книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

Г л а в а п я т а я

МЕТОД НОРМИРОВАННЫХ ФУНКЦИЙ

...любой математик всегда выберет простейшую из открывшихся возможностей, которая не слишком рас­ ходится с фактами. Хотя, казалось бы, нет никаких особых причин считать, что Вселенная устроена про­ сто, все же лучше предполагать, что это именно так. Если же проблема, над которой работают, действи­ тельно очень сложна, то ее можно оставить до той поры, пока не будет найден подход простой, но достаточно близкий к истине, чтобы его применить. Особых осно­ ваний считать природу подчиняющейся математиче­ ским закономерностям нет, но если бы это было не так, вряд ли был бы возможен прогресс теории. На прак­ тике математические модели оказались полезными, не­ зависимо от того, сказала ли теория Эйнштейна послед­ нее слово в теории тяготения или нет.

Д. Томпсон

Несмотря на ноту априоризма, прозвучавшую в приведенном вы­ сказывании, в нем довольно точно сформулирована основная идея научного подхода к исследованию любой сложной проблемы: простота и соответствие опыту. И хотя эти требования, как правило, бывают трудно совместимы, все же количественный подход к изучению проб­ лемы следует начинать с наиболее простых математических моделей. Любая самая грубая математическая модель явления при правильном ее восприятии по крайней мере не уменьшает наших знаний об исследу­ емом предмете, в то же время любая самая точная модель может при­ вести к ложным выводам, если ее результаты воспринимать без долж­ ного анализа. Именно поэтому на любом этапе исследования проб­ лемы особая роль принадлежит качественному анализу и интуиции. Однако «интуиция — деликатное оружие, которым надо уметь поль­ зоваться, и помогает этому самая обыкновенная «выучка». В частности, в математике и физике полученные интуитивно результаты должны быть возможно скорее подтверждены строгими рассуждениями. Самую инту­ ицию надо тренировать в том направлении, чтобы вместе с результатом она помогала найти подтверждающее его достаточно простое рассуж­ дение или короткую изящную выкладку»*.

Приступая к изучению задачи аддитивного программирования, начнем с наиболее простого ее частного случая — линейного програм­ мирования. Основное внимание при разработке метода НФ будем уде­ лять содержательной постановке конкретной рассматриваемой зада­ чи. Накопленный при этом опыт решения задач ЛП методом НФ мы

180

сможем распространить на более широкий класс условий, отвлекаясь

вто же время от конкретного физического содержания задачи.

I.Це л о ч и с л е н н о е л и н е й н о е

п р о г р а м м и р о в а н и е

Задача ЛП будет нас интересовать, во-первых, как пробный ка­ мень, на котором мы начнем испытание и обоснование метода НФ. Вовторых, основное внимание при этом будет уделено вопросам размер­ ности и целочисленности.

Повышение максимально допустимой размерности задачи ЛП, как правило, достигается путем ее расчленения. Прием бывает удобен, ес­ ли матрица условий ||а;г||тп имеет блочную структуру. Нас будет ин­ тересовать такой случай, когда матрица || ||тп заполнена более-менее равномерно и разбивка ее на блоки затруднена. Вопрос целочислен­ ности также остается злободневным, несмотря на то, что в последнее время здесь получены некоторые интересные результаты [2 2 ].

Наконец новые подходы к решению задач ЛП, теория и методы которого могли бы казаться уже завершенными, являют собой пример скрытых возможностей и неисчерпаемости любой науки. Для нас это важно хотя бы уже потому, что наводит на мысль о возможности даль­ нейших обобщений самого метода НФ и снятия тех ограничений, от которых не удалось избавиться нам.

§5.1. Прямая задача линейного программирования

иметод нормированных функций

1.Постановка задачи. Запишем задачу ЦЛП:

Множества индексов і и / соответственно обозначим Іп, Jт. Пока допустим, что коэффициенты ал положительны для / ( / „ и / Г) Jт. Без сужения общности это условие влечет за собой и требование положи­ тельности сг (в противном случае соответствующие переменные можно не рассматривать).

далее будем использовать при обосновании метода НФ.

* Условие bj > 0 обобщается далее [см. задачу (5.188)].

