книги из ГПНТБ / Бальчитис А.А. Емкостная подобласть индукционных процессов преобразования потоков энергии
.pdfcoD = -— — ларморова или циклотронная частота дл я магнитного
те
заряда g.
Следовательно, вместо исследования поведения движущегося электрона можно исследовать менее сложную картину движения магнитного заряда
электрона |
в электрическом поле. |
|
|
|
|
|
|||||
Зависимость |
(6.24) |
может |
быть |
преобразована |
так |
|
|
||||
|
^ me-v± |
_ |
т е |
|
|
= т е - с 2 = |
<Ж* = е-г |
|
(6 25) |
||
L |
ey.y.0-vLD |
|
ец[х0 |
• ЕЕ0 Е |
еЕ |
F |
т |
' |
У • > |
||
г Д е Qm) = |
me-c2— |
обобщенный |
заряд массы |
электрона, |
согласно |
(5.19); |
|||||
Em = F-Q~l |
— обобщенная |
напряженность |
гравитационно-инерциаль- |
||||||||
|
|
ного |
поля |
|
[см. |
(5.22)]. |
|
|
|
|
|
Зависимость (6.25) |
наглядно иллюстрирует идею общей теории относи |
||||||||||
тельности |
о связи |
между |
кривизной |
пространства |
и напряженностью грави- |
тационно-инерциального поля, которая использована при разработке мето
дики |
обобщенного |
исследования процессов передачи и преобразования пото |
|
ков |
энергии |
(гл. |
5): напряженность гравитационно-инерциального поля в |
данном случае определяется кривизной R£1 траектории движения электрона |
|||
с массой те |
и электрическим зарядом е, на который действует электрическое |
||
поле |
силой |
F=eE. |
|
Из тождества |
равенств (6.23) и (6.24) следует, что |
В рассматриваемом случае при увеличении напряженности электричес кого поля Е ларморов радиус RL уменьшается, а циклотронная частота — увеличивается. Эти явления весьма существенно должны отразиться на под вижности заряженных частиц, следовательно, — и на проводимости газа.
В случае переменного поля D (?) исходное дифференциальное уравнение движения электрона в канале ЭГазДИ-преобразователя, работающего в ре жиме разомкнутой внешней цепи, имеет вид
me^=g(vxD) |
= gHu, |
(6.26) |
|
|
где 7- — р а д и у с - в е к т о р . |
|
|
||
Если выбрать направление осей координат таким образом, чтобы вектор |
D |
|||
совпал с осью z, |
то уравнения |
(6.26) будут соответствовать зависимостям |
||
* * _ = - * _ * д |
(6.27) |
|
||
*L.= J L d x D , |
(6.28) |
|
||
dt2 |
те |
dt |
v |
' |
220
Решением системы уравнений (6.27), (6.28) являются равенства
x = x 0 |
+ ^ s i n ( t o f l r |
+ a), |
(6.29) |
|
у |
= У о + |
~о^зc o s ( ( ° c r + |
a ) - |
(6.30) |
Здесь х 0 |
и у 0 |
- начальные |
координаты частицы g; |
|
|
v0 |
— начальная скорость в плоскости |
ху. |
|
Исключая |
время из уравнений (6.29) и (6.30), получаем |
|||
( x - x 0 ) * + ( > ' - J o ) * = ( ^ ) 2 = i? t , |
(6.31) |
|||
т.е. траектория частицы g в плоскости движения |
(ху) представляет собой |
|||
окружность с радиусом RL, |
а траектория электрона, |
соответственно, — ту ж е |
окружность, на которую накладывается траектория поступательного движе ния со скоростью v x .
