книги из ГПНТБ / Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле

П р и подстановке (5.51)

в уравнения (5.10), (5.11)

последние

приводятся к виду

]

А1

(5.52)

F"=

-|-

(f"F—fF")

с условиями д л я скоростного ПОЛЯ

/'( +

<*) =

1 + л , / ' ( - с о ) =

1 - л , Х= и ' ~ и * ,

(5.53)

к которым присоединено дополнительное допущение

Г(0)

= 1.

-

(5.54)

/ " ( ± о с ) = 1 .

(5.55)

Следуя

работе [26], представим

решения

д л я

f

и

F

в

виде

ряда

по степеням X:

/ = 2 ( £ + л . / , + Л2 /2 + - ) , F = 2 ( S + ^ , + № + - ) ,

? = у -

П о д с т а в л я я

эти в ы р а ж е н и я

в

(5.52)—(5.55)-

п

суммируя

коэффициенты

при "одинаковых

степенях п а р а м е т р а

X,

получаем

/ w

1 + 2 S f ' / , - 2 A l £ F , , , " = 0 ; -

F"l

= 2 ^ t r l

- 1 ^ \ + F,-U)

( 5 ' 5 6 )

с

условиями

Г і ( +

оо) = 1, / , , ( - o o ) = - l , \ f ' 1

( 0 ) = 0 ,

F , ( +

oo)=0,

^ ( -

0 0 )

=

0

и т . д.

(5.57)

После

д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я

второго

уравнения

(5.56)

систему

уравнений первого приближения можно привести к одному

у р а в - .

нению второго порядка д л я функции

ср—/"\.

Сф"+[2 (1 + р) £2 - 1 ] Ф ' + 4 р (І - А1)

= 0,

о б щ ее решение которого есть

ф = /". =

С і Є - 0+«+Р)Р +

С2еа? ,

где а — корни квадратного

уравнения

а 2 + а ( 1 + В ) + | 3 ( 1 - А 1 ) = 0 .

Легко,

однако,

проверить, что

cci + l + p =

— а2

и

а 2 + 1 + р =

='—ссь так что из четырех постоянных С\{а\,а2),

С2(а\,а2)

существенными я в л я ю т с я л и ш ь две, а решение запишется

в

виде

о

о

(5.58)

с

с

A l

J

A l

/

Условия

(5.57)

определяют значения

постоянных

Л*:

2 -і/

а і + р

.

2 л /

а г + Р

-

.

л

Л , = —

У - а і

н

, Л 2 = - — ^ - а 2

^ , Л 3 = Л 4 = 0.

у'л

'

а і — а 2

Узг

'

a i — а 2

В предельном

случае р = 0 имеем

решение

чисто

гидродина ­

мической

задачи:

2

ai = 0, a 2 = — 1 , Л 2 = 0, Л і = — = • ,

Уя

как

и д л я

случая A l = o ( a i = — р, a 2 =

— 1, Л 2

= 0, А\

=

^=\.

\

у я /

Решение

(5.58), однако,

является ограниченным л и ш ь при

А 1 < 1 . П р и

A l ^ l , вообще

говоря,

м о ж н о было

бы д л я

ограни­

ченности решения

положить

Л і = 0, к а к это было

сделано в п. 3.1.

О д н а к о при этом оказывается, что условия однородности

маг­

нитного

поля

(5.55) нельзя

выполнить. Действительно, при А1->1

имеем

а 2 - э — ( 1 +

Р),

аг-*-0, Л2 ->-

- = - = = ,

Лр-Я), Л 2

' . , - > •

УяУ1 + р

А

1

- ^ - = 7 = = .

т а к

что

F ' i ( ± c o ) ^ +

_ Н —

g

с

в о

ю

очередь,

поле

УяУ 1 +

р

1

"г Р

скоростей

деформируется

т а к и м

образом,

что

f i

( ± о о ) - > - ±

±

— ,

т. е. условия д л я

скоростного

поля

т а к ж е

не

выпол-

1 +

р

тока, ортогонального плоскости течения, что

граничные

условия

д л я Fr

приобретают

вид F'(±°°)

= 1±Х

либо

F'(±oo) = 1 + А , [27].

Д о

сих пор мы

р а с с м а т р и в а л и задачу

о смешении

потоков

в продольном магнитном поле. П р и попытке

поставить ту ж е за­

д а ч у в

поперечном

магнитном

поле в

безындукционном

прибли­

нородности скоростного поля на

к а ж д о м

из концов

промежутка

у=±оо.

