книги из ГПНТБ / Римский-Корсаков А.В. Электро-акустика
.pdfО б о з н а ч ив д л я |
с о к р а щ е н и я zH+Zo=z3, |
|
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
U = z3i |
— Mv. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.5) |
||
Н а п и ш е м |
теперь |
уравнение |
равновесия |
сил |
на |
механической |
|||||||||||||
стороне |
нашего устройства. Д л я общности |
предположим, |
что к |
ка |
|||||||||||||||
тушке приложена извне сторонняя сила F. Если |
|
бы |
магнитное |
по |
|||||||||||||||
ле отсутствовало, то сторонняя сила |
|
F у р а в н о в е ш и в а л а с ь |
бы |
сила |
|||||||||||||||
ми, возникающими б л а г о д а р я сопротивлению катушки § 0 |
|
и |
меха |
||||||||||||||||
нической |
н а г р у з к е З н , тогда условие |
|
равновесия |
сил |
записалось |
бы |
|||||||||||||
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = |
(Зо + |
i„)v. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.6) |
|
О д н а к о б л а г о д а р я наличию |
магнитного |
поля, |
которое |
|
взаимо |
||||||||||||||
действует с токами, п р о т е к а ю щ и м и по катушке, |
на |
нее, по |
закону |
||||||||||||||||
Б и о - С а в а р а , |
действует е щ е сила |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
/ = |
( L [ B i ] ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.7) |
||
В силу нормальности силовых линий к виткам катушки |
|
м о ж н о |
|||||||||||||||||
написать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = |
Ш . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.8) |
|
Сила |
f д о б а в л я е т с я к |
правой части |
в ы р а ж е н и я |
(3.6), |
|
так |
к а к |
||||||||||||
направление |
ее совпадает |
с направлением |
сил |
механического |
со |
||||||||||||||
противления |
к а т у ш к и |
и нагрузки, т а к |
что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
F = |
Mi |
+ |
tv. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.9) |
|
Здесь д л я краткости |
3 = 3o + |
j H . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Формулы |
(3.5) |
и |
(3.9) |
— это д в а |
уравнения, |
с в я з ы в а ю щ и е |
ме |
||||||||||||
ханические величины F и v, действующие иа механической |
|
стороне |
|||||||||||||||||
преобразователя, с |
электрическими |
U и |
/, действующими |
|
на |
его |
|||||||||||||
электрической |
стороне: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
U = zj-Mv) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 0 |
||
F=Mi |
+ |
b v \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З н а я |
л ю б ы е две из величин |
U, |
i, |
F, v, |
м о ж н о |
определить |
другие |
||||||||||||
две, если |
известны |
п а р а м е т р ы 2 Э , J |
и Af. З а м е т и м , |
что по |
абсолют |
ной величине коэффициент при v в первом уравнении равен коэф
фициенту |
при |
і во втором |
уравнении, т а к |
что система |
(3.10) |
имеет |
||||
только |
три |
независимых |
коэффициента . |
В ур - ниях |
(3.10) |
содер |
||||
ж а т с я |
все свойства линейных электродинамических преобразовате |
|||||||||
лей, необходимые д л я |
расчетов. |
|
|
|
||||||
Д л я |
примера рассчитаем полное электрическое сопротивление |
|||||||||
преобразователя, |
р а б о т а ю щ е г о в качестве двигателя, |
т. е. |
преоб |
|||||||
разующего электрическую энергию в механическую. |
В этом слу |
|||||||||
чае на |
механической стороне источника энергии нет, |
следователь |
||||||||
