книги из ГПНТБ / Римский-Корсаков А.В. Электро-акустика

ванные

уравнения

для такого преобразователя будут иметь

такой

ж е вид, как и дл я

электродинамического. Действительно, на осно­

вании (3.78) дл я случая замкнутого магнитострикционного

я р м а

можно найти отношение силы F, действующей на стержень преоб­

разователя, к переменному току г, текущему в его обмотке,

когда

преобразователь з а т о р м о ж е н

(деформации

магнитострикционного

м а т е р и а л а нет) . Если п — число витков обмотки на единицу

длины

магнитострикционного стержня, то в отсутствие д е ф о р м а ц и и

стерж ­

ня сила поля в нем

Я = 4 л ш ' + Я 0 ,

где Но —

первоначально

нало ­

женное с м е щ а ю щ е е

поле. Пр и наложении, кроме того, деформации

р а с т я ж е н и я

сила

поля

б л а г о д а р я

обратному

магнитострикционно-

му эффекту

возрастет:

Я

=

4 я Я , ^ +

4 я п і

+ Я 0 .

(3.80)

С другой

стороны,

механическое н а п р я ж е н и е

р а с т я ж е н и я

при неиз­

менной

первоначальной

индукции

составит: а=£1+00,

где Е —

модуль

упругости,

a

ff0

— первоначальное механическое

н а п р я ж е ­

ние, возникающее

б л а г о д а р я

постоянной

индукции Во.

Если в

вие прямого магнитострикционного э ф ф е к т а

возникает с ж и м а ю щ е е

напряжение, равное — KB, и тогда

о = Е1 — ХВ +

о0.

(3.81)

Отрицательный знак

при KB в этом равенстве означает,

что

если

р а с т я ж е н и е образца приводит к увеличению

напряженности

поля,

увеличение индукции

в з а ж а т о м образце —

к появлению

с ж и м а ю ­

тельна

(это может

быть в некоторых

м а т е р и а л а х

при выборе

соот­

ветствующего начального п о л я ) , то оба э ф ф е к т а

(прямой и обрат­

ный) меняют з н а к

и ур-ния (3.80) и

(3.81) остаются справедли ­

выми.

Н а с интересуют

только переменные составляющие: о-^ = а—Оо—

= ££—KB, Н~ = Н—#0=4яЯ,|+4ят\

В д а л ь н е й ш е м опустим

зна­

чок ~

при си, и

и будем понимать под >а и Н переменные

со­

который

з а м ы к а е т с я

магнитный

поток,

пренебрежимо

м а л о по

сравнению с сопротивлением стержня,

то

добавочная

индукция

B = \iH,

где р. — динамическая магнитная

проницаемость

стержня

вблизи

его состояния

начального

намагничения (Н0, В0).

Тогда на

основании

(3.80) и

(3.81):

o = El

—

X\iH

= El — X\i(4nkl

+ 4nni) =

=

£ ( 1 — 4лХ*\ііЕ)1 — 4 и|* Я, пі.

Т а к и м образом, сила, действующая

на поперечное сечение 5 стерж ­

ня, F=aS(l—яА,2ц/£)£—4nK\iSni.

Н а й д е м теперь противоэлектро-

ны

стержня:

е = —пдФ/ді

= —tiSdB/dt

— —4nX[inSdl/dt

—4nti2 di/dt.

В сумме с приложенным

внешнем напряжением

U'

эта эдс

д о л ж н а

д а т ь

нуль,

так

что

U'=4

nkiinSdl/dt+4

n\uizSdi/dt.

Переходя

к

установившемуся р е ж и м у

синусоидальных

колебании,

получим

окончательно:

F

= {SE'l\Q>)l

—

M'i

\

(3.82)

U'

=

М'%+'\(йЬ'

і

J'

Здесь Е'=Е{1—4ял2ц./£')

— модуль упругости магнитострикцион-

ного м а т е р и а л а при неизменном поле

(Н = Н0,

i = 0),

который ока­

зывается меньше

модуля

упругости

Е

при неизменной

индукции

В = В0;

М ' = 4ял.ц5/г — коэффициент

электромеханической

связи

на

единицу длины

стержня;

L ' = 4nuvi2 S

— индуктивность

обмотки

единичной

длины;

| = і ш |

— скорость

деформации;

U'

—

электри­

ческое напряжение, прилагаемое к обмотке,

на

единицу

длины

стержня .

