книги из ГПНТБ / Турбулентное смешение газовых струй

§ 2] Уравнения для осредненных параметров 81

Основная цель данной главы заключается в теорети­ ческом анализе смешения газов разной плотности приме­ нительно к тем вариантам, которые были исследованы экспериментально (см. гл. I). Поскольку подогрев газов в опытах был невелик и справедливость уравнения состоя­ ния в форме (2.40) не вызывает сомнения, можно исполь­ зовать упрощенную систему уравнений. Рассмотрим тече­ ние в начальном участке струи, считая течение вблизи

струи, отличие параметров осесимметричного течения от плоского не превышает 5—10%.

Предположим, что распределение всех параметров на срезе сопла равномерно, т. е. пограничные слои отсутст­ вуют. В этом случае схема течения, изображенная на рис. 2.1, сводится к смешению двух плоскопараллельных равномерных потоков и система уравнений может быть упрощена. Обозначая индексами 1 и 2 параметры газов в струе и спутном потоке и используя обозначения, введен­ ные в гл. I, получим из уравнения состояния (2.40) связь

где п = р2/рх. Условие равенства коэффициентов переноса, подобие уравнений (2.27) и (2.28) и начальных условий (отсутствие пограничных слоев) для энтальпии и мас­ совой концентрации позволяет получить следующий

Введем турбулентное число Шмидта как отношение коэффициента турбулентной вязкости к коэффициенту

и будем считать, что оно постоянно. Тогда окончательно упрощенная система уравнений будет выглядеть следую­ щим образом (черточки, означающие осреднение по вре­

Профили h, с и Т находятся по формулам (2.43), (2.45) и (2.46). Из анализа граничных условий и уравне­ ний видно, что профили скорости, плотности, энтальпии и концентрации зависят только от двух определяющих па­ раметров тп = и21и1 и п = p2/piПрофиль температуры, кроме того, зависит еще от отношения cpJcPl = ср.

речной скорости.

В отличие от теории пристеночного пограничного слоя, где поперечная скорость на стенке равна нулю, в теории струй такого очевидного условия нет. В связи с этим в ли­ тературе обсуждались различные граничные условия для поперечной скорости vx. Некоторые из этих условий были получены на основе анализа условия баланса потока им­ пульса поперек зоны смешения [1, 33].

Однако при получении конечного результата в этих работах не учитывался ряд важных факторов. Так, в рабо­ те [33], где содержится довольно полный анализ различ­ ных составляющих потока импульса, не учтены силы дав­ ления и турбулентного трения. По-видимому, анализ тече­ ния только внутри зоны смешения и уравнений погранич­ ного слоя, справедливых также только в зоне смешения, не достаточен для нахождения граничного условия для скорости v. Наиболее полно вопрос о выборе граничного условия для поперечной скорости применительно к тече­ нию в зоне смешения рассмотрен в работе Лю Тинга [34]. В этой работе недостающее соотношение для vx находится из условйя «стыковки» решений уравнений Навье — Стокса для вязкого течения внутри зоны смешения и по­ тенциального течения вне зоны. Решения находятся в виде рядов по степеням малых параметров. Оказывается, что для случая смешения несжимаемых потоков справедливо известное условие Кармана:

»1®1 = U2^2* (2.52)

На практике реализация смешения полубесконечных потоков невозможна, а течение в начальном участке пло­ ской или круглой струи, распространяющейся в спутном потоке, лишь приближенно напоминает это течение. Стро­ го математически течение в зоне смешения, как это пока­ зано в работе [34], неавтомодельно, a vy — vx (х). В то же время экспериментальные данные показывают, что в не­ возмущенном ядре струи течение практически изобарично и нх = const. Из уравнения (2.50) в этом случае следует,

dv А

что в ядре струи = 0, но из условия симметрии па оси

(2.52) также дает vx = 0; тот же результат получается при смешении потоков с одинаковой скоростью. Расчеты те­ чения в слое смешения потоков с одинаковой плотностью, проведенные А. Кьюзом [32] при граничных условиях, соответствующих формулам (2.52) и (2.53), показали, что различие в граничных условиях для v проявляется лишь в незначительном повороте зоны смешения относительно начала координат. Максимальное различие параметров зоны смешения для этих двух случаев граничных условий при т = 0,5 не превышает 3—4%. Поскольку условие г?! = 0 ближе соответствует случаю течения в зоне сме­ шения струи со спутным потоком, то в дальнейшем исполь­ зуется граничное условие (2.53).

