i, п

2 и т п

-|- um-i,

_^ ит,

+ ! — 2итп

-\- ит,

п— 1

А2

Л2

= ф ( т / г , я я ) ,

( т / г , я я ) е D,

гр ( т / г , «Л),

( т / г , n/г) е Г .

Здесь

Ф ( т / г ,

я/г),

е с л и

( т / г ,

я/г)

г р ( т я ,

я/г),

е с л и

( т я ,

я я )

Г .

Невязка 6/( / l ) ,

L h [u]h = /(/г)

+ bf(h\ имеет в силу формул (3) вид

Л2

О,

так что

аппроксимация

имеет

второй

порядок.

Пятиточечный

шаблон,

отвечающий использованному

разностному

уравнению,

изображен на рис. 12,6.

Разностные схемы, построенные выше, получались путем за мены каждой производной в дифференциальном уравнении тем или иным разностным отношением.

2. Метод неопределенных коэффициентов. Более общий спо соб построения разностных схем состоит в том, что прибли жается не каждая производная в отдельности, а сразу весь диф ференциальный оператор. Разъясним этот способ на примерах разностных схем для задачи Коши (4). Сначала рассмотрим схему первого порядка аппроксимации (5). Она связывает зна чения искомой функции в трех точках, изображенных на рис. 10

слева. Разностное	уравнение
	и " + 1	— lln	чп	—	I,"
Л л И < м в	~	-	т	+ \	т = Ф ( т я , ят),
используемое в этой схеме, имеет вид
AhuW = аЧп+х		+ айипт		+ а , и £ + 1 = <р ( т я , л х ) .

Забудем на время, что нам уже известна разностная схема (5), для которой

192	ГЛ. 7. ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

и, считая эти коэффициенты неопределенными, постараемся по добрать их так, чтобы имело место равенство

ИЛИ

An[u]h\x=mh=Au\x==mh+0(h),

(6)

t=nx

t=m

где

ди

/-,.,

Л« == -ч^

з—.

(7)

ах

Воспользуемся

формулой

Тейлора:

и [mh, (п + 1) т] =

u (m/i,

дт) + т u}

(mn,

fit) +

О (т2 ),

ы [(т +

1) Л, пх] = и {mh,

пх) + hu'x (mh,

пх) +

О (/г2).

Подставив

эти

выражения

в правую часть

равенства

Л Л Мл

I x = m

, =

a°u [«/г, (m + 1) т] +

t=nx

а0 и (m/г, ят) +

1)«, пт]

получим

ЛЛ [«]Л

l x = m

= (а0

+ а0

+ а,) и (m/г, лт) +

a 0 T

fl]A

3u(n£jrt

+ 0

( а 0 т 2

a i A 2 } >

(

8 )

Поскольку нашей целью является такой подбор коэффи циентов а0, а0, «ь чтобы выполнялось условие аппроксимации (6), то естественно предварительно так сгруппировать слагае мые в правой части равенства (8), чтобы выделился член (7). Тогда остальные слагаемые образуют остаточный член аппрок симации, который должен быть мал. Чтобы выделить член Лы, можно заменить в правой части равенства (8) производные du/dt или ди/дх соответственно по одной из формул:

ди	.	, ди	ди	ди	А
¥ з	А "	+ ¥	и л и	- д х - - - д Т ~ А и -
Для определенности воспользуемся первой из них.
Кроме того,	подчиним		шаги	т и h	связи т = rh, где г —

какая-нибудь постоянная. После этого равенство (8) примет

следующий	вид:
Л л [и]А \| х = т й	, = a°rhA и \ x = m h > + (a0 + а0 + а,) и (mh, пх) +
t=nx	t—nx

+ (a°r + a,) hux {mh, пх) + О ( a W , axh2). (9)