но, внешняя сила |
F=0. |
Тогда: |
|
|
|
|||||
U |
= |
zai |
— |
Mv) |
|
|
|
|
|
|
0 = |
Mi |
+ |
%v ) ' |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
51 |
И с к л ю ч а я |
из этих уравнений |
v, находим: |
|||
Здесь z |
— |
г = 2Э |
+ |
MVg. |
(ЗЛІ) |
UH |
= |
|
|
|
|
|
|
полное |
электрическое сопротивление преобразователя - |
||
д в и г а т е л я — состоит из двух |
частей: zra — электрического сопротив |
ления внешней цепи в сумме с собственным электрическим сопро
тивлением |
обмотки |
и |
г' — М21$ |
— |
некоторого дополнительного |
со- |
||||||||||
2 |
|
|
|
противления, называемого кинетическим, появ- |
||||||||||||
|
|
|
|
ляющегося |
.в |
результате реакции |
механиче- |
|||||||||
|
|
|
л г |
ской |
стороны |
п р е о б р а з о в а т е л я |
на |
его |
электри |
|||||||
|
|
|
|
ческую |
сторону. Э к в и в а л е н т н а я электрическая |
|||||||||||
|
|
|
|
схема преобразователя становится элементар |
||||||||||||
|
|
|
|
но |
простой |
(рис. 3.3). |
В этой |
схеме |
U играет |
|||||||
Рис. 3.3. |
Эквивалент- |
Р о |
л ь |
э |
д с > 2 |
и — " внутреннего сопротивления |
яс |
|||||||||
ная'схема |
|
электродн- |
точника, a z0 |
+ z'— |
нагрузки . |
|
|
|
і |
|||||||
намического |
преобра- |
|
|
Легко видеть, что, затормозив |
шреобразова- |
|||||||||||
зователя — двигателя |
т |
е л |
ь > |
т |
е |
создав бесконечно большое сопро |
||||||||||
лучим z=z3=z0+zn. |
|
тивление механичеокой |
нагрузки |
(§->-оо), |
по |
|||||||||||
|
|
Ток заторможенного преобразователя опреде |
||||||||||||||
ляется только чисто |
электрическими п а р а м е т р а м и |
цепи. |
|
|
||||||||||||
Предположив, |
что |
катушка |
преобразователя |
сделана |
из |
иде |
||||||||||
ального, не |
имеющего |
инертной |
массы |
материала, |
ее подвесы |
так |
||||||||||
ж е не о к а з ы в а ю т |
никакого |
сопротивления |
и преобразователь |
сво |
боден от внешней механической нагрузки, получим режим идеаль
ного холостого |
хода: |
|
|
|
|
|
|
||||
Зн = |
5о = |
0; |
2 ' - > о о ; |
2 - ^ со; |
і = |
0. |
|
|
|||
В р е ж и м е холостого хода |
в таком |
идеальном преобразователе ток |
|||||||||
отсутствует |
и |
напряжение, |
подаваемое |
от |
источника |
питания, в |
|||||
точности |
компенсируется |
противоэлектродвижущей силой д в и ж е |
|||||||||
ния U=—Mv. |
|
В |
реальном |
преобразователе |
собственное сопротив |
||||||
л е н и е ^ Ф0, |
но т а к |
к а к |
его, естественно, стараются сделать малым, |
||||||||
то z'=M2/$0 |
|
велико, |
и |
н е з а г р у ж е н н ы й |
преобразователь |
потребля |
|||||
ет небольшой |
ток. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогичным |
образом м о ж н о рассмотреть свойства |
преобразо |
вателя - генератора . Так, если на механической стороне преобразо
вателя |
п р и л о ж е н а |
сила |
F, а на |
электрической стороне |
замкнуты |
з а ж и м ы |
источника |
напряжения, |
что соответствует U=0, |
то легко |
|
найти |
|
|
|
|
|
F/v |
= ъ + M*/z3 |
= Ь |
+ M*/(z0 |
+ 2Н ). |
(3.1 2) |
Если з а ж и м ы замкнуты в преобразователе накоротко, это экви валентно тому, что 2 Э равно z0 — собственному электрическому со противлению преобразователя . Это в ы р а ж е н и е аналогично полу ченному ранее (3.11). Здесь величина j ' =M2/z-, представляет собой добавочное механическое сопротивление электродинамического торможения, возникающее в результате воздействия электрической стороны на механическую.
