Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 4116 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

150 ГЛ. 5. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ

если по-прежнему А = 20

и ставится

та же

цель

удовлетворить

условию

6(1)

< 1.

(3)

"(О

Решение этой задачи имеет вид (см. равенство

(12)

из

§ 8

при

b =

1):

= e-Ax"

+ h2 2Ахп -

А 2 - А

Х П

еА'п]

О (/г3).

Ошибка, таким образом, имеет вид

б Ы

А2е~Ах«

+ ( - 1)»

О (/г3)

Пренебрежем

слагаемым

О (/г3 ),

выпишем

отношение

ошибки

6(#п) к точному решению

и(хп)

— е

' п и определим шаг h из

условия

(3).

Этот шаг

окажется

столь

малым,

что

если

условно принять машинное время расчета по схеме (1) за одну

секунду, то по схеме (2) придется затратить	около	четырех
суток!
Дело в том, что оценку практической пригодности		той или
иной схемы для решения определенной задачи	следует делать

не только по степени h, входящей в выражение погрешности, но еще и по коэффициенту при этой степени.

Теперь постараемся понять, как можно судить о пригодности

той или иной разностной схемы		Lni№	=	/W из исследования ее
устойчивости. Для краткости записей				будем	считать		оператор
I / i линейным. Напомним (см. §		12),	что	разностная		схема		назы
вается устойчивой, если при любом /<Л) е				F n она однозначно				раз
решима, причем решение ы( Л ) е		11к	удовлетворяет			оценке
Доказывая в § 12 теорему о том, что из аппроксимации и
устойчивости следует сходимость, мы получили для						погрешности
г№) = [и]п — и(Н)	неравенство
	\|2<»lkV	CCxkk,						(4)
в котором C{h	представляет	собой оценку			величины		погреш

ности аппроксимации:

l M « W ( W l k < C i A * .

\|\| г	Пусть		ошибка аппроксимации	Cxhk мала. Из	оценки	для
\|\| г	т	\\цА	видно, что для малости	величины \|\| [н]Л	— u<f> \|\|у	надо
	т				t

§ 17. КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УСТОЙЧИВОСТИ

151

еще, чтобы не был слишком велик коэффициент С, характери зующий устойчивость.

Поэтому, если мы хотим выяснить пригодность той или иной разностной схемы для решения интересующей нас задачи, мало знать, что схема устойчива. Нужно еще знать примерно вели

чину коэффициента		С, суждение о которой можно получить спо
собами, указанными в §§ 14, 15, экспериментальными			расчетами
или каким-нибудь косвенным образом.
Подсчитаем, например, коэффициент С для разностных схем
(1)	и (2) решения	задачи и'-\- Аи = ср (лг), «(0) — а,	о которых
шла	речь в начале	параграфа.

Сначала рассмотрим схему

U n +

l ~ U n

Aun

c?n,

•0,

N - l ,

и0 =

при нормах

] » № ) L A

max|«„

l/wIF/k = max[|a| ,

т а х | ф „ | ] .

Приведем

ее к

виду

уп+] = Rhyn

+ hpn,

у0

задано,

положив уп

ип, Rn

— Ah),

р я = ф„. Положим

\\уп\\ =

Тогда

условия

(17)

из

выполнены:

II " < / г ) 1 1 г / л < С 2 т а х | | У п

iipj<c2 ||H|F f t ,

1 Ы К С 2 | | Г "

причем

можно

положить

С 2 = 1 .

Далее,

очевидно,

J R l l =

(1 — Л/г)". Поэтому

можно

жить С =

2 max [1, (1 — Л/г)"]. Отсюда

если

Л >

2(1 — Ahf,

если

Л < 0 .

\уп\-

(5)

поло

Покажем, что число С нельзя взять существенно меньшим. Нормы выбраны нами так, что выполнены и условия (&) и (7) из § 15;

ЫН)Ьк>Мхты\\Уп\\.

(6)

152

ГЛ. 5. СХОДИМОСТЬ,

АППРОКСИМАЦИЯ

УСТОЙЧИВОСТЬ

а при

<p„ =

(р„ =

также

1 Ы 1 > М 2 | | / № > 1 к ,

(7)

причем

можно

положить

Л 4 1 = М 2 = 1 . Поэтому

постоянная С

обязана

удовлетворять,

как

установлено

15,

оценке

OMiM2max\\Rnh\\:

{

если

А > 0,

{

(1 -

Ah)N,

если

Л < 0 .