§ 22. ПОСТРОЕНИЕ АППРОКСИМИРУЮЩИХ РАЗНОСТНЫХ			СХЕМ	193
Среди всех гладких функций u(x,t)	можно	указать	такие, для
которых и, ди/дх и dujdt в любой	заранее	заданной	фиксиро

ванной точке принимают любые независимые друг от друга значения. Следовательно, и значения

		ди		.	ди	ди	л
	и>	_	и	Аи = ж	~	ж = Ф(*, t)
также можно считать			независимыми			друг от друга. Ввиду		этого
из	равенства (9)	следует, что для выполнения при любой						пра
вой	части ф(х, /)	задачи		(4) условия аппроксимации
		Л А М й и т Л > =			( Л И ) ^ т Л > +		0(А)
			t=nx		t=nx

необходимо, чтобы выполнялись равенства cfirh = 1 + 0, (А),

а° + а0 + а, = 0 + О2 (А), (а°/- + а1 )А = 0 + О3 (А),

где Oi(A), Оя(А),Оз(Л) — какие-нибудь произвольные величины порядка А. Положим 0\(А) = 02 (А) = 03 (А) = 0. Получаю щаяся при этом система

			cfirh = 1,
		а° + а0 + а! = О,
			а°г +	а, = О
имеет единственное	решение
	0	= =	J _=	l
		__	г — 1 _	1	1_
	а °	—	лА	А	т '
	а,		1
	а,		А '
которое приводит к уже известной схеме (5).
Теперь мы, однако,		дополнительно			узнали, что среди раз
ностных схем вида
(	а°ип+х		+ %ипт +		= ф (mh, пх),

она является единственной, аппроксимирующей рассматривае мую задачу Коши. Говоря о единственности, мы пренебрегаем тем произволом, который вносит свобода выбора функций Ox(h),

7 С. К. Годунов, В. С Рябенький

194	ГЛ.	7. ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
02(h), 03(h).		Всюду в дальнейших примерах мы также будем
пренебрегать		подобного рода очевидным произволом и даже

не всегда будем вводить произвольные величины, аналогичные

величинам

Ox(h),

02 (ft),

0 3 (ft),

с,

самого

начала

полагая

их

равными

нулю.

Читатель

без

труда

убедится,

что

рассмотренном сейчас

примере

учет

этих

величин привел

бы

к следующему несуще

ственному

изменению

результата:

(т-1,п)

(т,п)

а о

[

0 (

Л )

Р и с "

1 3 -

а , = 4 [ - 1

0(Л)].

Аналогично будет обстоять дело и в других примерах, кото

рые нам

встретятся.

Посмотрим теперь, как можно строить

для

задачи

(4)

раз

ностные схемы

u°m =

^>(mh)

более общего вида, связывающие

значения

искомой

функции

в четырех точках, изображенных на рис. 13.

Шаги сетки снова свяжем равенством

х — rh,

г — const,

введем обозначение Лл, положив

V № , s

« 4 +

+ «

+ a-M-i

+ a A + r

0 D

Для всякой достаточно гладкой функции u(x,t)

помощью

формулы

Тейлора

можно

написать

Л Л ["1л Umft, == (й°

+ Й0

а \ +

a - l )

" ( m f l >

П Х

)

t=nx

a?rhut

(mh,

nx) +

(a, — a_,)

hux

(mh,

nx)

a°r2h2utt

(mh,

nx) +

(a,

a_,)

ft2^

(mft,

пт)

0 ( a W ,

a,ft3,

a_,ft3).

(12)

т->

части этого равенства

член

du,

Выделим

в правой

Ли = -7п

ох

воспользовавшись

для

этого

тождеством

ux-\-

Аи.

Имеем

Л л Мл U m f t

, =

а°гЛЛ« | ^ т

Й 1 +

(а0

а0

а, +

а_,) " (mft, лт)

(a°r +

ах — a_j) hux

(mh,

пх)

a°r2h2uit

(mh,

пх) +

- j ( a i +

а_,)

ft2^^

(mh,

пх) - f

О ( а № , a,ft3,

a_,ft3 ).

