книги из ГПНТБ / Римский-Корсаков А.В. Электро-акустика

\{х)=ду1дх

-

(3.115)

Разность

механических н а п р я ж е н и й (да/дх)/\х

по сторонам элемен­

та Ах д о л ж н а

уравновесить силу инерции и внешнюю

силу, дейст­

вующие

на элемент

стержня . Д л я простоты

будем

считать, что

внешняя

объемная

сила отсутствует. Тогда

уравнение

движения

запишется так:

pd2y/dt2

= dajdx,

(3.116)

где р — плотность материала стержня .

Уравнение (3.116) надо решить совместно

с ур-ниями (3.101)

или (3.101а),

чтобы

найти вид колебаний у(х).

Величина

тока, те­

- H i / 2

і = /3 j {dD/dt)dx.

(3.117)

д а/дх

= Е% д Цдх.

(3.118)

Д а л е е , воспользовавшись

(3.115), подставим до/дх из (3.118) з

(3.116):

р&у1дР

= Е%&у1дх\

(3.119)

у(х)

=YX

cos kx

-f- K 2 sin kx,

(3.120)

где Yi, )"г — произвольные

постоянные,

з а в и с я щ и е

от условий

на

границах

(торцах)

стержня, a

k = «y/(Eg/p)1/2.

И з

второго ур-ния

(3.101)

и

соотношений (3.115) и (3.120) найдем механическое на­

п р я ж е н и е

а(х):

а {х) = d g %

+

Е% ду/дх

=

= Е%

(d S + Уг k cos kx —Yxk

sin kx).

(3.121)

Теперь

с

помощью

первого

ур-ния (3.101) и (3.117)

найдем:

і =

і со [ &ЪШ 4 — 2 %

dY2

sin (kk/2)]

l3.

(3.122)

З а д а в а я с ь условиями на

концах

с т е р ж н я

x—±U/2,

легко

найти

Yx

и У2 и полностью

определить все п а р а м е т р ы

преобразователя .

Рассмотрим

пьезоэлектрический

стержневой

преобразователь

со свободным

концом .Гі = — IJ2;

второй

его конец

x=lJ2

будем

считать механическим

выходом.

Перемещение

y(U/2)

этого

конца

и действующая на него сила

F

будут,

следовательно,

определять

режим механического выхода. Тогда,

очевидно,

о ( — I J 2 )

=0

и

F

=

= S1 o(A/2), что даст на основании

(3.121)

два уравнения

для

на­

хождения величин Yi и Уг"

d % - f F 3

k cos

( Ш 2 )

+ Yik

sin (kkj2)

=

0

(3.123)

d % + Y2

k cos (kkl2)

— УгЫ sin (JWj/2)

=

FI{S1

EL)

Н а й д я с помощью

(3.123)

У, и У2 и подставив

в (3.120) и (3.122),

получим искомые

уравнения

пьезоэлектрического

преобразователя,

выполненного

в виде

стержня из

пьезоэлектрического

материала,

работающего

на поперечном пьезоэффекте, с одним свободным

кон­

цом и вторым

н а г р у ж е н н ы м :

v = (ctg kk)

(i S O - 1

(p Et)-y2F—і

со d {kk)~l

tg (JWi/2) U

г = — Ш { Ы 2 Г {

tg(kk/2)F

+ і соСс т [1— №+2\2(Щ~1

tg(kkj2)]U

где Si = kk

—

п л о щ а д ь торца

стержня,

к которому

приложена

сила

F=Sia{hl2);

v = my{li/2)

—

скорость

іконца

стержня;

С с

=

= 8 о

У з / 4 я / 2 —

емкость свободного

от

напряжений

стержня;

/ — ток;

U=

% 12

—

напряжени е

на

электрической

стороне

пье-

зопр еоб р а з о в ател я.

Уравнения

написаны в форме //. Коэффициент

преобразования

рассматриваемого

преобразователя

Mb

= ia>d(kl2)~4g{kli/2),

к а к

ническими резонансными свойствами стержня .