Теперь оценим постоянную С, входящую в определение

устойчивости U ( W | y A < C i / ( f t ) I F

. для

разностной

схемы

(2). За

пишем

ее в

виде

уп+\ = R„yn

hpn,

я =

1, . . . . 1

Уо

задано,

положив

для

этого

Уп =

' 2ф„"

. Un

2 Ah

Уо:

(1 -

Ah)'

Выберем

нормы

II и<« \\Uh =

m a x I un

Фл

I I P 11 =

= m a x [ | a I, I p I. m a x | ф „ | ] ,

= m a x [ | ^ ) | , | i r « ) | J .

Тогда

выполнены

условия

(5) — (7),

причем

С2 = М{

= М2 = 1.

Поэтому

силу

п. 3

из

14 в

качестве

постоянной С

можно

взять число

С = 2С2

max || Rt || =

2 max [ Rh ||,

но в силу

(6")

из § 15

пп

нельзя более чем вдвое уменьшить его: заведомо должно быть

С > МХМ2 max || Rnh || = max || Rnn ||.

§ 17. КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УСТОЙЧИВОСТИ

153

Оценка сверху для величины тах||/?"|| была получена в § 14:

- 2 Ah

< ( 1

A\h)N.

Поэтому можно положить

C =

2 e 2 ^ l > 2 ( l + 2 |

А\п)т.

Оценку

снизу

для

т а х | | Я л |

получим

из

условия

| R"h\>[ к \п,

где К—-большее

по модулю

из двух собственных чисел матрицы

Rh.

Решая

уравнение

det(Rh

— ХЕ) =

найдем

собственные

числа:

Я, = 1

Ah + ^ 1

0 ( / г 2 ) = 1

Ah + O (h2),

= - 1 - Ah - A2h2

+ О (h2) :

- 1 - Ah + О (h2),

так

что

max (I

Я, I,

Я2 |) =

1 + \A\h

0(h2),

max J Rnh

\ =

(\+\A\h)m+0(h).

Поэтому

найденную

выше

постоянную

С = 2 е 2 |

л 1 заведомо

нельзя заменить числом меньшим, чем (1

-\-\A\h)l'h

т. е.

нельзя

существенно

умень

шить.

А = 20

При

для

первой

схемы С =

для

второй

заведомо

о 20

108

При

Л «

или

А < 0

свойствах устойчивости

обеих

схем

нет

коренного

различия:

постоянная С для обеих схем

примерно

одинакова.

Рис. 4.

Легко

понять

механизм,

силу

которого

при

/1 >

1 по

стоянная С для второй схемы много больше единицы, в то время

как для			первой С — 2.
	Общее решение однородного уравнения ип+\— 0								— А п ) и п =
=	0,	соответствующего			схеме		(1), есть un = aqn,		где q — ко
рень		характеристического				уравнения		q—(1—Ah)	— 0, q —
=	1—Ah		(рис.	4). Общее решение				однородного	уравнения
				un+i	+ 2Ahun		— u„-i — 0,
соответствующего				схеме	(2),	есть

154 ГЛ. 5. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ

где q\ и Цч — корни характеристического уравнения

q1 + 2Ahq		— 1 =	det (Rn		-	qE) = О,
<7r	l-Ah	+ ^	+		o(h2),
q2-	1 -	Ah	A2h2	+	о (ft2).

Корень q\ «похож» на корень				q—\—Ah,			и	ему		соответ
ствует решение qf,	похожее на		решение			qn	первого		уравнения.
Но «паразитический» корень q2			= —1 — Ah +				О (ft2)	дает		быстро
	и	возрастающее «паразитическое» ре-
	' *	шение		q2	(рис. 5), которое					и обус
		ловливает большое значение								С.
			При	отрицательных					А	будет
		q >	1,	qi >		1, \|<7г\| <		1.	Решения*?"

Рис.

и qf,

соответствующие

корням

q и q\, примерно

одинаково

быстро

растут,

а паразитическое

решение q2

затухает,

не

ока

зывая влияния

на характер устойчивости второй схемы

(рис.6).

Отметим, что большое

значение С при А <С 0 неизбежно

для

любой разностной схемы, приближающей задачу

и'-\-Аи

— 0,

и(0)

а. В самом деле,

при малых h решение устойчивой

раз

ностной

задачи

похоже

на решение дифференциальной

задачи,

к которому оно при ft->0

сходится. Но решение дифференциаль

ной

задачи

и =

и0е-Ах

таково, что т а х | « ( л : ) |

| ы 0 | е - А х ,

т. е.

max|u(x)|

в большое

число е~А

раз превосходит

модуль

|ы 0 |

начального значения «о-

Мы должны еще отметить, что большой коэффициент С ве

дет

не только к

необходимости расчетов с мелким

шагом,

но и

к большому числу десятичных знаков, с которым

приходится

вести вычисления.