52
О т м е т им еще одно в а ж н о е следствие |
ф-л |
(3.11) и (3.12). П о л о |
ж и м , что механическое сопротивление з |
в |
преобразователе - двига |
теле чисто реактивное. Естественно, что в этом случае и кинети
ческое |
сопротивление |
z' |
будет |
т а к ж е |
чисто реактивным . Пр и этом, |
||||||||
однако, |
|
если з |
|
имеет |
инерционный |
характер (сопротивление |
мас |
||||||
с ы ) , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г' |
|
M%i |
|
т) = |
— і |
|
- 1 |
|
|
|
иметь |
ем |
|
Таким образом, |
кинетическое |
сопротивление будет |
|||||||||||
|
= |
|
со |
|
|
|
(со С ' ) |
|
. |
(ЗЛЗ) |
костный характер, как если бы на электрической стороне добави
лась |
включенная |
последовательно |
с 2 Э |
емкость С' = т/М2. |
Очевид |
||||||||||
но, |
что в случае |
сопротивления з |
чисто |
упругого |
вида |
г' |
о к а ж е т с я |
||||||||
индуктивным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Электростатический преобразователь |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Действие |
электростатического |
преобразователя |
основано |
на |
|||||||||
появлении сил электростатического притяжения м е ж д у |
з а р я ж е н |
||||||||||||||
ными |
о б к л а д к а м и |
конденсатора |
и |
на изменении |
н а п р я ж е н и я |
на |
|||||||||
з а р я ж е н н о м |
конденсаторе при изменении |
его емкости |
(сближении |
||||||||||||
или |
удалении |
друг |
от друга |
его |
о б к л а д о к ) . |
|
|
|
|
||||||
|
Представим |
себе плоский |
конденсатор |
(рис. 3.4), одна |
о б к л а д |
||||||||||
ка |
которого |
может |
п р и б л и ж а т ь с я |
к другой |
и удаляться от нее, ко- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
3.4. «К |
вы |
|
J L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
воду |
уравнений |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
для |
электростати |
|
|
|
ЩИ |
|
|
|
|
|
|
||||
ческого преобразо |
|
do |
|
|
|
|
|
|
|
|
вателя
леблясь вдоль силовых линий электрического поля в конденсаторе . Рассмотрим, какие механические силы действуют на эту обкладку .
Если |
конденсатор не |
з а р я ж е н , то на |
о б к л а д к у при движении |
дей |
||||
ствует механическая сила реакции FR, состоящая из сил инерции |
||||||||
массы обкладки, упругости подвеса |
обкладки |
и, если |
к о б к л а д к е |
|||||
прикреплено |
какое - либо механическое колебательное |
устройство, |
||||||
силы |
механического |
сопротивления |
нагрузки |
этого |
устройства. |
|||
Полное сопротивление |
обкладки составит: |
|
|
|
||||
|
b = FRlv, |
g = So + |
5н. |
|
|
|
|
|
где |
jo —собственное |
механическое сопротивление о б к л а д к и |
(пре |
|||||
|
о б р а з о в а т е л я ) ; |
|
|
|
|
|||
|
3„— механическое |
сопротивление |
нагрузки. |
|
|
53
Если |
конденсатор зарядить, |
то возникнет сила |
взаимного при |
|
т я ж е н и я |
пластин |
FS=Q2/(2Cd), |
где С — емкость |
конденсатора; |
d — расстояние м е ж д у пластинами, Q — з а р я д . |
|
|||
Отсюда вытекает, что сила |
F S изменяется не по закону измене |
|||
ния электрической величины Q, а пропорционально |
ее квадрату . |
|||
Поэтому, |
если не принять специальных мер, такой подвижный кон |
|||
денсатор не может |
быть использован дл я неискажающег о преобра |
зования электрических колебаний в механические. Специальные ме
ры |
состоят |
в том, |
что |
конденсатор |
предварительно |
з а р я ж а ю т |
до |
|||||||||||||
некоторого |
постоянного |
н а п р я ж е н и я 0й, |
т. е. сообщают |
|
ему |
з а р я д |
||||||||||||||
Qo—UoC. |
Пр и |
работе преобразователя |
н а п р я ж е н и е |
только |
немно |
|||||||||||||||
го |
меняется около |
этого постоянного |
значения |
Uq: U = UQ+U~ |
и |
|||||||||||||||
соответственно з а р я д на нем Q — Qo + q. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Fs |
= (Qo + |
qflVCd) |
= (Q5 + |
2 Q0 |
q + |
q*)l{2Cd) |
« |
F 3 |
0 + |
V± q |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•(3.14) |
|
|
|
?зо = |
Qll(2Cd) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Если |
q |
— переменный |
заряд, меняющийся |
синусоидально, |
то |
||||||||||||||
его |
удобно |
выразить через ток, та к что переменная |
с о с т а в л я ю щ а я |
|||||||||||||||||
силы F3 |
будет иметь вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Fa„ |
= |
-£-q |
= |
^ - |
l . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.15) |