Величина механи­

ческой податливости преобразователя в отсутствие

электрического

напряжени я (т. е. когда

обкладки

преобразователя

замкнуты

нако­

ротко) г/и — ( i S ) - 1 ( p £ g

) - 1 / 2 c t g £ / i

показывает,

что в условиях £7 = 0

при возбуждении силой F стержень ведет себя

как

обычная

меха­

ническая линия, по которой распространяются

продольные

волны

волны,

то

kk

-С

1,

ctg kk fa

IKkU),

yn

«

l / ( i со p Si IT).

Так

к а к pSrh

— масса

стержня,

то,

как

и

следовало

ожидать, в

этом

случае

(т. е. на низкой частоте)

стержень под

действием си­

лы F движется как сосредоточенная

масса. Резонансы сил и ско­

ростей чередуются по мере повышения

частоты как

обычно: kU =

— ( 2 п + I ) я / 2

— резонансы сил . и

kU = nn

—

резонансы

скоростей.

Рассмотрим теперь наш преобразователь при отсутствии нагруз ­

ки на

механической стороне

(F = 0).

Тогда в соответствии со вто­

рым

из ур-ний (3.124)

ток . -текущий

через

преобразователь, может

быть представлен суммой двух токов:

V = 0 )

=

j <»c i u +

і » c о

(Ш2Г1

tg (кІг/2)

U.

(3.125)

Чувствительность такого

пьезоэлемента,

ка к приемника

давле ­

ния, имеет вид:

І и/р

і

= £ (/?//„) [ ( і

- х 2 ) k k c t g k k

+

я 2 ] - 1 .

(3.130)

При /г/і<СІ

имеем

\ Ulp\i=a=gl\llu

как и следовало ожидать . Пр и

kko.tgkk

= — А 2 (1 — А, 2 ) - 1

наступает

первый

резонанс. Пр и

грубом

приближени и

(А,=0)

-с увеличением

частоты

чувствительность

в

среднем

а)

1^

п а д а е т

к а к

l/(kik),

гори

kwk

=

- с п ь

= (2n + 1 ) я/ 2

н а б л ю д а ю т с я

резо ­

° — Г ~

нансные

выбросы

чувствительности,

а гори knl=nn

— минимумы .

о

1

В ы р а ж е н и е

(3.125)

относится

к

идеальному случаю — случаю пре ­

образователя, работающего без по­

терь энергии при д е ф о р м а ц и и

пьезо-

электрика . В действительности, та­

кие потери всегда имеются и,

к р о м е

того, механическая

энергия

теряет­

ся из-за 'Оттока ее в систему

-подвес­

ки с т е р ж н я

и, наконец,

н а

излуче­

ние в в и д е

акустических

волн

в

ок­

р у ж а ю щ у ю

среду.

Поэтому

ток

не

достигает бесконечно больших зна­

чений. iB эквивалентных

схемах

это

соответствует

наличию

небольшого

сопротивления

в плече,

и з о б р а ж а ю ­

щем эквивалент длинной линии. Та­

к а я исправленная

картина

д а н а

на

рис. 3.18. Появляется, конечно, до­

полнительно

активная

составляю ­

Рлс.

3.1в. Эквивалентная

схема

щ а я тока .

пьеэовреобразователя-двигателя

с

Предположим ,

что

потери

энер-

учетом

механических

потерь

в

ГИИ обусловлены

излучением

ВОЛН

кристалле (а), составляющие тока

колеблющимся концом стержня . Та-

преобразователя (б)

кое излучение

создает

нагрузку —

гл = —iakctg(A//2). Аш =

2ЯИ

сопротивление

излучения

на

меха ­

р ^1 1% Із

нической стороне. В случае излуче­

(2д + 1)я •, /

f i _

ния плоских волн сопротивление из­

лучения

чисто

активно. Д л я

просто­

ты будем

учитывать

лишь

активное

сопротивление

излучения

і?и =роСо5і. Поступая как и пр и

вычисле ­

нии (3.128),

т. е. п о л а г а я

У = — F / R m

легко

найти ток с

п о м о щ ь ю

ур-ний (3.124)

. Опуская

промежуточные

выкладки,

приведем при­

ближенное в ы р а ж е н и е дл я тока

вблизи

резонансов

сил с т е р ж н я ;

і » [ і © С

+ 2 и {d%

lafRz

(и — і ctg £ 4 / 2 ) _ 1 J

U,

(3.131)

где x = 7?i r S~1 ( f ^ p ) - ' / 2 — о т н о ш е н и е

акустического

сопротивления

излучения к волновому механическому сопротивлению пьезо­

электрического стержня .