§ 18.	П Р И Е М	И С С Л Е Д О В А Н И Я У С Т О Й Ч И В О С Т И	155
В самом деле,	в §	16 мы показали, что ошибки	округления

можно включить в ошибки при задании правых частей, которые


оцениваются величиной Cihh.		Увеличение		этих ошибок вызы
вает	увеличение коэффициента	С ь	что при большом С в силу
(4)	может катастрофически сказаться на			точности результата.
В заключение этого параграфа			мы хотели бы еще предосте

речь читателя от ложного впечатления о схемах второго порядка точности, которое могло у него создаться из рассмотренного примера. Мы вовсе не хотим опорочить все такие схемы, опи сывая недостатки одной из них. Читателю будет очень полезно провести самостоятельное изучение схемы второго порядка точ ности вида

	Г	+ А	2		=	0 '	(
				Ы 0 = 1 .			J
Стремясь добиться, чтобы при А =				1	погрешность			6(1)	была
меньше, чем «(1)	= е~А,	он убедится,			что эта схема			наклады
вает менее жесткое ограничение на				шаг		h,	чем схема первого
порядка точности	(1).
Кроме того, советуем прикинуть, с каким шагом надо инте
грировать задачу	и' -+- и = 0,		м(0) =		1, чтобы получить				в и(1)

погрешность не более Ю - 5 . Если читатель проделает эту при кидку для рассмотренных в начале параграфа разностных схем

(1) и (2), то увидит, что схема первого порядка точности (1) требует значительно более мелкого шага, чем схема второго по рядка точности (2).

Таким образом, выгодность или невыгодность той или иной схемы зависит не только от нее самой, но и от задачи, к которой она применяется.

§ 18. Прием исследования устойчивости нелинейных

задач

Способы исследования устойчивости, изложенные в §§ 14 и 15, были непосредственно приспособлены для разностных урав нений с постоянными коэффициентами. Поэтому может пока

заться, что нельзя использовать приведенный						в этих		парагра
фах материал для анализа схем интегрирования даже								уравне
ний - ~ —G(x,		и) с довольно общей функцией				G. Однако это
не так.
Пусть	интересующая		нас	интегральная	кривая		уравнения
			*L	= G(x,u)				(1)
проходит	через	точку с	координатами х =		х0,	и =	«Q .	Вблизи

156

ГЛ. 5. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ

УСТОЙЧИВОСТЬ

этой точки

имеем

G(x,

и) ~

д 0 ( д х ; и )

{и -

и0) + d G { £

и )

(х -x0)

+ G (х0,

иа),

(2)

и поэтому

уравнение (1) с определенной точностью

может

быть

заменено более

простым:

*L-Au-=*<f(x),

(3)

где

дО (х,

и)

ди

Х—Ха

dG (х, и)

И=«о

^ /

(у

_ у

) _

9 0

(*<

»)

Ф (*) =

G (х0,

щ) Н

X— XQ

I X — • XQ

Естественно, что схемы, которые мы хотим применять для нахождения нужного решения, должны хорошо интегрировать уравнение (3), аппроксимирующее уравнение (1) вблизи неко торой точки, через которую проходит интегральная кривая. Ко нечно, для разных точек этой кривой величина коэффициента А, полученного описанным способом линеаризации исходного урав нения, будет различной. Поэтому, отбирая ту или иную разност ную схему, мы должны будем ее проверить на уравнении (3) не с одним значением А, а с целым набором таких значений, до статочно полно описывающим диапазон изменения dG/du вдоль интегральной кривой. В подавляющем большинстве практически встречающихся случаев такого исследования оказывается до статочно для выявления всех существенных недостатков и до стоинств схемы, относящихся к характеру сходимости получен ных по ней приближенных решений.

Такой же метод построения модельных уравнений может быть применен и в случаях систем уравнений и уравнений выс ших порядков.

В действительности вычисление решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений без особенностей обычно производится по одной-двум довольно универсальным, хорошо апробированным схемам, для которых на современных вычислительных машинах имеются стандартные программы.

Если приходится с очень большой точностью решать задачи специального вида, то применяются многочисленные специаль ные схемы, приспособленные именно для этих задач, но усту пающие универсальным схемам при решении другого круга задач.

Г Л А В А 6

У П О Т Р Е Б И Т Е Л Ь Н ЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

§ 19. Схемы Рунге —Кутта и Адамса

Изложим здесь некоторые употребительные разностные схе мы решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка

— G (х, и) = О, 0 < * < 1, I

и(0) = а.

Вконце параграфа эти схемы будут перенесены на системы дифференциальных уравнений первого порядка, к которым сво дится общий случай уравнений и систем любого порядка.