|
||
|
|
|
|
а0 |
|
і со а0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
формулах |
(3.14) и |
(3.15) учтено, что Cd=Cod0=S/4n |
|
дл я пло |
||||||||||||||
ского |
конденсатора |
с п л о щ а д ь ю обкладок |
5. Кроме того, полагаем, |
|||||||||||||||||
что <7<CQoЭто допустимо, |
та к к а к преобразователь |
может |
рабо |
|||||||||||||||||
т а т ь без искажений |
формы |
колебаний только, если отклонения пла |
||||||||||||||||||
стины |
от среднего |
положения |
малы . Силу |
постоянного |
притяже |
|||||||||||||||
ния |
Fa о можно |
уравновесить, если |
подвижную |
обкладк у |
укрепить |
|||||||||||||||
на |
упругом |
подвесе, позволяющем ей колебаться около |
положения |
|||||||||||||||||
равновесия . |
Поэтому в дальнейше м будем интересоваться |
только |
||||||||||||||||||
переменными силами . Д л я них можн о |
составить |
уравнения |
равно |
|||||||||||||||||
весия, учитывая внешнюю силу F: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
F = FR |
+ |
F3„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
= b v |
+ ^і -соiа0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.16) |
|
||||
Р а с с м о т р и м |
теперь |
электрическую |
сторону |
устройства. |
Пусть |
|||||||||||||||
на |
конденсаторе имеется з а р я д |
Q и одна |
его обкладка, |
колеблясь, |
||||||||||||||||
отклоняется |
от среднего |
положения |
на |
величину |
х. |
В |
положении |
|||||||||||||
равновесия |
{х = 0) |
н а п р я ж е н и е |
на |
конденсаторе U — Q/Co- |
Если |
|||||||||||||||
расстояние |
м е ж д у |
о б к л а д к а м и |
изменится |
|
с d0 |
на |
do+x, |
|
то напря |
жение, как известно, возрастет пропорционально отношению рас стояний: U— (Q/C0)(d0+x)/d0.
54
Учитывая постоянный з а р я д Q0 , м о ж е м написать:
U |
= |
£/о + и = (Q0 + |
|
(d0 + *)/(С0 dQ) |
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СГ0 |
+ |
и « і (і й С о ) - 1 + |
(*70 /i © d„) v + г/0 , |
|
|
|
(3.17) |
||||
З д е с ь пренебрежено величинами |
второго |
порядка |
малости |
по |
|||||||
сравнению с q/Qo и x/cfo, а переменные |
величины |
в ы р а ж е н ы |
через |
||||||||
скорость v и ток / вместо |
х и V- Д л я |
переменных |
н а п р я ж е н и й |
по |
|||||||
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и = {Uо/і со d0 ) ^ + (і © С 0 ) — 1 г. |
|
|
|
|
|
(3.18) |
|||||
Если переменное н а п р я ж е н и е и подается |
к конденсатору |
через |
|||||||||
внешнее сопротивление Za, то в правой части |
(3.18) |
следует |
учесть |
||||||||
падение |
н а п р я ж е н и я на |
нем zBi. |
Обозначив |
(mCQ)~l |
|
= zo, получим: |
|||||
и = |
(Uо/і со dg) v -J- (z0 |
+ |
zH ) і. |
|
|
|
|
|
(3.19) |
Итак, для электростатического преобразователя система у р а в нений, аналогичная (3.10), имеет вид:
и = M\V |
|
|
(3.20) |
+ |
z3i\ |
|
|
Здесь z3=z0+z„, |
|
Mi = |
U0(md0)-i. |
В уравнениях |
(3.20) |
все знаки перед членами в правых частях |
одинаковы. Очевидно, что при этом дл я полного электрического со
противления |
получим |
в ы р а ж е н и е : |
|
|
|
||
|
г = гэ-МуЬ- |
|
|
|
|
(3-21) |
|
В |
отличие |
от (3.11) з н а к перед кинетическим |
сопротивлением |
||||
здесь |
отрицателен. Однако, если принять во внимание, что Mi — |
||||||
число |
мнимое, |
то, введя М — t7o(cudo)_ 1 , |
мы снова |
получим |
форму |
||
лу, полностью |
с о в п а д а ю щ у ю с (3.11). |
|
|
|
|||
Т а к и м образом, если определить коэффициент |
электромехани |
||||||
ческой связи ка к абсолютную величину; |
|
|
|
||||
|
\Fli]u=o |
= |
\ Ф \ І = О |
== М, |
|
(3.22) |
|
то формулы |
д л я z и § |
д л я обоих типов |
преобразователей |
(элект |
родинамического и электростатического) совпадают . Такое фор мальное заключение не вносит полной ясности в вопрос о том, ка
кую систему уравнений п р е о б р а з о в а т е л я — |
(3.10) или (3.20) |
— н а |
|
д о принять в том или ином случае. Б о л е е |
того, остается |
неизвест |
|
ным, насколько общим может считаться соотношение (3.22) |
и как |
||
поступить в случае преобразователей других типов. |
|
|
|
Ж е л а т е л ь н о , конечно, найти какие-то общие правила, |
которые |
||
лозволили бы в любом случае составить систему уравнений |
преоб |
||
разователя, не о б р а щ а я с ь к длинным выводам и проверяя |
себя с |
помощью «физических» соображений . Это м о ж н о сделать, исполь зуя общую теорию электромеханического преобразователя .
