книги из ГПНТБ / Римский-Корсаков А.В. Электро-акустика

Принцип электромеханических аналогий состоит

в

следующем:

1) устанавливаются правила замены параметров

механической

системы элементов

движения точек системы

и сил

—

электриче­

скими п а р а м е т р а м и

цепи переменного тока

и электрическими ко­

комплексных

амплитуд (или

операторного

исчисления),

получен­

ное решение

интерпретируется

как решение

д л я исходной

механи­

масса (т) -* индуктивность (L)

коэффициент трения (/•) - * активное сопротивление

(R)

гибкость

(с)

-> электрическая емкость (С)

}.

(2.3)

скорость

(v)

—> электрический ток ((')

сила (/) ->• электрическое напряжение (U)

И з

этого с

очевидностью следуют

дальнейшие аналогии:

перемещение

(х) —> заряд (Q)

/

ді \

•

(2.4)

ускорение (а)—> скорость изменения тока

——

\

от

Эта

замена

носит название первой системы электромеханиче ­

ских аналогий,

получившей весьма широкое распространение.

Н а

такое соответствие м е ж д у механическими

и электрическими систе­

мами

и 'возможность

использования

аналогий по

первой 'системе

у к а з ы в а л еще

Рэлей . К р о м е того, он

ввел

понятие

механического

сопротивления

по этой

системе аналогий,

к а к это

и делается

те­

мента. Аналогия

получается с л е д у ю щ а я :

механическое

сопротивление

(Ь— f/v)-»-электрическое

сопротив­

ление

{z—Wji).

О б р а т и м внимание на то, что сумма

сил в левой

части

ур-ния

(2.2)

сопоставляется по первой

системе

аналогий с суммой

напря -

ж е н и й

в

ур-нии

(2.1).

Механичес­

к а я

система

при

этом

такова,

что

•сила

приложена

в

интересующей

нас подвижной точке системы, и

скорость

этой

точки — это

одновре­

менно

и

скорость

д в и ж е н и я

массы

(т),

и скорость

д е ф о р м а ц и и

гибко­

го элемента

(с),

и скорость

относи­

тельного д в и ж е н и я трущихся

час­

тей, обусловливающих со-противле-

і

к

ние

(г).

Электрическая

система

c

представляет

собой

последователь­

э

< , ——

I•I I

ное соединение

аналогов

L , С,

R.

та­

h

R

кое,

что

ток,

текущий

через

них,

1

tr=i

оди«

и

тот

ж е

(рис.

2 . 1а) .

М о ж ­

Р.ис.

2.1.

Аналоговые

электри­

но, однако,

в

качестве

аналогичной

ческие схемы

механической ко­

электрической

цепи

взять

т а к у ю

лебательной

.системы

с

одной

цепь,

в которой

не

токи,

а н а п р я ж е ­

степенью

свободы:

ния,

действующие

на

ее

элементы,

а — по .первой 'системе

анало­

будут

одинаковы, т. е. іцепь с

'парал­

гий;

б—по

.второй

системе

аналогий

л е л ь н ы м

'соединением

элементов

(рис. 2.16). Тогда следует воспользоваться

уравнением с у м м ы то­

ков

в (параллельном

контуре:

* ' с+

** +

'/. =

*•.

c

^

r

+

-

j u +

T $ U

d t =

L

(2-5)

-Сравнивая

(2.1)

и

(2.5),

получим

другую

систему

аналогий,

предложенную

в свое время Хенле и Файерстоном:

масса (т) —> емкость

(С)

коэффициент

трения (г) —» активная проводимость (G =

R~~')

гибкость

(с) —*• величина,

обратная индуктивности (1~1

)

(2-6)

скорость (о) -> напряжение

(U)

сила

(/) —»• ток (:')

Э т а система имеет некоторые преимущества при составлении

электрических

эквивалентных схем, однако к моменту ее появле­

ния

первая

система

у ж е

столь

широко применялась и техника ис­

пользования

ее

была

столь

развита,

что

практического

примене­

ния

вторая

система

не

н а ш л а .