Выберем на отрезке 0 ^ х ^ 1 сетку точек

0 = х0 < Xi < *2 < • • • < x N - i < xN = \, xn = nh, h = l/N,

и будем составлять разностные схемы для приближенного оты скания таблицы [u]h значений решения и(х) на выбранной сетке.

С простейшей употребительной схемой мы уже встречались. Это — схема Эйлера

(				Щ =	а,					(2)
(				Щ =	а,
обладающая	первым порядком			аппроксимации				(и точности).
Вычисления		по	этой схеме	имеют		простой		геометрический
смысл. Если ип		уже вычислено, то вычисление
			ип+\ = un + hG(xn,				ип)
равносильно	сдвигу		из точки	(хп,	ип)	в	точку	(хп+и	«n+i)	на
плоскости Охи		по касательной		к интегральной				кривой	и =	и(х)
дифференциального			уравнения	и' =	G(x,		и), проходящей через
точку (хп,	ип).

158	ГЛ. 6. УПОТРЕБИТЕЛЬНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

Среди схем более высокого порядка аппроксимации наиболее употребительны различные варианты схем Рунге—Кутта и Адамса, которые мы опишем и сопоставим.

1. Схемы Рунге — Кутта. Пусть значение ы„ приближенного решения в точке х„ уже найдено и требуется вычислить ип+\ в точке хП+1 = хп-\- h. Задаем целое / и выписываем выражения

ki — G (хп,

ип),

— G (хп

а/г, ип

ahk{),

= G (хп

р/г,

и п

+ р / г £ 2 ) ,

= G (хп

yh,

ип

yhki.y).

Затем

полагаем

Lhu™

( р

+ . . .

+ptk,)

0K n =

0,h

...,N-l,

и0

= а.

Коэффициенты а, р, . . . ,

у» Рь Рг>

• • •> Pi подбираем

так,

чтобы

получить при заданном

/ аппроксимацию

возможно

более вы

сокого порядка. Зная ип,

можно

вычислить

затем

ип+\

=ип

hipiki

...

Pikt),

Простейшей схемой Рунге — Кутта является схема Эйлера

( / = 1 ) .

Схема Рунге — Кутта

««+.-«»		_JL{kl		+	2k2	+	2k3 + k4)		= 0,
LhuM	h
LhuM		п = 0,		1		N — 1,			(3)
где								щ =	a,
где
ki =		G (хп,	ип),
k2	=	G[xn+^,	2		ипЛ-Щ-
			2
k3	=		h_		,	k2h\		•
k3	=	G[xn+^r, 2		. tiы„n -+Г		—)	h	•
						h	h
k3	=	G (хп +	h,	ип	+	k3h),
имеет четвертый порядок аппроксимации.

§ 19. СХЕМЫ РУНГЁ - КУТТА И АДАМСА

159

Схема Рунге — Кутта

f	Un+i	— ип	2а	-*. +	25-*»]=0в
- I		4	2а	-*. +	25-*»]=0в
		4				(4)
		я =	0, 1	Л/ — 1,		(4)
где
&i = G (хп,	«„),	/г2 =	С (*„ + а/г,		и„ +	ahkx),

при любом фиксированном а имеет второй порядок аппрокси мации.

Мы докажем только утверждение о схеме (4). Доказатель ство утверждения о схеме (3) аналогично, но более громоздко.

Решение и(х) уравнения и'— G(x, и) удовлетворяет тождествам *

- ^ - = 0 (х, и О)),

	d2u	d _,
	dx2	dx
Поэтому из формулы	Тейлора
и (хп +	//) — « (хп)
	А

. dG , dG _ dx du

•• и' (хп) + j и" (хп) + О (А2 )

для решения	и (х)	следует равенство
и (xn	+ i) —	и (хп)	(5)
			(5)

«=" (*«)

Но,

разлагая

по А функцию двух

переменных

по формуле

Тейлора

удер

живая члены

первой степени,

получим

2 а -

2а

2 а - 1 G +

4-G(х

ah, и +

аАО)

2а

х = х п

2а

-лп

"="

(хп)

2а -

+ 2а

2а

«=« (*„)

+ О (Л2).

(6)

" = и

(*п)

Поэтому при подстановке в левую часть

равенства (4) вместо ип и

un+i

соответственно

значений и(х„)

и(хп + ,)

решения

и(х)

получится

выраже

ние,

совпадающее с

левой частью

равенства (5)

с точностью до О (Л2 ).

Сле

довательно, это выражение имеет второй порядок относительно А. Поскольку

значение	и0 — а задано	точно, этим завершается' доказательство того, что
схема (4)	имеет второй	порядок аппроксимации.

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 4116 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