Перепишем

(3.131)

несколько иначе-

і = і со С, U

+

і - і - S i

(р Eg) 1 / 2

(d£cg / з ) - 2

і

U.

Теперь

видно,

что эквивалентная

электрическая

схема

преобра­

зователя

д о л ж н а

быть

составлена из

двух

п а р а л л е л ь н ы х

ветвей

(см. рис.

3.18). П е р в а я

из

них, к а к

и

раньше, —

емкость

з а ж а т о г о

кристалла, а

вторая

—

длинная

разомкнутая

на

конце

линия,

на эквивалентного сопротивления определяется в ы р а ж е н и е м

г'э

=

—Rn(dE%

13)~2. Величина

волнового

сопротивления

линии

zx

=

= -—- Sx(p

E<gy/2(dE<gl3)~2.

Р а з д е л и в вещественную и

мнимую

со­

с т а в л я ю щ и е тока во втором слагаемом

правой части

(3.131),

по­

i = ic +

i r +

ix\

(3.132)

где іс =

і со С

U,

ir =

U г'э (/-;2 + z\ ctg2

km)-x,

ix

= iUzxctgkkl2(г'э2

+ z\ctg2kkl2)-'

.

r'3

= ±RAdE%l3)-2,

Сэ =

±с%&Е%13)\

L ' 3

=

~m3{dE%l3)-2.

ния уравнений преобразователя удобнее пользоваться

местными

уравнениями

в форме z

[см

(3.101а)],

откуда

вследствие

d/dxD = &

следует da/dx=EDd2y/dx2

и

равенство

(3.119)

примет

вид:

р д2 y/dt2

= ED д2

уїдх2.

(3.133)

Теперь, как видно, скорость распространения механической вол­

ны

определяется модулем упругости

в

отсутствие

поляризации

CLI =

(EDlp)>/2

. Д а л ь н е й ш и й

ход

выкладок

аналогичен

предыдуще ­

му примеру,

однако,

отыскивать

придется

не ток і (который теперь

прямо определяется

через поляризацию

i — lihdDldt),

а

н а п р я ж е н и е

+ Л/2

на о б к л а д к а х

U=

J

£(x)dx

с помощью

второго

из ур-нин

-Л/2

(3.101а) и ур-ния (3.133). Д л я пьезопреобразователя

с

продольным

лучим

уравнения:

U =

(і ш С 6 ) - 1

[ 1 — {V tg kl)lkl]i

—

(//і со) (1 —cos kl) c o s - 1 &

v

F

=

— ( / / i со) (1 — cos kl)

cos - 1

kl

і + і w tg klv

.. (3.134)

k

=

ш/яі,

ai = (ED/p)112,

w

=

ai p 5 i

Рассмотренные в

начале п а р а г р а ф а

3.11

соотношения

отно­

сятся к такому случаю, при котором вид деформации

пьезокрис-

талла и вид механического н а п р я ж е н и я

з а р а н е е

выбраны

и

счи­

тается, что они скалярно связаны между собой

модулем

упругости.

Точно т а к ж е заранее

выбран вид пьезоэффекта

и вид

электричес­

кой

поляризации этого

пьезокристалла . М е ж д у

тем

известно,

что

д а ж е

в изотропном упругом теле приложение

усилий

в

одном

на­

правлении вызывает деформации не только в

этом

ж е

направле ­

нии,

но и в перпендикулярных ему.

В

анизотропном

теле

— в

кристалле — упругие свойства еще более с л о ж н ы : связь

м е ж д у

на­

п р я ж е н и я м и и возникающими д е ф о р м а ц и я м и

зависит еще

от

ори­

ентации приложенных напряжений или деформаций

относительно

кристаллической решетки кристалла .