ВЭГазДИ-преобразователе используются переменные электрические
поля D = D„,sm |
(tof+cp), |
и циклотронная |
частота определяется зависимостью |
||
сод = 8 |
- т - sin (Ш |
+ <р) = t o ^ sin (ш |
+ <р). |
|
|
Траектория магнитного заряда электрона g |
в той ж е плоскости (ху) |
будет |
|||
представлять, |
согласно |
(6.31), сворачивающиеся и разворачивающиеся |
спи |
||
рали. Соответственно, траектория электрона |
будет представлять те же спира |
ли, на которые накладываются изменения траектории вследствие движения
рабочей среды и переноса электронов (без |
скольжения) со |
скоростью |
v ± . |
||||||||||
Учет скольжения |
электронов еще более усложняет рассматриваемую |
задачу. |
|||||||||||
|
Уравнение баланса сил, действующих на движущиеся электроны |
— маг |
|||||||||||
нитные заряды электронов g, имеет вид |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
g[H, |
+ (vgxD)] |
= me-vg-wg, |
|
|
|
|
|
(6.32) |
|||
где |
|
^g — ^i1 |
— частота |
соударений |
частиц g с |
другими |
частицами газа; |
||||||
|
|
т г |
— время |
свободного |
пробега |
частиц g. |
|
|
|
||||
|
Скорость |
движения vg |
можно |
выразить |
через |
плотность |
магнитного |
то |
|||||
ка |
К- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vg=~BH(gng)-\ |
|
|
|
|
|
|
(6.33) |
|
|||
где |
ng |
— концентрация |
частиц g |
(ng=ne). |
|
|
|
|
|
||||
|
Подстановка выражения (6.33) в (6.32) |
дает |
|
|
|
|
|||||||
|
|
H' + (gng)-1(bMxD)=^SM. |
|
|
|
|
|
|
(6.34) |
||||
Здесь |
= g2ng- |
zg- т~1 |
— удельная |
магнитная |
проводимость (1.29). |
|
221
После векторного умножения обеих частей равенства (6.34) на D получаем |
|||||||||
Y<°>{ I( J x f f ) + |
3х(1Ып*°])=»х К |
(6-35) |
|||||||
Выражение |
D х ( § м х D) |
преобразуется |
следующим |
образом: |
|||||
D х СК xD) |
= 8u(DD)-D |
(D S M ) = 8 М |
[ 5 1 S M > |
(5 K) = 0]. |
|||||
С учетом этого |
преобразования после подстановки значения 8 М х D, согласно |
||||||||
(6.34), равенство (6.35) принимает вид |
|
|
|
||||||
YL0) КД * Я ' ) + (g/i,) - 1 |
KD>] =gng |
(4г |
8- - Я ' ) |
( 6 - 3 6 ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Тм |
|
|
или, с учетом |
зависимости |
|
|
|
|
|
|||
gng |
me |
g |
|
|
g' |
|
|
|
|
записывается следующим |
образом: |
|
|
|
|||||
§ М = Т |
^ |
[ |
я |
' + |
^ |
- ^ ( | х Я |
' ) ] . |
|
(6.37) |
Соотношение (6.37) определяет магнитную проводимость газа, движу щегося в электрическом поле с учетом обращенного эффекта Холла [179].
Равенство (6.37) показывает, что при наличии эффекта Холла зависимость закона Ома SM = j^-H' — изменяется. За счет обращенного эффекта Холла вектор плотности магнитного тока &м поворачивается и увеличивается по модулю. Проекции вектора § м на оси х а у в том случае, если вектор Н' направ лен по оси у, имеют следующие значения
|
(0) |
|
|
|
|
|
Si*) = Y^\H'\, |
|
|
(6-38) |
|||
м |
1 — (Of, |
• Tz |
1 |
1 |
v |
|
|
D |
g |
|
|
|
|
^ - u J W |
l ^ |
' l |
, |
|
(6-39) |
|
где |
D |
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H' |
\ = Hy — vD = H— vD. |
|
(6.40) |
Равенства (6.38) и (6.39) указывают на различную магнитную проводи мость по разным направлениям.
Модуль вектора 8М равен
• *-1 = (К w + К J 2 = yL0 ) (1 - |
• Ъ 2! й' |
I > |
в < 6 - 4 1 ) |
222
т.е. за счет обращенного эффекта Холла длина вектора $м увеличивается в
( 1 - с о Ь ' |
|
раза. |
|
|
|
|
Угол |
между |
векторами 8М и Н' определяется соотношением |
|
|||
t g |
0 |
= - £ - |
Jd • i g . |
|
(6.42) |
|
|
|
§0-) |
|
|
|
|
Безразмерная |
величина |
|
|
|||
|
|
|
Т10) • D |
|
(6.43) |
|
|
|
|
|
|
|
|
может быть названа параметром обращенного эффекта |
Холла, являющимся |
|||||
критерием |
|
подобия. |
|
|
|
|
При наличии обращенного эффекта Холла закон Ома выражается |
равенс |
|||||
твом |
|
|
|
|
|
|
K(o |
= Y«dk)-Hk, |
(6.44) |
||||
но тензор магнитной проводимости среды yi f e является |
функцией Н, |
компо |
||||
ненты которого не симметричны по индексам / и к: |
|
|
||||
Тм№)(Я) = Т м |
Ш ) ( - Я ) . |
|
(6.45) |
Тензор магнитной проводимости может быть представлен компонентами:
1 — Э3 |
l - ( 3 2 |
|
Yм (ik) '• |
Y (0) |
(6.46) |
I м |
1 - Р 2
Оо У
Зависимость (6.46) имеет физический смысл даже для случая, когда i=k. Это показывает, что перекрестные элементы матрицы yik также являются функциями напряженности магнитного поля.