55
3.3.ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОБРАТИМОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ
О б щ а я |
теория |
обратимого электромеханического преобразова |
теля м о ж е т |
быть |
построена на основании энергетических соотно |
шений в динамической системе с многими степенями свободы. Эти
соотношения определяются |
функцией |
Л а г р а н ж а , |
которая пред |
||
с т а в л я е т собой разность кинетической |
и |
потенциальной |
энергии |
||
системы. К а ж д а я степень |
свободы характеризуется |
обобщенными |
|||
скоростью и перемещением . Обобщенные |
перемещения в |
частном |
случае могут быть линейным отклонением от положения равнове сия, углом поворота в механической системе или электрическим за рядом в электрической цепи и т. п. Кинетическая и потенциальная
энергии системы |
будут квадратичными |
функциями |
обобщенных |
||||||||
скоростей |
(х) |
и перемещений |
(х). |
|
|
|
|
|
|
||
Кинетическая энергия одной изолированной 1-й степени |
свободы |
||||||||||
составит |
1/2 |
/щх2., |
а потенциальной — 1/2 Stxf |
, |
где /я,- и |
5,- — инер- |
|||||
циальный |
и позиционный коэффициенты |
(масса и упругость) |
дан |
||||||||
ной степени свободы. Если система состоит из п связанных |
м е ж д у |
||||||||||
собой степеней свободы, |
то д о б а в л я ю т с я |
энергии связей: |
инерци- |
||||||||
а л ь н ы х — 1 / 2 |
niikXiXh и |
п о з и ц и о н н ы х — 1 / 2 |
SikXiXh- |
|
|
|
|||||
К р о м е |
этого, м о ж н о |
представить себе, |
что |
среди квадратичных |
|||||||
форм д л я |
энергии существуют и члены вида |
|
\!2gihXiXhl |
з а в и с я щ и е |
|||||||
от произведения перемещения в одной степени |
свободы |
на скорость |
|||||||||
в другой . Это т а к |
называемые |
гироскопические члены. |
Они |
возни |
к а ю т при наличии в |
р а щ а ю щ и х с я масс в механических системах или |
магнитных полей — |
в электрических. |
Рмс. З.й. Иллюстрация |
связи: |
|
а — гуігцруїгой; б — м н е р ц и а л ы г о й ; в — |
гараакатгичесжой |
|
Инерциальные, |
позиционные |
и гироскопические связи м о ж н о |
проследить на примере механических колебательных систем с маят никами . Н а рис. 3.5а два маятника в виде жестких стержней с мас с а м и на концах с в я з а н ы около точек качания пружиной, создающей позиционную связь. Н а рис. 3.56 д в а таких ж е маятника, укреплен -
56
пых на массивной опоре, которая м о ж е т свободно скользить по ос нованию, связаны инерциальной связью.