§ 22. ПОСТРОЕНИЕ АППРОКСИМИРУЮЩИХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

[95

Если

предполагать,

что величина

0(a°r3h3, axhb,

а_]/г3)

доста

точно

мала, — это

предположение

подтвердится в дальней

шем, — то для выполнения условия

аппроксимации

^n[u}n)x=mh=mx^mh_

t=nx

o(h)

t—nx

необходимо,

чтобы

четыре числа

а0 ,

аь

а-i

удовлетворяли

следующим

трем

равенствам:

<firh

Oi(h),

а° + й0

+ Й1 + а - 1 = 0

О2(Л),

(а°г +

а, -

а_,) h =

0 +

0 3 (И).

Положим,

как

условились,

произвольные

величины

0\{h),

02(h), О3(h)

порядка

равными нулю. Получим

систему

урав

нений

а°гА=* 1,

a0 +

ai +

a - i = 0 ,

(13)

a°r +

a, — a_! = 0.

Если эти условия выполнены, то

лЛ[«]„ Um f t ,	=	t=nx		+ у	a°r2h2utt (mh, пх) +
	=	Л и \|	л	+ у	a°r2h2utt (mh, пх) +
		'x=mh
<=>пт
	+	-я- (ai	- f a-i)		(tf*A, ят) + О (a°r3h3, a,A3 , a _ jA 3 ) .

Система (13) имеет много решений — семейство решений, зави сящее от одного параметра. Одно из этих решений:

			a_, = 0 , a0 = •		1	a, =
	rh	'	a_, = 0 , a0 = •			a, =
	rh	'
дает уже рассмотренную схему				(5). Решению
o _ _ L			1		1	2h
а ~	rh '		аг, = rh'	а ~ ] ~2h		2h
соответствует	схема
			..n+l			• q>(mh, nx),
LhuW	=				2h	• q>(mh, nx),
LhuW	=				2h	= of, (mh).
					tfl	= of, (mh).

Выбрав какое-либо решение системы (13), надо его под ставить в остаточный член и убедиться, что он мал. Для двух

196

ГЛ. 7.

ПРИЕМЫ

ПОСТРОЕНИЯ

РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

сейчас приведенных

решений

подстановка

чисел

а", а0,

ait

а_4

дает

остаточные

члены

порядка

0(h).

Среди

гладких функций u(x,t)

есть

многочлены

второй

сте

пени, для которых d2u/dt2

и д2и/дх2

принимают в любой

фикси

рованной

точке

любые независимые наперед заданные значе

ния.

При

этом

член 0(a°r3h3,

a\h3, ct-\h3),

в который

входят

третьи производные многочлена u(x,t),

обращается

в нуль. По

этому

для того,

чтобы остаточный член был порядка h, необ

ходимо, чтобы коэффициенты при d2ujdt2

и д2и/дх2

каждый в от

дельности

были

порядка h. Поскольку из первого уравнения

(13)

имеем a°=l/(rh),

то коэффициент при d2u/dt2

есть

rh/2

и порядок остаточного члена всегда не выше первого.

Мы установили, что нельзя

построить разностную схему

вида

(10),

которая аппроксимирует задачу

[

ди

LuJi

~ ^

= ф

(

Х '

0 ,

и(х,0)

$(х)

с порядком h2.

Для

увеличения

порядка

аппроксимации

при

шлось бы увеличить число точек разностной сетки, используе мых в конструируемой схеме.