Анализ процессов ЭГазДИ-преобразования потоков энергии
Процессы преобразования потоков энергии протекают аналогично в одно фазных ЭГазДИ-преобразователях и преобразователях с бегущим электри ческим полем, поэтому можно ограничиться анализом процессов лишь в од нофазном ЭГазДИ-преобразователе, электродинамические процессы в кото ром могут быть представлены более наглядно.
223
Анализ процессов преобразования потоков энергии в канале ЭГазДИ-ге- нератора удобно вести методом обобщенного силового поля (глава 5). С целью упрощения принимается:
а) течение квазиодно мер но, т.е. параметры, характеризующие динами ческое состояние среды, изменяются только в направлении течения и посто янны по сечению;
б) электродинамическое число Рейнольдса (3.28) мало, т.е. электричес
кое поле возбуждения |
практически не зависит от движения среды; |
||
в) возмущением („реакцией якоря") электрического поля возбуждения |
|||
электрическим „полем |
нагрузки" в рабочем теле пренебрегается; |
||
г) |
пренебрегается |
электрическими токами конвекции; |
|
д) рабочим телом является идеальный газ; |
|||
е) |
теплоемкость газа |
постоянна; |
|
ж) |
в сверхзвуковом |
потоке нет ударных волн. |
Хо = 0
А
Рис . 6.2. Схема канала ЭГазДИ - генератора .
Схема канала ЭГазДИ-генератора, работающего по открытому циклу, представлена на рис. 6.2. В канале генератора со скоростью v (х) в направле нии оси х движется газообразная рабочая среда. Предполагается, что газ входит в канал со скоростью v0, давлением р0, плотностью р т 0 и комплекс ной магнитной проницаемостью р.а . Следовательно, на входе канала преобра зователя обобщенный гидродинамический потенциал равен (5.66)
?mO=/V<7mO, |
(6-47) |
224
плотность обобщенной массы газа (5.19)
<7то = со-р„,о, |
|
|
|
(6.48) |
|
обобщенная комплексная |
магнитная |
проницаемость |
|||
k=^~V-a, |
|
|
|
(6.49) |
|
где (1я = [Х[А —У у м - с о |
- 1 |
— комплексная магнитная проницаемость (1.29). |
|||
0 |
|
|
|
|
|
Секционные электроды 1 цепи возбуждения присоединены к источнику |
|||||
независимого возбуждения и создают |
квазиоднородное электрическое поле, |
||||
направленное |
по оси z |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
D (г) = Д ( / ) ( 4 т с а в . е - 1 ) 2 . |
(6.50) |
||||
Площадь |
поперечного |
сечения канала |
s = v-(x)-z(x),
где j (х) — высота канала, z (х) — ширина (расстояние между электродами 1). Причем оба параметра я в л я ю т с я заданными функциями х при условии, что
^и в рассматриваемой области пространства являются величинами
малыми, |
как этого |
требует |
условие квазиодномерности течения. |
|
||||||||
|
Д л я |
рабочего |
|
тела ЭГазДИ-преобразователя справедливы следующие |
||||||||
обобщенные |
уравнения: |
|
|
|
|
|
||||||
|
а) |
уравнение |
состояния (5.109) |
|
|
|||||||
|
|
|
Чт-9т |
= Чт9т= const; |
|
|
(6.51) |
|||||
|
б) |
уравнение |
непрерывности |
потока |
газа |
|
||||||
|
|
|
qm-vs |
= qm |
• vx |
>- у (х) • z (х) = I m = const; |
(6.52) |
|||||
|
в) |
уравнение |
движения |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
C b 2 |
- q m - v ^ + q m |
^ = / 9 Л > |
|
(6.53) |
|||||
г Д е |
/ э л ~ объемная |
плотность |
сил электрического индукционного |
взаимо |
||||||||
|
|
|
действия |
(1.50); |
|
|
|
|
||||
|
г) уравнение энергии (используется выражение для удельной объемной |
|||||||||||
мощности) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Роб = со2-Чп,-Руя= |