Д л я пользования методом

электромеханических

аналогий

следует условиться

относительно

способа и з о б р а ж е н и я

механиче­

ских систем. Механические элементы

и з о б р а ж а ю т с я

так,

к а к это

показано на рис. 2.2.

©се и з о б р а ж е н н ы е элементы

имеют

«два полюса» — два

конца.

Это представляется

само собой

р а з у м е ю щ и м с я по

отношению к

э л е м е н т ам

гибкости

(пружине)

и трения. Массу

т а к ж е

необходимо

и з о б р а ж а т ь

в

виде

«двухполюсника»,

ибо если мы хотим прило­

жить >к массивному элементу силу м сооб­

щить ему ускорение, нам необходима

точка

опоры. Такой неподвижной опорой — «вто­

рым концом» — является корпус аппарата,

фундамент,

наконец,

земля,

масса

которых

весьма велика по сравнению с той, которую

мы двигаем . Д л я

гибкого

элемента

и

эле­

мента трения

опорой

с л у ж а т

их вторые

кон­

Рис. 2.2. Изображение

цы. Сила т а к ж е и з о б р а ж а е т с я

в

виде

двух­

элементов

імехаилчес-

полюсного

элемента:

один

конец

— собст­

Кіих систем:

1 — элемент

трения;

2 —

венно

сила,

п р и л о ж е н н а я

к

элементу,

кото­

элемент гибкости;

3—мас­

рый

приводим в

движение,

а

второй — это

сивный

элемент;

4 — сила

-реакция в сторону опоры. Эти

правила

изо­

и реакция

опоры

б р а ж е н и я , конечно, в значительной мере условны, однако

позво­

ляют

легко

и б е з

ошибок

переходить

к эквивалентным

с х е м а м .

Механический

элемент,

ха­

рактер

сопротивления

которо­

го

может

быть

произвольным,

и з о б р а ж а ю т ,

как

показано

на

рис.

2.3.

Если все элементы в систе­

ме д в и ж у т с я

с одинаковой

ско­

ростью,

то

их

концы

соедине­

н ы

вместе

(рис. 2.3а). Такое

соединение

называется

соеди­

нением в узел. Если через все

элементы

передается

одна и

та

ж е сила, то элементы

соеди­

няются, очевидно, один за дру­

F

гим

(рис.

2.36).

Такое

сое­

динение

называется

соедине­

Рис. 2.3. Изображение

соединений эле­

нием

цепочкой. П р и и з о б р а ж е ­

нии

систем элементы

распола­

ментов:

гаются

так,

чтобы

д в и ж е н и я

а — їв узел;

б—цепочкой

всех

концов

происходили

в

па­

их происходит

только

в натравлений, перпендикулярном с а м и м

этим с в я з к а м ,

т. е. в

направлении движения концов элементов .

Сі « остальном частью схемы. По введенным правилам

узлы изображаются

стяж­

ками, а

массы—двухполюсными

элементами,

вторые

концы

которых

соединены

с неподвижной

опорой.

4.

Система

из

двух

масс

и силы,

действующей .между тими .(.pule. ,2.7).

Такая

система

представляет

собой

соединение цепочкой ивух масс и силы.

Особенность

ее їв том, что .второй ко­

нец силы приложен ,к одному из эле­

ментов

рассматриваемой

системы, а не

к неподвижной

опоре.

Для перехода к электрическим эк­

вивалентным

схемам

по

общепринятой

первой системе аналогий следует вспом­

нить,

что элементы,

соединенные

в узел,

имеют общую скорость, т. е. в эквива­

лентной схеме через изображающие их

электрические

сопротивления

должен

протекать

один

и тот же так. Иначе го­

воря,

эти

сопротивления

соединены по­

Рис. 2.6. Система, .имеющая

два узла

следовательно. На основании этого пра­

вила

примеру

1 соответствует

последо­

(У и Уг)

.и цепочку (ц)(а),

условное

вательный колебательный контур из L,

изображение

системы

(б),

эквива­

С и R. Элементы же, на которые дей­

лентная

электрическая

схема

(в)

ствуют

одинаковые

силы, їв

эквивалент-

ной схеме находятся под одним

и тем же напряже-

I

|

пнем,

т. е. соединены

параллельно.