Укажем некоторый способ, позволяющий все же построить разностную схему с аппроксимацией порядка h2, использующую только четыре указанные точки разностной сетки. Способ по вышения порядка аппроксимации, который мы сейчас изложим с помощью примера, носит общий характер. Оказывается, что

можно подобрать коэффициенты а°,			а _ ь а0, а{			так, чтобы вы
полнялось	равенство
Л Л [и] Л = а°и (mh, (п +		1) т) + а_хи ((т — \)h,			пх) +
	+ а0и (mh, пх) + ахи ((т +			1) h, пх) =
=Аи+4	к л « ) ' + ( Л " ) * ] u m h . + 0		(	« 2	) =	u м + 0 («2)>
где	S	t=nx			K m	n>
где
E — оператор умножения на единицу. Тогда ввиду Ки — щ — их =
= <$(х, t)	разностная	схема

u% = ty{mh),

§ 22. ПОСТРОЕНИЕ АППРОКСИМИРУЮЩИХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

197

где


	Ф£ = (Ph4)x=mh		=	Ф +	Т "	(Ф* + Ф*)	Umft..
		<=ят				<=г а 1 :
будет	аппроксимировать		рассматриваемую				дифференциальную
задачу	на решении	u(x,t)	со	вторым		порядком		относительно /г.
Коэффициенты		а0, а _ ь	а0 ,	ai	снова могут			быть подобраны

методом неопределенных коэффициентов. Они оказываются сле дующими:

0	_	1	_	1 , г	_ 1 - г	_	1 + г
А	— ТА ' а ° ~ " Т л + Т Г *				а - ' ~ а	' ~	W
Оператор		Ап	при этом	получается таким:

Методом неопределенных коэффициентов можно не только

подобрать коэффициенты	а0, а-ь ао, Яь при	которых
Л А [«]„ = а°и (х, t + т) + а_!« (л: — /г, t) +
+	а0 и (л:, t) + а[« (л: + h,	t) = Ря Лы + О (/г)2

при выписанном выше операторе Ри, но и построить все такие операторы.

Покажем, как это делается. Считая, что

ЛА „<» -		Л » * 1 + а^,«»			+	а 0 < +			«,«&+„
и пользуясь формулой Тейлора, получим
Л-я М л 1*=лг«, =	( а ° + а	° + а '	+ a ~ l )	" (m h >	п т	) +
<=ят
+	a°rh	и{ (mh,	пх) + (а[-}-'а_])			hux	(mh,		пх)	+
+ -i- a°r2h2uff		(mh,	пх) +	~ (a,	+	a_,)	A 2	^	(mA,	гат) +
						-fO(a°/"3 A3 , a,A3, a_,A3 ).					(14)
Это выражение	мы сейчас преобразуем. Начнем						с	вывода		тождества
		д2и	д2и	, . . .		, . . .

которое вытекает из определения Ли:

198

ГЛ.

ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ

РАЗНОСТНЫХ

СХЕМ

Доказательство

содержится в цепочке очевидных

тождеств:

д2и

( ди ,

, j

д2и

. , ,

dt2

~ \ дх +

Н =

т а г + ( А и ) ' s

u t + (

Л и )

(и* +

rN-

и** + (Ли), +

(Ли),.

Аи)

Используя эти тождества, можно выражение (14) переписать в следую

щем эквивалентном

виде:

Л Л

Ы]к

\ х = т п >

= a°rh (A«)» + 1

а°л2 А2

[(Ли), +

(Ли),]»

<=пт

(а0 +

а0 + Л! + а - i ) и (тА, ят) + (а°л +

ai — a - i) Аи^ (mA, ят)

+ [ у а°л2

+ 1

(а, + а - , ) ] А*я« (тА, ят) +

О ( a W , а,А3 , а-,Л3 ).

(15)

Построим оператор

Ah,

удовлетворяющий

условию

Али = Рк Ли +

0(А 2 ) .

Члены,

содержащие Ли,

(Ли)*,

включим в

выражение РнАи, по

скольку

выбор оператора

РнАи

в наших руках. Все остальные члены:

(а 0

+ а 0 +

а_, +

аО и (тА, ят),

(а°г +

— a_i) Аи* (mA, ят),

a°r2 + а, + а_, 2

, .