Преобразователь с однородной

деформацией

Если частота тока такова, что длина стержня / мала по срав ­

нению

с длиной упругой

волны

с ж а т и я на этой

частоте,

то

дефор ­

мация стержня по его длине однородна. Тогда, если одни из

концов

стержня неподвижно закреплен, то скорость

смещения

у

второго

конца найдем,

у м н о ж а я скорость д е ф о р м а ц и и

стержня

на его дли­

ну, и получим:

U

= М у + і со Li

J

(3.83)

где c =

ljE'S

—

продольная

гибкость стержня

длиной

и сечением

S;

M = 4nk\iSM/l,

(N—nl

—

полное

число

витков

обмотки);

U=U'l

—

полное

напряжение,

приложенное

к

преобразователю;

L = 4ix\xN2Sll

—

индуктивность всей обмотки;

у = \1 — скорость конца стержня .

U = М у + 2 0 і J

(3.84)

З-о =

(! + Щ) (і ©с)'

z0=r + iaL;

М = Я- N/R^;

L =

N*jRll,

(3.85)

где Rn — полное

магнитное сопротивление

магнитопровода;

т) — коэффициент

механических потерь при

деформации стержня;

ницаемость цепи

комплексной:

іг = [л0 ехр{—іф};

і?ц

= LRоцЄхр{іф};

L = L 0 exp{ — іф} . Тогда

к

активному

сопротивлению

добавится

еще

величина

сопротивления

потерь

на

гистерезис:

(cousin ф) /і?оц

~

fH'(inpN2/R0lx,

, т а к

как всегда можн о

считать ф <

1.

Коэффициент электромеханической связи т а к ж е

будет

комплек­

сным: М=М0ехр{—іф},

что поведет

к

дополнительному

увеличе­

нию /'.

Преобразователь с неоднородной

деформацией

Если длина магнитострикционного стержня, несущего

возбуж ­

д а ю щ у ю обмотку,

равна

или более

четверти

длины

волны, то

де­

ф о р м а ц и я

и механические

н а п р я ж е н и я в нем становятся

существен­

но неоднородными по длине. Смещения

сечений

стержня

у=у(х)

в этом случае с л о ж н ы м образом зависят от

координаты

х вдоль

стержня . Д е ф о р м а ц и я

%(х)

в ы р а ж а е т с я

как

ду/дх,

т а к

что

F'(x)

=

=

SE'dy/dx—M'i.

Число

витков

на

единицу

длины

п

и

сечение

с т е р ж н я

5 будем

считать

независимыми от

х. П р и неоднородной

д е ф о р м а ц и и силы инерции элементов стержня

уравновешиваются

градиентом

механического

напряжения . В р е ж и м е синусоидальных

колебаний это динамическое равновесие запишется так:

pSdzy/dtz=

=—tfpSy^dF'/dx^SE'dZy/dx2,

ігде

р

—

плотность

материала

с т е р ж н я . Обозначая через

ст=

(Е'/р)

112

— скорость

распростране ­

ния волн с ж а т и я

в стержне, получим

— ш2 у

= с2тдг

у1дхг.

(3.86)

Решение

проще

всего

искать

в виде y=YiQ.oskx-\-Y2^kx,

где

Yi,

У2

—

постоянные

интегрирования

и k=w!cm.

Интегрируя

второе

ур-ние

(3.82), получим

і

U

=

^U'dx

=

M'ly

(I) — у (0)] +

і со L І.