Так,

в одном

из примеров, приведенных в

работе [28],

в качестве граничных условий приходится

полагать

u( + oo)

= Ui

х,

и( — оо) =

[72

х.

Р

Р

рошо развита . В лабораторной практике, однако,

где

часто

имеют дело с моделированием тех или иных реальных

М Г Д - п р о -

цессов,

пространственные

эффекты,

вызванные

присутствием

магнитного поля,

о к а з ы в а ю т с я настолько существенными,

что

они коренным образом перестраивают плоскую

(в

отсутствие

поля)

структуру

течения,

причем на

фоне этой

перестройки

занные

теорией

плоских

течений

(примеры

такой

перестрой­

ки

приведены

в

главе

V I I I ) . Это в ы н у ж д а е т

считать, что теория

плоских МГД - течений

имеет ограниченную

сферу

приложений .

В

то

ж е

время

теория

пространственного

МГД - пограничного

слоя, тем более пространственных струй (следов),

развита срав ­

нительно слабо, число рассмотренных конкретных

з а д а ч состав­

ляет единицы.

И з

работ,

связанных

с развитием теории

пространственного

пограничного слоя, в первую очередь необходимо

выделить ра­

боту К а р я к и н а

[2], в которой рассмотрены автомодельные случаи

д в и ж е н и я

жидкости

в л а м и н а р н о м

пространственном

М Г Д - п о -

ток

з а д а н

составляющими

вектора скорости u=U(x,

z ) , w —

= W(x,

z), а в вязком

трении

существен,

к а к и в плоском

случае,

а2

член

с

-щ^.

Анализ

условий

о б р а щ е н и я

исходных уравнений в

ных уравнений

позволяет

получить в о з м о ж н ы е

способы

з а д а н и я

величин

U(x,z),

W(x,z),

магнитного поля Hy{x,z)

и

функции

g(x,z)

в переменной автомодельности r\ = yg(x,

z).

Р е з у л ь т а т ы

магнитном

поле,

однако

они могут быть

использованы

и

при

а н а л и з е пристеночных

струй в духе Н а п о л и т а н о и М а н ц о

[3], ис­

следовавших э ф ф е к т ы поперечного течения в непроводящей

при­

стеночной

струе.

Другой

класс

з а д а ч

о пространственных

явлениях в М Г Д - п о -

граничном

слое

характерен тем, что внешний поток

з а д а '

ется лишь

одной

продольной составляющей скорости и = U

(х),

но зато становятся существенными градиенты величин

у ж е

в

двух направлениях (у

и z).

Типичным примером такого

подхода

м о ж е т служить анализ

д в и ж е н и я жидкости

в пограничном

слое,

о б р а з у ю щ е м с я на линии пересечения двух

плоскостей [4].

u—Uo,

Остановимся

на случае

однородного внешнего потока

(Ну —Н0).

Считая,

что

продольный

перепад д а в л е н и я отсутст­

вует, м о ж н о показать,

что д л я этого необходимо

распределение

потенциала

в д а л и

от пограничного

слоя в виде

ф = ц.£/0 Я0 .г. Л и ­

ционном приближении

введением

U=U—U0,

V = V,

W = W, ф =

= <$ — \LUQHQZ

и применяя обычные

допущения теории в я з к о г о

пограничного

слоя

(см. главу 1, стр. 20),

получаем

следующую

систему:

ИоаЯр

/

дт

(6.1)

р

\~дг

и0

1

др

1дЧ_

(6.2)

дх

р

ду

\

ду2

1

др

d2w

+ H0H0w

р dz + v ( ду2

дх

(6.3)

(6.4)

ди

(6.5)

дх

из

которой

следует,

что продольная с о с т а в л я ю щ а я

скорости оп­

ределяется

независимо

от двух

остальных

и д л я

ее

нахождения

необходимо л и ш ь

решить

уравнение

(6.1)

совместно

с

уравне ­

нием

д л я потенциала

(6.4),

после

чего

v, w

и р

определятся

из

(6.2) ,

(6.3) и (6.5).