181

Положим, предприятие может выпускать п видов продукции. Для

Основные идеи метода НФ возникают в ходе следующих рассуждений. Сравнение данной задачи с задачей § 4.1 (1) в том случае, когда ее целевая и ограничивающая функция линейны, приводит к мысли,

что задачу §4.1 (1 ) при указанных условиях можно рассматривать

Компоненты вектора целочисленного оптимального решения:

L(X') = clxl= cl \ - ^

Lai

Возникает вопрос, нельзя ли и весь метод ПП также рассматри­ вать как частный, вырожденный, случай некоторого более общего ме­ тода, позволяющего решать задачу ЛП при наличии многих ограниче­ ний (т> 1). Обратимся к содержательной стороне задачи, проанали­ зируем и сравним оба случая: т = 1 , т > 1 .

В первом случае для производства любого вида продукции ис­ пользуется только один вид ресурса. Практически это можно предста­ вить, например, таким образом, что ресурсом b является некоторый фиксированный бюджет, на который может быть закуплено необходи­ мое количество любого из т видов сырья для производства каждого из п видов продукции. Величина at тогда будет отражать полные за­ траты на создание единицы г-го вида продукции, а величина vt — эффективность вложения затрат в г'-й вид продукции (прибыль на еди­ ницу затрат).

При т > 1 ,м ы имеем дело не с бюджетом, а с видами сырья, при­ чем важно отметить тот факт, что процесс производства [и оптимизации функции L (X)] прекращается только в том случае, когда оставшегося количества хотя бы одного вида сырья уже недостаточно для производ-

182

ства единицы любого вида продукции или, иначе говоря, когда исчер­ пывается хотя бы один вид ресурса. Вид ресурса, явившийся причиной прекращения процесса, будем далее называть лимитирующим. Их мо­ жет быть и несколько.

Можно говорить о равнозначности (с точки зрения возможности стать причиной прекращения процесса) любого вида сырья независи­ мо от его физической природы. Но если так, то полезно иметь единую меру измерения неоднородных ресурсов. Это важно для контроля за расходованием ресурсов и организации оптимального процесса про­ изводства. Для разнородных по физической природе ресурсов такой мерой может быть только относительная мера.

Таким образом, в силу «равнозначности» каждого вида ресурса мы приходим к выводу о необходимости его нормировки, что легко сделать, если принять наличное количество каждого (/-го) вида ресурса за 1 0 0 %

а в общем случае — Ь> 0. Это удобно и с вычислительной точки

нятием которой встретимся ниже. Соответствующие обозначение а(/Л

П р и м е ч а н и е . Достаточно, очевидно, что г-нормировка является тождественным преобразованием неравенств и никак не влияет на оптимальное решелие. Преимущества же нормировки начинают сказываться немедленно. Так, появляется возможность уменьшить число ограничений в задаче (1-й этап явного доминирования).

Например, удалось заметить, что

и хотя бы одном k Ф г. Из (5.8) следует, что при любом допустимом решении задачи /е-е ограничение по мере наращивания компонент вектора X выпол­ нится раньше, чем г-е. Последнее может быть исключено из рассмотрения {г-й

183

Процесс повторяется до окончания хотя бы одного вида ресурса. Следует отметить, что от шага к шагу дефицитный ресурс может ме­ няться, что следует из неравномерности убывания различных видов сырья. При этом количественные соотношения между эффективно­

стями вложения затрат t>(// можно записать рекуррентной формулой:

Формула (5.15) получается на основании (5.14), (5.10) и (5.13). Так как относительная скорость убывания максимальна у дефицит­

ного ресурса (і = /(), то и скорость убывания эффективности вложе­ ния затрат максимальна также у і = /г го элемента вектора {t/^} (мат­ рицы \\v(ji\\mn). Следовательно, по мере увеличения /*-й переменной наступит момент, когда соответствующий ей элемент ѵ(Р или станет меньше некоторой другой величины ѵ(Л*, или выполнится одно из ограничений (окончится запас какого-либо вида ресурса). В первом случае произойдет смена наращиваемой переменной (смена вида дефи­ цитного ресурса и вида выпускаемой продукции), во втором — пре­ кращение процесса.