Следовательно,

I

I

примеру 2, соответствует

эквивалентный

параллель-

IА

н ы " контур L, С. Пользуясь

обоими правилами, мож-

р

Р

но

составить

для

примера

3 эквивалентную

схему

|

|

в виде двух контуров с емкостной

связью

и

налря-

жением, приложенным параллельно Сі. В эквивалент­

ной схеме для примера 4 индуктивности, .изображаю­

щие. 2.7.

Случай

соеди-

щие

массы,

оказываются

соединенными

параллель-

«ен.ия масс цепочкой

но, и общий

ток через

них больше,

чем через

каж­

дую <из них. Это соответствует

уменьшению

общей

индуктивности

в схеме

и как бы уменьшению

общей

массы

в механической си­

стеме, поскольку общий ток в этой схеме — это относительная

скорость дви­

жения масс, которая, конечно, больше, чем скорость .каждой

из масс

относитель­

но неподвижной

опоры.

Остановимся

только

на первой

системе

аналогий . Д л я

нее

на основании сказанного

в п а р а г р а ф а х

2.2 и

2.3 действуют

два

правила, вообще говоря, достаточные дл я

составления эквивалент ­

ной схемы по изображению, механической

системы:

1) элементы, образующи е узел, соединяются в электрической

схеме 'последовательно;

2) элементы, образующи е цепочку, соединяются в электриче­

ской схеме

параллельно .

К этому

следует еще

запомнить

правило

изображени я массы

в виде двухполюсного элемента, один конец которого всегда

свя­

зан с 'неподвижной

опорой.

/1//2 = v2/Vl

= К.

(2.7)

Это соотношение в точности совпадает с соотношением для

идеаль­

ного электрического

т р а н с ф о р м а т о р а

UjUi

=

klk

= К.

(2.8)

Таким образом, р ы ч а ж н о е устройство механической

системы

может быть в эквивалентной схеме заменено

трансформатором .

Если ко

второй

обмотке

такого т р а н с ф о р м а т о р а

подключена наг­

рузка

z,

то,

как

известно,

т р а н с ф о р м а т о р вместе

с этой нагрузкой

может

быть

заменен

приведенным сопротивлением:

z'

=

K?z.

(2.9)

В соответствии

с этим, на основании принципа

электромеханиче ­

женный на

конце

2 механической нагрузкой

# и находящийся

под

действием

силы /

на

конце Л может

быть

заменен

механическим

сопротивлением:

g' = K 2 S .

(2.10)

к которому приложена сила /.

В подобного

рода

рассуждениях

по аналогии

можно

идти

и

д а л ь ш е . Например, если плечи рычага имеют массы ті,

тч

соот­

ветственно

и ось

рычага опирается

не на неподвижную

опору,

а

Ряс. 2.9. Эквивалентная схема рычага

с податливой опорой

на некоторую конечную массу, то такой

рычаг эквивалентен транс­

тивностями рассеяния ти т?., к а к

это и з о б р а ж е н о на рис. 2.9.

2.6. Э Л Е К Т Р О А К У С Т И Ч Е С К И Е

А Н А Л О Г И И

первая .

Если та к же , как дл я механических аналогов, сопоставить

силу с

электрическим напряжением, а линейную скорость час­

разные стороны от места соединения. Пр и акустических расчетах

обычно принимается, что в местах

изменения сечения

сохраняют­

ся объемная скорость и давление,

действующие до и

после изме­

вести расчеты и строить эквивалентные схемы,

пользуясь систе­

мой электроакустических аналогий следующего

вида:

ределим акустическую массу, гибкость и активное

сопротивление.

Возьмем

трубопровод сечением

5

и длиной

/. Если он открыт

с

обоих: концов и на один конец

действует акустическое

давление

р,

а длина

4 много

меньше

длины волны, то весь объем

воздуха

si

движется

как одно целое

несжимаемое тело. Акустическая

масса

его

'составит:

/«a =

p//S,

(2.11)

где р — плотность

газа в трубопроводе .

V,

Акустическая гибкость

полости,

имеющей

объем

C a =W(YPo) .