по z и (6.3) по у и вычитая

Д и ф ф е р е н ц и р у я

(6.2)

(6.2)

из

(6.3) ,

м о ж н о получить

уравнение

д л я дг-составляющей

завих -

dv

dw

реННОСТИ СКОрОСТИ (йх—

~fe~~gjj~ '•

т,

д

(d2u>x

d2ax

\

і^аНо

I

д

дц,

dw

\

U o

^ a

x

= v \ ~ b Y

+

-ЫГ)

+

~ р — V - д Т ' д Т

+ ду-»НоI

'

к о т о р о е

показывает, что в отличие

от немагнитного случая,

где

н а ч а л ь н а я завихренность

потока

рассасывается

б л а г о д а р я

вяз ­

кости, при наложении магнитного поля возникает новый

меха­

низм влияния на завихренность, причем в зависимости

от

з н а к а

dtp

dw

^

~

и -^j-

завихренность

м о ж е т

либо

генерироваться,

либо

по­

давляться .

Другой

в а ж н о й

особенностью

пространственного случая

я в ­

ляется

то обстоятельство,

что в безындукционном приближении

электромагнитный

член

в

уравнении

(6.1) у ж е нельзя,

вообще

СШо2//ю2 / г,

\

говоря,

записать

к а к

—

(и —и),

т. е. электрическое

поде

П р о с т е й ш и м примером

пространственного пограничного слоя

м о ж е т служить

з а д а ч а

об истечении проводящей струи в

пространство

из

бесконечно

длинной

узкой щели,

располо­

женной

под

некоторым

углом

Эо к

направлению

магнит­

ного поля

(которое, к а к

было

обусловлено выше,

направлено

по оси

у).

Будем

искать решение д л я м а л ы х д о б а в о к и и ср в

ф о р м е

u=U(x)f(1]);

^=0(x)F(rl);

^

y v 6 ( x )

^

^ (

Вычислив

соответствующие производные от искомых функ­

ций, получим

из (6.1) и (6.4)

•і/

U0 U

dg

= »HoV

—

-o-dz-f

•

( 6 J )

Д л я

того

чтобы

уравнения

(6.6) и

(6.7)

перешли

в обыкно­

венные

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е

уравнения,

необходимо прежд е

всего,

чтобы

коэффициенты в этих уравнениях не

зависели

явным об­

р а з о м

от у и z. Обобщенное условие,

н а к л а д ы в а е м о е

на

функ­

цию g{y,z),

в таком случае принимает

вид

(/п, А, В — постоянные); при этом оба вязки х

члена

в уравне ­

нии

(6.6)

будут иметь один и тот

ж е порядок по

х,

т. е. порядок

величины

£ У б - ( т + 1 ) . О с т а в л я я в

стороне вопрос

о

классе

функ­

ций, удовлетворяющих

уравнения м (6.8), остановимся

на

случае

т=

1, А = 0 , В = 1. Тогда

условия

(6.8) переходят

в

и

° ф

н

и d g

/ R i m

уравнение

(6.7)

становится следующим: F"=f.

П р и н и м а я , что

при

у-+±оо

и

2 - > ± о о возмущение электрического поля, как. и

в о з м у щ е н ие

скорости, стремится к нулю, получаем F'=f, а урав ­

нение (6.6)

— в виде

s 4 ^ = a

= const,

+ N6 2

= -К=const.

(6.12)

дх

и ах

Выберем

м а с ш т а б

величины б

таким, чтобы о с = 1 . Тогда

реше­

ниями

(6.12) явятся

fi=yx

и

U=Ce-nxx-v°-,

Т а к и м образом,

анализ

пространственного случая

свелся

к

у ж е

проведенному

анализу

д л я

плоского

случая, поэтому

повто­

рять

его. здесь

нет

необходимости.

Отличие от

плоского

случая

состоит

в

том,

что

функция

g(y,z),

в х о д я щ а я

в

переменную

т|,

д о л ж н а

отвечать

условиям

(6.9), которые д а ю т

решение в

виде

g = kz + ny

( 6 2 + п 2 = 1 ) ,

где п и k имеют

смысл соответственно sin во и cos 0о, а

бо —

угол

м е ж д у направлением

поля и направлением

щели .

Величина

п а р а м е т р а N =

ff^W

(1-№)=

а ^

°

2

s

i n 2 0

o

pUo

pU0

тс

м а к с и м а л ь н а

при

0 О = - ^ - и

р а в н а нулю при

6о = 0,

т.

е.

макси­

мальное

воздействие

поля

имеет

место,

когда

поле

перпендику­

л я р н о щелевому

источнику. Если

ж е

магнитное

поле

п а р а л ­

лельно

щели,

то

оно не о к а з ы в а е т

воздействия на

скоростную

структуру течения.