- v C p |
- y T ^ r |
-Co2-qm-v2 |
(6.54) |
||||||
|
|
|
dA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
/ , |
у д = ^ - |
~ удельная |
|
мощность; |
|
|
|||||
|
|
|
А |
— работа, |
совершаемая единицей массового расхода |
потока |
||||||
|
|
|
|
газа; |
|
|
|
|
|
|
8. А. А. Бальчитис |
225 |
д) |
уравнение плотности |
обобщенного |
магнитного тока проводимости |
|||||||||||
(3.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
= yM(H-vD). |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.55) |
|||
С |
учетом (6.55) |
объемная электрическая мощность |
определяется |
так: |
||||||||||
и уравнения (6.53) и (6.54) принимают вид |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
со 2 • Я.-о% |
+ Я, ^ |
|
- ~ i |
( Я и " ~ v 6 * ) Ь " • С Х ' ' |
, 6 ' 5 7 ) |
||||||||
|
|
|
|
- ^ w - i - d f r - * * ) ^ * - |
|
< 6 ' 5 8 ) |
||||||||
Д л я ЭГазДИ-генератора |
характерны |
следующие |
два |
режима: |
|
|
||||||||
а) режим к.з. или холостого хода, |
когда |
|
|
|
|
|
||||||||
|
%1) = 0 . |
I? |
= vD^.y{x); |
|
|
|
|
|
(6.59) |
|||||
б) режим разомкнутой внешней цепи |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Используя |
обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
— коэффициент |
нагрузки |
из (6.57) и (6.58), |
получаем |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
- |
|
L - 2 |
. ' |
dv |
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( < * • * . - . 5 + * . ^ |
) |
(1 - » - |
^ |
( е , |
• * г ф + « . - • * . • . J ) . |
(6.62) |
|||||||
С целью дальнейшего |
сокращения |
вводится |
обозначение |
|
|
|||||||||
|
/ ^ [ O ' ^ ' - j W ] ^ , |
|
|
|
|
|
|
(6.63) |
||||||
которое в обобщенной форме |
записывается так: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
v = |
~v=i:U) |
Ф3** |
• у M L |
|
|
|
|
|
( 6 |
- 6 4 |
) |
||
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = (1 — Э) - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.65) |
||||
226 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = [4TU(1 - р ) ] - 1 . |
|
|
|
|
|
(6.66) |
|||
Теперь |
равенство (6.62) принимает |
вид |
|
|
|
||||
|
• Фт ^ |
= Чт ^ |
4- с 0 - (1 - v) ат •в |
* . |
|
(6.67) |
|||
Электрический |
кпд преобразователя определяется |
равенством |
|
||||||
rle=\ |
-|3 = v - 1 = (4xcv)-1 . |
|
|
|
|
(6.68) |
|||
Следовательно, |
равенство |
(6.67) |
можно |
представить так: |
|
||||
|
- |
с , |
- Ф, £ |
- 1 |
. [ - I f - |
« г 1 ( |
£ - ч . ) * . - |
- £ ] • |
<«•<»> |
Наиболее простым для анализа частным случаем течения газа в канале является течение с постоянной скоростью (w=const, >' = const). Величина z (х) будет изменяться, поэтому сечение канала будет величиной переменной. В этом случае уравнения (6.52) и (6.69) упрощаются
= const, |
(6.70) |
( 4 . , ^ < V ^ - = ^ - |
^ |
Уравнение состояния (5.106) может быть представлено в дифференциаль ной форме
Подставляя (6.72) в (6.71), получаем
\4jt7je |
R |
lm) |
dx |
dx |
или с учетом |
(6.68) |
|
|
|
|
Ср-$т |
\ |
</фг |
d ~q |
|
R |
^m] |
dx |
1 dx |
Введем понятие удельной обобщенной изобарной теплоемкости (5.138)
= |
- С , |
(6.75) |
и используем обобщенную универсальную газовую постоянную (5.107). Тогда уравнение (6.75) записывается так:
( П , . ъ . * - 1 - 1 ) д я ^ = $ТЦ?. |
(6.76) |
р* |
227 |
Выражая зависимость удельной обобщенной теплоемкости от обобщенной газовой постоянной в виде