"** ^ т Л ' Я Т ^'

О (a0 /-3 A3, a [A3, a_jA3 ),

обязательно войдут слагаемыми в остаточный член равенства

АЛ [и]п = Pf t Aa + ост. член,

как бы мы ни выбрали оператор Рн- Справедливость последнего утверждения доказывается тем, что среди функций и(х, t) существуют такие, для которых и, и*, ихх, Ли, (Аи)х, (Au)j принимают в любой фиксированной точке (Хо, to) любые, независимые друг от друга, наперед заданные значения и0 , и°, ихх, (Ли)0 , (Ли)0 , (Ли)0 . Такой функцией является, например, многочлен

Р (х, 0	= и0 +	«° (* -	х0) +	[(Ли) 0 + и°] (/ -	t0) + 1	и 0 , (х - x0f	+
	+ у	К +	+	( Л «)?] (' ~ tof +	[ « & +	( £ « ) £ ] (* -	*о) (' - У -
Ввиду	независимости		значений и, и», и*, Ли, (Au)j, (Ли) при любом вы

боре оператора Ph для аппроксимации второго порядка необходимо, чтобы

каждое в отдельности слагаемое, входящее в остаточный член,				было по
рядка А2. Это требование можно записать такими равенствами:
ао + a 0	+ а.\	+ a - i	— О,
(afr +	a , +	я - , ) я	= 0,	(16)

(aQ r2 + a, + a - , ) A J = 0.

§ 22. ПОСТРОЕНИЕ АППРОКСИМИРУЮЩИХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

199

Решение системы

(16)

определено

точностью

до

множителя. Дополним

эту систему

уравнением

a0rh=\,

(17)

которое выражает естественное, хотя и не

необходимое

ограничение

на

вы

бор оператора Я*: коэффициент при (Ли)

выражении РьАи

равен

еди

нице.

!ь

правые

части

равенств

(6),

(7)

можно

было

бы

добавить

произволь

ные слагаемые

Oi(h2),

02(h2),

Оз(А2 ),

0 4 (Л 2 ),

но

мы

считаем

их

равными

нулю, как условились.

a0,

a~lt

а0,

Решая

систему

уравнений

(16),

(17),

получаем

коэффициенты

а ь

которые

были уже

нами

приведены:

. г

a-i

l + r

: 7 Р

a ° - ~ 7 h + T '

При этих значениях коэффициентов остаточный член

равенства

(15)

Л л

[и]„ = Аи

- у - (Ли), +

(Аи)х

+ О (a°r3h3,

а,Л3 ,

а_,А3 )

РнАи

О (а°л3 /г3 ,

axh\

a_,A3 )

удовлетворяет

оценке

| О (а°г3 А3 ,

а,А3 ,

а_,А3 ) | <

A (r2h2

Л2),

где

А — некоторая постоянная,

зависящая

только

от

максимума

значений

абсолютных

величин

производных

третьего

порядка

функции

и(х,

t).

Это

можно записать также в форме

|Л„ [ и ] А

- Р А

\ n

m ^ A ( r 2

+ l ) h 2 .

Итак, мы установили, что с точностью до несущественных изменений только одна разностная схема

ul+'	-	и"	"m+I		— " т - 1	т	M m+I "~ 2 " т	+	" т - 1
					2h		h2
1 А и < » =				• Ф + Т " ( Ф <		+	Фх)] x—mh,		(17')
				• Ф + Т " ( Ф <		+	Фх)] x—mh,
							t—nx
			u°m	=	^(mh)
среди всех разностных схем				вида
		( а ° и » + 1		+ а _ 1 « * _ 1 +		а 0 и » + а 1 В » + 1 = Р А ф \| » ,
h u m	—	\
		\					и°т	=	ф(т/г)

аппроксимирует дифференциальную краевую задачу (4) на решении и(х, t) последней со вторым порядком относительно Н.

Во всех рассмотренных до сих пор в этой главе примерах разностных схем /.„«(") = /№ оператор L h , который отображает

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 4120 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