Н а рис. 3.5е изображен такой ж е маятник, который может ка чаться в двух направлениях: в плоскости чертежа и перпендику
лярно |
ей. Это т о ж е один из |
видов систем с двумя степенями |
сво |
боды. |
Гироскопическая связь |
в такой системе осуществляется, |
ес |
ли массивному шару маятника сообщить момент количества дви жения Jo, направленный вдоль стержня маятника . В силу закона сохранения момента количества движения, при отклонении маятни
ка в плоскости чертежа возникнет гироскопический эффект: |
маят |
ник станет двигаться т а к ж е и в плоскости, перпендикулярной |
чер |
тежу . Это объясняется появлением компенсирующего момента ко
личества д в и ж е н и я J і такого, что в сумме |
с моментом / отклонен |
|
ного маятника первоначально з а д а н н ы й |
вдоль вертикали |
момент |
Jo сохраняется. Характерно, что в первых |
двух случаях связи осу |
|
ществляются по общей линии движения, а в третьем — по |
в з а и м н о |
перпендикулярным линиям . С л о ж и в кинетические энергии всех сте пеней свободы системы, включая и энергии связи, получим ПОЛНУЮ
КИНеТИЧеСКуЮ ЭНерГИЮ СИСТемЫ К= |
V V |
(mihXiXh+gihXiXh) |
и п'о- |
2 |
ft I |
і |
|
1 ( л )
теициальную Т=—JJ^J
2ft т 1
Из подробного рассмотрения связи м е ж д у направлениями ком
пенсирующих моментов количества д в и ж е н и я и поворотов |
маятни |
||||||||||||||||
ка |
в его |
двух |
плоскостях |
качания |
вытекает, |
что |
коэффициенты |
||||||||||
gik |
и ghi |
равны по |
абсолютной |
величине и противоположны |
по зна |
||||||||||||
ку-' gik=—gki- |
|
В то ж е время |
очевидно, |
что если инерциальные и |
|||||||||||||
позиционные |
|
связи |
отличны |
от нуля, |
то |
суммы |
коэффициентов |
||||||||||
mik + гпы |
и s^+Ski |
д о л ж н ы |
быть отличны |
от нуля, |
т а к |
к а к |
в |
выра |
|||||||||
ж е н и я х |
д л я |
К |
и Т члены, вида |
maXiXk |
и тмХрХі |
всегда |
встречаются |
||||||||||
в |
паре |
друг |
с другом . Н о |
тогда соответствующим |
выбором |
всегда |
|||||||||||
м о ж н о |
сделать тш = Шм |
и Sik = Shi. Эти свойства симметрии |
коэф |
||||||||||||||
фициентов ты |
и Sih и антисимметрии gik |
являются |
основными д л я |
||||||||||||||
теории |
преобразователя . М о ж н о всегда |
перенормировать величины |
|||||||||||||||
этих коэффициентов, чтобы не было необходимости |
писать |
м н о ж и |
|||||||||||||||
тель 1/2 |
перед двойными |
суммами . |
Тогда окончательно |
функция |
|||||||||||||
Л а г р а н ж а запишется так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
(я) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
= |
K — |
T=Y£ |
(mtkxt |
k |
+ gikXtxk |
- |
saxixk). |
|
|
|
(3.23) |
іk
Если в системе имеется |
рассеяние энергии, |
то д л я описания ее, |
кроме функции L , следует |
использовать еще |
функцию рассеяния: |
(л) |
|
|
D = 2 £ r , ' * * £ X f e ' |
|
( 3 - 2 4 ) |
і k |
|
|
57
о п р е д е л я ю щ у ю убыль полного з а п а с а энергии системы в единицу времени! Наконец, если на систему действуют внешние силы, то д л я полного описания системы необходимо присоединить условие
равенства внешних сил силам реакции |
со стороны системы. |
Н а й д я |
частные производные по координатам |
xt от потенциальных |
членов, |
м о ж н о найти позиционные реакции, а определив скорость измене
ния (d/dt) |
импульсов |
(т. е. частных |
производных |
инерциальных |
|||||
членов по скоростям ХІ) с обратными |
знаками, — реакции ускоре |
||||||||
ния. Все эти действия |
могут быть записаны с помощью одного |
д и ф |
|||||||
ференциального |
оператора |
[d2,/(dtdxi)—d/dxi]L. |
|
|
|
||||
Полученная |
система сил |
реакций |
д о л ж н а уравновешиваться |
||||||
внешними |
силами |
Если в системе |
имеется |
рассеяние |
энергии, то |
||||
частично внешние силы работают против сил, обусловленных |