Ър = - ^ Щ Т , |
|
|
|
|
|
(6.77) |
||||
где у — показатель адиабаты, из (6.76) |
получаем |
|
||||||||
5 |
|
= - |
- |
^ |
^ . |
|
|
|
(6.78) |
|
<?т |
|
y ( v - l ) + l |
qm |
|
|
|
у |
' |
||
Решение |
уравнения |
(6.78) |
дает |
|
|
|
||||
9 Т 0 |
\ <7то ! |
— |
\ Что |
|
|
(6.79) |
||||
^L |
= (J«\ |
"' = |
№ |
Л |
Y |
|
||||
Используя условие непрерывности (6.70), получаем зависимость, необхо |
||||||||||
димую для |
|
профилирования |
канала |
|
|
|
||||
r W = / j m \ 1 _ W |
|
|
|
|
|
(6.80) |
||||
z (х0) |
\ |
фпо ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
значение ширины |
канала |
равно |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. — г |
|
<z(x)>=L-i |
|
f z |
( |
i ) & = |
^ |
i . |
(6.81) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Y - 1 |
1 - q m - q , m0 |
|
Д л я определения мощности канала ЭГазДИ-преобразователя необходимо рассчитать полный магнитный и электрический токи. Полный магнитный ток (эффективное значение) равен
|
/ ( «) = |
§эф < z |
( * ) > £ = §эф |
. й < z (х) >L = |
|
||
|
м |
м (a) |
v ' |
ы(а) раз " |
" \ / |
|
|
|
|
= у м • г-Ьэ * в < z (*) > L . |
|
(6.82) |
|||
Соответственно, полный |
электрический |
ток (эффективное значение) |
равен |
||||
|
I e = vD^y{x)-{\ |
|
- в ) . |
|
|
(6.83) |
|
Тогда |
полная |
активная |
мощность |
канала преобразователя будет |
|
||
|
P = Re[/M • / > ] = / э Ф . / э ф . с о § ( р |
= |
|
||||
|
= < z (х) > у (х) LyM (vD^)2 |
cos ср • В (1 — В), |
(6.84) |
||||
где ср - |
угол |
между |
/ м и 1е. |
|
|
|
|
Но |
произведение |
|
|
|
|
z(x)-y(x)-L=V
228
равно |
объему канала генератора, |
следовательно, объемная мощность равна |
|||||
|
р = ум (ы5э Ф)2 со8ср-(3(1 - р ) |
|
|
|
(6.85) |
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
р = у м {vD^f |
cos 9 • Y ) , ( 1 - |
7je). |
|
|
(6.86) |
|
Максимальная |
активная |
объемная |
мощность |
получается при |
vje =0,5 |
||
и cos |
9 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Pmax = ~lAvD^Y. |
|
|
|
|
(6.87) |
|
Приведенные |
основные |
зависимости |
процесса |
преобразования |
энергии |
в ЭГазДИ-генераторе весьма приближенные. При более детальном рассмотре нии прежде всего необходимо учитывать трение, возникающее при движении
рабочего |
тела в ЭГазДИ - канале, теплоотдачу |
и концевые потери. |
|
||||||
С учетом трения уравнение (6.57) |
записывается |
следующим |
образом: |
||||||
~Vqm-c0-2-v*{2d)-\ |
|
|
|
|
|
|
(6.88) |
||
где X, — коэффициент |
трения; |
|
|
|
|
|
|||
d — „гидравлический" диаметр |
канала. |
|
|
|
|||||
Если |
по длине |
канала v = const, то уравнение |
(6.88) упрощается |
|
|||||
|
^ Г = ~ |
Тп'^аУЬэФ |
• с о 8 9 - |
^ и - с 0 - 2 |
- » * ( 2 < / ) - 1 . |
(6.89) |
|||
Соответственно, |
уравнение |
энергии |
(6.58) |
принимает вид |
|
||||
а уравнение непрерывности потока (6.52)— |
|
|
|
|
|||||
-^[qm-v-y(x).z(x)] |
= 0. |
|
|
|
|
(6.91) |
|||
В случае активной нагрузки закон Ома для цепи |
генератора выражается |
||||||||
равенством (6.55) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Я * + Y - 1 |
•«;*>• |
|
|
|
|
|
(6-92) |
|
Решая совместно систему уравнений (6.55), |
(6.89) —(6.91), получаем вы |
||||||||
ражение, |
определяющее |
длину |
ЭГазДИ-генератора |
|
|
||||
L |
= |
|
9 « . < ? » > ( 1 - ' Р т - ф - 1 ) |
|
|
|
. g 9 3 ) |
||
|
(4™) " 1 КФ(а) • Й Э Ф • COS 9 + < t; > < «m |
> |
< ^ > С„2) - 1 |
|
229