Так как

структура

кристал ­

можно считать,

что величина

и направление деформации кристал­

ла зависят от

направления

приложения усилий по отношению к

| = scr, которая

учитывает только

связь какой - то одной

составляю ­

щей д е ф о р м а ц и и |

с

одним

видом

н а п р я ж е н и я

а

через

м о д у л ь

гибкости s, в общем случае

п р е в р а щ а е т с я

в

систему

из

девяти,

уравнений дл я девяти составляющих %ц{:

feu

= S U

11 O i l +

S u 12 0"i2

+

• +

s l l 33 О33

1

s 12 11 O i l +

S12 12 СГ12

+

• +

S 12 33 С33

X>ik — Sik 11 °І1

ik pq ®pq

• ~r sik

33 О33

(3.138)

^33 — S S311 Oil ~T"

•

• •

~f" S 33 33 C33

Эта система

равенств

по п р а в и л а м ,

принятым

в тензорном

исчис­

лении, кратко записывается так:

iik

— Silt pq

Gpq-

(3.139)

З а п и с ь

(3.139)

предполагает, что

в

к а ж д о м

из

равенств,

относя­

щемся к данной комбинации значков ik, производится

суммирова ­

ние по всем

комбинациям значков pq, пробегающим

значения

1, 2,

3. Система состоит из ряда

таких

равенств

(в нашем

случае из де­

вяти), в к а ж д о м из которых

значки

ik имеют

определенную

комби­

нацию двух

из трех в о з м о ж н ы х значений

1, 2, 3.

Величины

Sihpg

составляют

квадратную таблицу из 81-го значения

и

представляют

нент Sikpq

сокращается

с 81 до 21, та к как

sik

pq

ski pq — sik qp — ski

(3.140).

: qp-

Р е ш а я

систему равенств (3.138) относительно напряжений,

по­

лучим

новое тензорное

в ы р а ж е н и е : о Р Ч — сРЧік%ш,

где c p

q i h

—

мо­

дули упругости, составляющие тензора 4-го ранга,

п р е о б р а з у ю щ е ­

го деформации

в н а п р я ж е н и я

opq.

С о с т а в л я ю щ и е

£ ^ с повторяющимися значками, т.

е. | « ,

£22.,.

£зз — это д е ф о р м а ц и и

с ж а т и я —

р а с т я ж е н и я вдоль

осей,

д е ф о р м а ­

ции gift при і ф к

— это деформации сдвига. Соответственно

напря ­

жения

а,:;г

при i = k —

нормальные н а п р я ж е н и я ,

а

Oik при і

ф

к —

касательные н а п р я ж е н и я . Вид составляющих

д е ф о р м а ц и й

и

на­

ным, ТО Н е о б х О Д И М О ПреДПОЛОЖИТЬ, ЧТО CTifc —CTfej И £ i b =

ifcj. В этом.

случае тензоры д е ф о р м а ц и й и напряжений становятся

симметрич­

ными и число независимых компонентов н а п р я ж е н и я

и д е ф о р м а ­

но: Ы = 1т, при этом, если i = k, то т—\,

2, 3, а если іфк,

то т = 4,

5, 6.

Иными словами, индексами 1, 2, 3 обозначают

три

независи­

мых

деформации с ж а т и я — р а с т я ж е н и я

и индексами

4, 5, 6 — три

Ряс. ЗЛ9. Вады

деформаций

упругого тела:

а — растяжения

(ожаггия);

б—сдвига

независимых

деформации

сдвига. Точно та к ж е

поступают и с со­

с т а в л я ю щ и м и

а. Д л я

перехода

от двойных значков

к одинарным

с л у ж и т т а к а я

таблица .

Т А Б Л И Ц А 3.1

ik или pq

11

22

33

23 или 32

31

или 13

12 или 21

т или п

1

2

3

4

5

6

С помощью этого перехода равенства

(3.139)

и

(3.140)

можно уп­

рощенно записать так:

(3.141)

Здесь т а к же , к а к и в

(3.139) и

(3.140), производится

суммиро­

вание по повторяющемуся

значку.

Величины

констант

упругости

с т п (или гибкости

smn)

определяют д л я к а ж д о г о

упругого мате­

риала (кристалла)

экспериментальным

путем.