(2.12)

где

у — показатель адиабат ы газа,

заполняющего

полость;

Ро — статическое давление

газа

в полости.

Акустическое активное сопротивление бесконечного трубопро­

вода сечением 5:

ra=pc0/s,

N

(2.13)

где

с 0 — скорость

звука в

газе,

заполняюще м

трубопровод.

Д л я

перехода

от акустических аналогов к механическим, что

требуется,

если в

системе

имеются ка к механические,

та к и

аку­

стические

элементы, используется

соотношение:

% = b*S2,

(2.14)

где

5 — площад ь

механического элемента, с которым соединен в

узел

акустический

элемент.

М е т од электромеханических

аналогий был развит для

рас­

чета механических систем различных электроакустических

аппа­

ратов. Однако очень часто механические и

акустические системы

аппаратов о к а з ы в а ю т с я довольно

'сложными

(число степеней

сво­

системы по таким

ф о р м у л а м требует трудоемких

численных рас­

четов и построения

графиков .

В

связи с этим

возникла идея имитации свойств механикоакус -

тическнх, механических и акустических систем путем

составления

реальных эквивалентных электрических схем

и замены измерений

или

расчетов сил

и скоростей измерением

токов

и

напряжений .

стоты, значения сопротивлений,

коэффициенты

передачи

системы и

т. 'п. М о ж н о , наконец, в а р ь и р у я

величины электрических

'парамет­

ров схемы, подбирать оптимальные значения

эквивалентных

им

масс и гибкостей рассчитываемой системы, тем

самым з а м е н я я

ра­

можностей, предоставляемая современными

аналоговыми счетны­

ми машігнам'и д л я расчета .и 'конструирования

'электроакустической

аппаратуры .

ленными п а р а м е т р а м и . Процесс расчета

и результат его оказыва ­

ются

тогда

много проще и нагляднее . В действительности,

конст­

руктивные

элементы

а п п а р а т а

не

являются

в точности «сосредото­

ченными».

Н а п р и м е р ,

в

качестве

гибкого п р у ж и н я щ е г о элемента

часто

используют

стержень

(балочку),

з а ж а т ы й одним

концом.

Детальное

рассмотрение колебаний изгиба стержня показывает,

что т а к а я

балочка

имеет

бесконечный

р я д

собственных

частот.

В зависимости от

соотношения частоты

в о з б у ж д а ю щ е й силы и ча­

случае

т а к ж е

представляют собой сопротивления, с л о ж н ы м

обра­

зом з а

в и с я щ и е

от частоты. Д л я того чтобы упростить расчет,

эле-

жения,

с которой такие

сосредоточенные п а р а м е т р ы

о т р а ж а ю т

по­

ведение

действительной

конструкции, д о л ж н а быть

установлена

на

ми п а р а м е т р а м и

с х а р а к т е р и с т и к а м и реальной конструкции

в ра­

бочем д и а п а з о н е

частот. Б о л ь ш о е число

собственных

частот

к а ж ­

дого элемента в рабочем диапазоне ведет

к чрезмерному усложне ­

нию частотных характеристик а п п а р а т а

и затрудняет

управление

валентной

гибкостью и, если это необходимо по

условиям расче­

та, одним

эквивалентом активного механического

сопротивления.

степенью свободы. Интерес представляют

д в а случая: 1) собствен­

ная

частота элемента

л е ж и т на верхнем

к р а ю частотного

диапа ­

зона

или выше его; 2)

собственная частота

элемента л е ж и т

в сере­

торых

л е ж а т в ы ш

е рабочего д и а п а з о н а или в середине его.

Д л я

случаев 1

и 2 естественно, п р е ж д е всего, потребовать, что­

рабочему диапазону, с о в п а д а л и с собственными

частотами эквива ­

лентной системы с сосредоточенными

п а р а м е т р а м и :

К с э Г 1 / 2 =

Ш1,

(2.15)

где т0 — эквивалентная масса системы с сосредоточенными

пара ­

метрами; са

— э к в и в а л е н т н а я гибкость этой ж е системы;

ац —

б л и ж а й ш а я

к рабочему диапазону собственная частота

дей­

ствительного конструктивного

элемента

механической

си­

стемы.