Наши рассуждения основывались на предположении, что а}1> 0**, однако они справедливы и при некоторых ап^.0. Если ан = 0, то это означает, что для производства данного вида продукции не требуется сырья /-го вида и, следовательно, процесс производства (и оптимиза­ ции) может продолжаться только по тем видам продукции, для выпус­ ка которых не требуется сырья /-го вида. Тем более процесс может про­ должаться по производству тех видов продукции, выпуск которых со­ провождается пополнением /-го вида сырья (т. е. ан < 0 ).

По сути дела, мы уже располагаем всеми необходимыми сведени­ ями, чтобы записать алгоритм решения задачи, однако остановимся еще на двух вопросах, которые позволят еще более упростить алго­ ритм и его запись — на понятии вертикальной нормировки и на при­

** Коэффициенты aji и дЕ* всегда совпадают по знаку.

185

Величины b > 0, с >> 0 выбираются исходя из удобства вычисле­ ний. Если мы хотим, например, чтобы в ходе расчетов нормированные

величины а^і были близки к исходным ненормированным их значени­ ям, то следует принять:

Упрощение алгоритма при полной нормировке достигается за счет эквивалентности процедур:

feJm 1

После в-нормировки можно попытаться уменьшить число пере­ менных, исключая те (1-е) переменные, для которых выполняется условие

вие (5.20), как и (5.8), достаточно ясно по смыслу [см. (5.16)1. Целесо­ образность его проверки обсуждается в приложении III. Поскольку в ходе последовательного процесса оптимизации область оптимиза­ ции изменяется (сокращается), то для записи алгоритмов удобно ввести

т. е. текущий ресурс (невязки) соответственно, > , < , = или г£С 0 .

Следуя символике, принятой в работе 158], можно записать:

186

Очевидно, Rt U -^Г U#<° = Jm> t = 1 ,...,d. IRо; IR* — подмноже­

ства номеров переменных, все коэффициенты а,г при которых соответ­ ственно отрицательны или неположительны для всей совокупности ограничений R°t . Указанные подмножества могут быть обозначены че­ рез уже известные подмножества, как их пересечения:

(распределение минимальными порциями) и также обеспечивает, как правило, хорошее решение.

187

З6. Пересчитать значения текущих параметров:

от классического метода решения задач ЛП — симплекс-метода. Ме­

но в ЛП. Отличие невязок от нуля может привести к тому, что число переменных, отличных от нуля, в целочисленных задачах может стать

188

Симплекс-метод дает следующее дробное решение задачи:

лученного согласно алг. 5.1. Проверку следует делать только в том случае, когда согласно (5.20) был отсеян ряд переменных в исходной задаче. Она заключается в следующем.

Решается исходная задача ЦЛП, но в оптимизации участвуют толь­ ко отсеянные ранее переменные. В качестве исходных значений ресур­

са используются полученные невязки Ь\ь). Общее решение получа­ ется как сумма обоих решений. Пример (5.34) иллюстрирует сказан­

Сумма этих решений дает ответ (5.35).

Однако заметим, что это не всегда уберегает от возможной погреш­ ности, так как невязки сокращаются за счет отсеянных, «некачествен­

оптимизации систем с большим числом взаимосвязанных элементов, как и особенность решения крупноразмерных задач математического программирования, формализующих такие системы, состоит в том, что процесс оптимизации и получения решения чаще всего не удается уложить в рамки одного, даже достаточно большого алгоритма. Как правило, решение расчленяется на ряд взаимосвязанных этапов, на каждом из которых используются в различных соотношениях качест­ венные и количественные методы анализа и решения*. Однако даже решение уже формально поставленной задачи большой размерности является сложной проблемой и может расчленяться на ряд этапов, на каждом из которых не исключено появление погрешностей. Это означает, что каждый из этапов должен подвергнуться анализу с оценкой возможной погрешности и объема вычислений.

Заранее невозможно указать порядок расчленения процесса ре­ шения — в каждом конкретном случае подходы могут быть свои. При­ менительно к рассматриваемой нами задаче можно выделить следую­ щие четыре этапа: предварительная обработка задачи; оптимизация; оценка решения; дополнительные проверки и уточнение решения.

* Подробнее об этом см. [31].

189