(3.87)

6

Пусть

на

границе

х = 0

(начало

стержня)

к

стержню

подсоеди­

нена

механическая нагрузка §і,

а

на конце

его, х=1,

з а д а н ы

сила

F2

и

скорость уг-

Тогда,

учитывая

очевидные

соотношения:

у (0)

=

і со Ух,

у (/)

=

і ш Yx cos

kl +

і со Y2

sin

kl,

dyldx

=

— k Yx sin kx

-f- k Y2

cos

kx,

У2=У(1),

F2

=

F(l),

F(0)=hy{0)

=

SEy(0)-Mi,.

F„ = М

1 — cos

kl

—

і {bxlw) sin hi

cos kl +

/ (fo/Mi) sin kl

sin

/г/ —

і (frjw) cos W

•

+

1Ш •

Уі

=

cos kl

-j-

і (ЗІ/К») sin

sinW

\

U

1

+

4 я ц 1

!

sin W -

A,'

(3.88)

icoL1 — cos /г/ —£і

j

kl(coskl-\- і (ui/tti)sinM

—/V/

і (J,/а') sin Л/

cos kl+

где ш = 5 У Е'р

—

волновое сопротивление

стержня .

Если

такой

преобразователь

нагрузить

на стороне / /

нагрузкой

противления

преобразователя, состоящего из магнитострикционно-

го стержня,

нагруженного с

обоих

концов механическими нагруз ­

ками

и Зг:

2

=

UII

= і со L +

+

і

(M2/w)

2 (1 — cos kl) — і ( g l

-f За) w~l sin kl

(3.89)

(1 + Зі fo№)

sin kl -

і (3! + h) w~~l c ° s &

рого слагаемого

(которое

является

кинетическим . сопротивлением)

может обратиться в нуль

и z будет

бесконечно большим .

Н а п р и ­

мер, если стержень нагружен симметричными н а к л а д к а м и ,

з а м ы ­

кающими ярмо,

и накладки коротки

но сравнению с длиной

волны

в системе

преобразователя,

то,

не

учитывая излучения, можно по- (

д о ж и т ь Зі

= § 2 =

'шт.

Тогда

на

механическом резонансе я р м а

(со = шо)

(1 — coo m2/w2)

sin kl

+ 2

сй0 rn w~x

cos kl = 0.

быть в ы р а ж е н о через

скорость

v = i<nx, а д е ф о р м а ц и я

£ —

через

скорость

д е ф о р м а ц и и

x=ico£, после чего

(3.94)

приобретает

вид

аналогичный

виду соотношения

(3.51):

T]/a( cg= 0 )

= x/£(a=o) = — і со d = — М.

(3.95>

Т а к и м образом, соотношения взаимности,

вытекающие

из

свойств

пьезоэффекта,

приводят

к

уравнениям

в форме у.

Пр и

этом следует

сопоставлять т]->оь

yr+vz,

a-^-Fz и

<§->-іч,

т а к

что

уравнения примут вид:

Tl = r / n g - i c o d a

J

уи

и

г/ . П о л а г а я в

первом'

из

X =

— i e o d l - f - г/22 or/"

Теперь м о ж н о найти коэффициенты

V

22

ур-ний (3.96) ст=0, получим

Уп=

T]/g(o=0) =

і со£>/£«т=о) =

і со є а

/4я.

(3.97)

Следовательно,

z/ц в ы р а ж а е т

обычное

соотношение

м е ж д у

по­

диэлектрической

постоянной.

П р и этом, поскольку

имеем

дело с

пьезоэлектриком, приходится

у к а з ы в а т ь , что диэлектрическая

по­

стоянная

относится к

кристаллу, в

котором нет механических на­

п р я ж е н и й

( а = 0 ) . С этой

целью єс т

пишем с н и ж н и м индексом а.

П о л а г а я во втором

ур-нии

(3.96)

<§ = 0 ,

найдем

#22 =

і со £/CT(cg=0) •

(3.98)

ческому

н а п р я ж/22

определяется отношением

д е ф о р м а ц и и к

механи­

К а к

видно,

г

е н и ю

в

отсутствие

электрического

поля. Д л я

эле­

мента

объема

упругого

тела

<т/£ — это его

модуль

упругости, т а к

что м о ж н о

написать:

ИндексУ22

=

і с о / % .