рас |
||||||||
сеянием. Эти последние находят при |
помощи |
D дифференцирова |
|||||||
нием по скорости ХІ. В результате известные |
уравнения |
Л а г р а н ж а |
|||||||
записываются: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[д2Цд! |
д xt) — dldxt] |
L = Ft |
— (д/д xt) |
D. |
|
|
(3.25) |
||
Эти уравнения остаются ф о р м а л ь н о правильными |
|
не только, |
|||||||
когда введенные величины хи |
Fu піц,, |
Su„ пь |
имеют |
размерности |
механических перемещений сил, масс, упругостей и коэффициентов
линейного трения, но и во всех случаях, когда |
L имеет |
размерность |
|||||||||||
энергии, D — мощности, a Ft |
и ХІ описывают |
соответственно |
внеш |
||||||||||
ние |
воздействия и положения |
некоторых избранных |
независимых |
||||||||||
величин, характеризующих систему. Поэтому |
и Х\ |
носят |
назва |
||||||||||
ние «обобщенных» сил и координат соответственно. |
|
|
|||||||||||
|
Подставив |
(3.23) |
и (3.24) в |
(3.25), получим |
|
|
|
||||||
|
|
(л) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%hkXk |
|
= Fi, |
|
|
|
|
|
(3.26) |
|||
|
|
ft |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
l i k |
= |
mik d2 /5/2 + |
(glk + rik) |
діді + sik. |
|
(3.27) |
|||||
|
Ограничиваясь случаем периодического синусоидального движе |
||||||||||||
ния и полагая Хк~Xmuexp{Ш}, |
|
имеем: Wfe=A';t = icox,{. Тогда из |
(3.27) |
||||||||||
получим п уравнений |
вида: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(п) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y,zikvk |
|
= |
Pu |
|
|
|
' |
|
(3.28) |
||
|
|
ft |
і со |
|
|
|
+ (і со) |
|
|
|
|
||
где |
zik |
= |
mlk |
+ (glk |
+ rik) |
- 1 sik. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Коэффициенты Zik р а с п а д а ю т с я на суммы |
симметричных сла |
||||||||||||
гаемых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ге1к |
= |
і со тш + г а |
+ (і со)- 1 |
sik, |
|
|
|
(3.29а) |
|||
а антисимметричных: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Zaift |
= |
gtk- |
|
|
|
|
|
(3.296) |
|
58
Д и н а м и ч е с к а я система может быть |
весьма сложной — о б л а д а т ь |
||||||||||||||||
большим |
числом |
степеней |
свободы. |
Однако |
при |
рассмотрении |
|||||||||||
свойств преобразователя |
нас, как правило, |
интересуют |
только дв е |
||||||||||||||
из всех независимых степеней свободы |
системы: это те, к |
которым |
|||||||||||||||
прикладываются |
внешние |
воздействия |
|
или реакции |
других |
систем. |
|||||||||||
Все остальные степени свободы преобразователя |
являются |
внут |
|||||||||||||||
ренними |
—• к |
ним не прикладываются |
воздействия извне. |
Тогда |
|||||||||||||
вся |
система п |
уравнений |
|
будет |
состоять |
из |
(п—2) |
однородных |
|||||||||
уравнений |
(для которых Fi — О) и двух уравнений с правой |
частью: |
|||||||||||||||
|
2 / 1 * |
vk |
= |
Fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
F2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.30) |
|
|
|
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Путем |
исключения |
(n—2) из |
интересующих |
нас |
скоростей |
||||||||||||
(vs, |
vi„..., |
v„) система (3.30) может быть |
сведена |
к системе |
двух |
||||||||||||
уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
! |
|
' |
|
P |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( з . з і ) |
|
|
z2lvx |
+ z22v*_ = F2 |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
Новые |
коэффициенты |
z'ik |
в ы р а ж а ю т с я через Zik |
системы |
(3.30). |
||||||||||||
П р и |
этом |
можно |
показать, |
|
что в силу |
соотношений |
(3.29) дл я z '.k |
||||||||||
сохраняется |
аналогичное |
свойство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
zik |