§3. Анализ отдельных точных решений

1.Для того чтобы получить точные решения систем уравнений (2.48) — (2.50), выразим коэффициент турбу­ лентной вязкости через осредненные параметры по фор­ мулам Л. Прандтля. Для большей общности соотношения (2.4) — (2.5) представим в единой форме:

Придавая в соотношении (2.54) параметру а значения 2 или 1 и принимая для функции А (х) выражение Р (х) или х,Ь (1 — т), можно получить «старую» (2.4) или «новую» (2.5) формулы Л. Прандтля. Будем искать авто­ модельные решения системы (2.48) — (2.50) применитель­ но к течению в зоне смешения. Введем для этого новые переменные:

В этом случае операции дифференцирования выразятся

§ 3J Аналйз отдельных точных решений 85

через Q (х) следующим образом:

Для существования автомодельного решения системы (2.57) — (2.59) необходимо, чтобы в ней отсутствовали члены, явно зависящие от х. Приравняем поэтому входя­ щий в эту систему множитель, зависящий от х, постоянной

Q'xQa а

Вид постоянной в правой части равенства (2.61) выб­ ран так, чтобы полученные уравнения совпадали с из­ вестными из литературы [1] соотношениями. Уравнение (2.61) позволяет найти вид функции Q(x):

При интегрировании (2.61) было принято, что Q (0) = = 0; это условие эквивалентно равенству нулю толщины зоны смешения в начальном сечении.

Рассмотрим некоторые точные решения для профиля скорости. С этой целью проинтегрируем уравнение (2.59)

Рассмотрим случай a Sc — а + 1 = 0, который реали­ зуется, например, в «старой» теории Л. Прандтля { а—2) при Sc = 0,5. В этом случае последнее слагаемое в (2.72) исчезает, поэтому, сокращая на (F")3—1 += 0, получим

имеет конечную протяженность с особенностями в точках и £а. В этих точках терпят разрыв вторая производная

ражений (2.70) и (2.74).

Данная особенность «старой» теории Л. Прандтля связана с тем, что турбулентная вязкость согласно этой теории обращается в нуль на границах зоны смешения. По «новой» теории Л. Прандтля турбулентная вязкость по­

Уравнение (2.75), в отличие от (2.67), имеет гладкое решение с непрерывными производными любых порядков, причем значения F' = 0 и 1 достигаются соответственно при значениях

| = — оо и + оо.

Метод, аналитического решения уравнения (2.66), предложенный Гёртлером, сводится к поискам его решения в виде ряда по степеням параметра X = (1 — т)/ (1 + т). При т = 0 параметр А = 1 и сходимость ряда ухудшает­ ся, поэтому сумма первых членов ряда далека от точного решения. Для получения лучшего согласования опыта с теорией профиль Гёртлера приходится «смещать» вдоль координаты | [1]. Как справедливо отмечается в работе [33], точное решение уравнения (2.75) хорошо согласуется с опытом и необходимость в дополнительном сдвиге решения отпадает.

Проще находится точное решение для предельного случая одинаковых скоростей {т —>■1) и плотностей (n->- 1) смешивающихся потоков по «новой» теории Л. Прандтля. В этом случае уравнение (2.66) приводится к виду

При а = 2 уравнение (2.76) соответствует «старой» те­ ории Л. Прандтля и при F" — 0 имеет особенность. Как уже отмечалось, в этом случае решение получается в