(3.99)'

<g У величины

Ещ означает, что модуль упругости

опреде ­

лен д л я случая,

когда

электрическое поле в кристалле отсутствует.

Теперь уравнения дл я пьезопреобразователя могут быть

з а п и ­

саны так:

ті =

(і со є / 4 я) % — і со d а )

с

.

(3.100)

Х =

— icod g + (i co/£<g) tr]

пользуют не скорости деформаций % и плотности токов

т), а сами

деформации и плотности з а р я д о в . Тогда вместо ур-ний

(3.100) по ­

лучатся

следующие:

D

=

(є /4 л)Ш —

dn)

'

ст

'

а \

(3.101)

|

=

- d g

+ £ g a

(

Т а к а я

запись

несколько экономнее. М о ж н о т а к ж е записать уравне ­

ние в форме

z:

(3.101а)

П р и этом модуль упругости ED

следует

определить в отсутствие по­

л я р и з а ц и и (D = 0), а не поля, и диэлектрическую

постоянную

—

в отсутствие

деформации

(£ = 0),

а

не механических

напряжений .

П а р а м е т р взаимности

f т а к ж е

будет

другой.

Уравнения (3.101) и (3.101а) н а з ы в а ю т местными уравнениями

пьезопреобразователя, так ка к они описывают

связи

м е ж д у

вели­

чинами

электрического поля

и

механического

напряженного

со­

стояния тела в данном месте

— данной

бесконечно

малой области

этого

тела.

Преобразователь с однородной деформацией

Д л я

того

чтобы

перейти

к

уравнениям,

характеризующим

пьезоэлектрический преобразователь в целом, надо

знать характер

распределения напряженности

поля,

механических

напряжений

и т. д. по всему

объему пьезома -

F

териала преобразователя . Б об­

щем

случае

з а д а ч а

м о ж е т

ока­

заться весьма сложной . Простей­

шим

и

практически

наиболее

в а ж н ы м

случаем

является

пьезо-

кристалличеекий

элемент,

в

ко­

тором

д е ф о р м а ц и я

и

напряжен ­

ность поля однородны . Предста ­

вим себе пьезоэлемент в виде па ­

раллелепипеда (рис. 3.13).

Д л я такого пьезоэлемента

мо­

Рис. 3.13. .Пьезоэлемент с яопереч-

жно написать следующие соотно-

шения"

ы ь г м пьезоэффектом

l

=

xlllt

a=F/Su

D =

qlS2,

% =

Ulk,

(3.102)

где х — изменение длины ребра пьезоэлемента

k в результате од­

нородной деформации £, а — механическое напряжение, со­

ответствующее

силе

F,

равномерно

распределенной по

грани

с п л о щ а д ь ю

S i ' и в ы з ы в а ю щ е й д е ф о р м а ц и ю

\,q

— з а р я д ,

воз­

никающий на обкладке, помещенной на грани с п л о щ а д ь ю

S2 ,

U — н а п р я ж е н и е

м е ж д у

о б к л а д к а м и , находящимися на

про­

тивоположных гранях, на расстоянии ребра 1г.

И з

рис. 3.13 следует, что рассматривается

случай

т а к называе ­

мого поперечного

пьезоэффекта:

k

приложение

электрического

на­

п р я ж е н и я в направлении

ребра

вызывает д е ф о р м а ц и ю пьезоэле­

мента

вдоль перпендикулярного ему ребра k.

. .

э ф ф е к т а ) .

Эта константа характеризует эффективность пьезоэлект­

рического

генератора напряжения, работающего при заданной ско­

(£ = 0), или двигателя,

работающег о при з а д а н н о м токе

питания на

бесконечно большую

механическую

нагрузку

(v = 0). Н а основании

(3.50) и

(3.105), в ы р а ж а я

М:

через

константу

Мэсона,

получим:

M z

= z1 2

= // a /(ico/ 2 ) .