2 ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.32) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' « ~~' "ct'ft |
Sift |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В |
дальнейшем |
будем |
интересоваться |
только |
системой |
(3.31), |
|||||||||||
поэтому дл я удобства записи опустим штрихи у |
коэффициентов |
||||||||||||||||
этой новой системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Система |
ур-ний (3.31) |
содержит |
основные соотношения, |
на ко |
торых базируется теория двустороннего линейного обратимого пре образователя . Она показывает, что обобщенная сила, п р и л о ж е н н а я к одной из сторон преобразователя, линейно связана с обобщенны
ми |
скоростями |
на обеих сторонах его. З н а я коэффициенты |
z i i t z1 2 , |
||
2гь |
222, м о ж н о |
определить, |
какие силы F\ и F2 |
д о л ж н ы действовать |
|
на |
преобразователь, чтобы |
получить ж е л а е м ы е |
обобщенные |
скоро |
|
сти |
НІ И 02- |
|
|
|
|
59
И з системы ур-ний (3.31) следует, что не обязательно знать конкретное устройство преобразователя — его схему. Достаточно
измерить |
коэффициенты zi\, z22 |
и z2i> Z12, чтобы полностью |
опреде |
||||||
лит ь его поведение. |
|
|
Ui и ~ог |
|
|
|
|||
Если |
необходимо |
определить скорости |
по з а д а н н ы м си |
||||||
л а м , то с и с т е м у |
(3.31) следует |
разрешить |
относительно Vi |
и |
v2: |
||||
Щ = |
уп Fx + |
ум F 2 |
|
|
|
|
(3.33) |
||
fa = |
J/21 F 1 + |
|
F 2 |
|
|
|
|
||
J/22 |
|
|
|
|
|
||||
Общие |
правила |
решения линейных уравнений |
позволяют |
най |
|||||
ти y i k : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уп — г 2 2 / А г . |
J/12 = — 2 2 і / А г , |
|
|
|
|
^2 |
|||
£/гг |
= |
— 2 і з / Д г , |
1/22 = 2 и / А г |
, |
|
|
|
|
|
Д г |
= |
2 ц Zoo |
2i2 2од. |
|
|
|
(3.35) |
П з рассмотрения общих свойств динамической системы, внутри
которой |
нет собственных |
источников энергии, можно получить, что |
|||
Дг всегда положительно . |
Соотношения |
(3.34) приводят к тому, что |
|||
т а к ж е , |
к а к и в системе |
(3.31), в новой |
системе (3.33) соблюдается |
||
соотношение: |
|
|
|
||
J/12 |
— |
Ус 12 + |
Уа 12 |
|
(3.36) |
|
|
Ус 12 |
Уа 12 |
|
|
J/21 |
~ |
|
|
Системы ур-ний (3.31) и (3.33) являются основными для теории двустороннего преобразователя . Свойства перекрестных коэффи
циентов (3.32) |
и (3.36) в этих уравнениях |
объясняют, почему в пре |
о б р а з о в а т е л я х |
различных систем могут |
появиться коэффициенты |
связи симметричные и антисимметричные. Если в системе нет ги
роскопических |
связей |
(g,-fe=ghi = 0), |
то Zi/i = z;u- и уц, = ум- |
Если, |
на |
|||||
оборот, |
связь |
только |
гироскопическая, то г,-д = —Zhi- |
Последний |
||||||
случай |
соответствует |
таким электромеханическим |
преобразовате |
|||||||
лям , в которых связь |
осуществляется через |
магнитные |
поля, |
где |
||||||
силы взаимодействия |
направлены |
по нормали |
к движению |
з а р я д о в |
||||||
и к магнитным силовым линиям, |
а |
первый |
случай (Zik — Zki) |
— |
||||||
преобразователя м со |
связью через |
электрическое |
поле, |
|
где силы |
взаимодействия направлены по движению з а р я д о в и по направле нию поля.
Отметим, что общее выражени е |
д л я коэффициентов |
Zih и yik |
по |
||||
казывает, что возможен такой преобразователь, который |
работает |
||||||
только «в одну сторону». Если, |
например, |
Уси—Уыъ |
то |
упф®, |
а |
||
//21 = 0. Сила Fi, приложенная на |
«первой» |
стороне, вызывает |
ско |
||||
рость v\, но не вызывает скорости v2 «на второй», а сила |
F2 |
вызы |
|||||
вает как скорость vz на своей стороне, так и на другой — vt. |
Оче |
||||||
видно, что можно осуществить такую систему, комбинируя |
электро |
||||||
статический и электродинамический |
преобразователи . |
|
|
|
|
60