(3.108)

П о л о ж и в

в ур-ниях

(3.105)

i = 0 и поделив

их

друг

на друга,

получим в ы р а ж е н и е для чувствительности

пьезоэлектрического

преобразователя - генератора (микрофон),

работающего

на беско­

нечно большое электрическое сопротивление нагрузки

UIF^-qAndF^B-K

(3.109)

К а к

видно из (3.109),

чувствительность

такого

микрофона за­

висит от •величины And/e0.

которая

носит название константы Хар -

кевича и обозначается

буквой

g. М е ж д у

константами d, ] и g су­

ществует очевидная связь:

/ = ED g = 4 я d ED/ta

= 4ndE^

= 4n E%

gl( 1-І2).

(3.110)

b = h+f

/?[а>в /|(1/1<вС5 + г в ) ] - ' .

(3.111)

В (3.111)

роль jo играет сопротивление гибкости

кристалла при

разомкнутой

электрической цепи j 0 = l / ( k o c D ) . Собственное элект­

рическое сопротивление заторможенного кристалла

zz(V) в ы р а ж а е т ­

ся СООТВеТСТВеННО Z2(«) = :l/(i'CoC6 ) .

UIF-

:

—

в

.

So [ 1 +

(і о С% га)~1 ] + р /2/(со2 4 гн )

Используя

(3.108), можно

из (3.112)

найти

Сэ

отдаваемое преобразователем .напряжение

U на

внешней нагрузке zn:

U = (MJbo)zH[zH

+

(1/ісоС6 — M | / 5 o ) ] - i F.

(3.113)

В ы р а ж е н и е (3.113) 'Соответствует

эквивалент -

ной схеме, изображенной

на рис. .3.14. Р о л ь эк -

Р я с

З Л 1 4

экви-

вивалентной

э л е к т р о д в и ж у щ е й

силы

генератора

валентная

схе-

здесь играет

величина MZF/ ba—kgFKhh),

КОТО-

ма

пьезопреобра-

р а я -соответствует

н а п р я ж е н и ю

холостого

хода

^nlTo'movomoh

генератора и

м о ж е т 'быть

получена

с

п о м о щ ь ю

деформации

г0

= l / ( i со 9

-

муьо

= [ 1 -

f l\cD

СБ //|]/(і со Cg ).

(3.114)

И з

(3.114)

видно,

что

внутреннее

сопротивление такого

преоб­

разователя

—

емкостное. Емкость С э

несколько больше

емкости

з а ж а т о г о кристалла,

т. е. C3 = C g

[ 1—/ 2 / 2 с л С у / f ] - 1 .

Преобразователь с неоднородной

деформацией

Рассмотрим

пьезоэлектрический

преобразователь, выполнен­

ный в

виде

длинного

стержня

(рис. 3.15),

в котором проявляется

поперечный

пьезоэффект,

как

и

в

ранее

разобранном

случае.

Н а преобразователь подается с

электрической

стороны

перемен­

ное н а п р я ж е н и е такой

частоты,

что длина волны

механических ко­

лебаний кристалла на этой частоте сравнима с

длиной

стержня

(размер U) или меньше ее, но много больше двух других

размеров .

Естественно о ж и д а т ь

появления

механических волн

с ж а т и я — р а с ­

тяжения в пьезоэлектрическом стержне вдоль ребра

/ І на этой час­

ний стержня k, Із придется к местным ур - ниям

(3.101а) присоеди­

нить еще динамические

уравнения

движения стержня . З а д а ч а уп­

рощена б л а г о д а р я

тому,

что ребра

/2

и 4 настолько малы, что в на­

правлении их все

р а с с м а т р и в а е м ы е

величины Р, g , а, £ не

меня­

ются. Так как, кроме того, все р а з м е р ы стержня

(в том числе и Л)

столь малы, что выравнивание электрического

потенциала

вдоль

ность

поля (§ не зависит от

координаты х, отсчитываемой вдоль

ребра

/ ] . Остальные

величины

будут функциями координат х:

D = D(x), а = а(х), 1 =

1(х).