книги из ГПНТБ / Турбулентное смешение газовых струй

Всоотношениях (2.9) — (2.11) делается попытка учесть особенности смешения сжимаемых турбулентных потоков путем изменения формы связи Е с параметрами потока и введением в эту связь явной зависимости от разницы плотностей в поперечном сечении струи. Прежде всего следует отметить, что всем этим соотношениям присущ уже упоминавшийся принципиальный недостаток, свя­ занный с нарушением принципа относительности Нью­ тона. Кроме того, эти соотношения, полученные на основе обобщения ограниченного числа экспериментальных дан­ ных, не универсальны и не достаточно хорошо согласуют­ ся с другими опытными данными [20].

Впротивоположность теории Л. Прандтля, согласно которой турбулентная вязкость Е отлична от нуля только

впотоке с градиентом скорости (см. (2.4) и (2.5)), из соот­

ношений (2.8), (2.9) и (2.11), полученных в работах Л. А. Вулиса, А. Ферри и др., следует, что турбулентная вязкость отлична от нуля и при отсутствии градиентов скорости.

Строго говоря, возникновение турбулентности и, сле­ довательно, турбулентной вязкости Е всегда обусловлено градиентами скорости. Обнаружение в какой-либо области потока турбулентности при отсутствии градиентов

или конвекции пульсаций скорости турбулентная вяз­

пояснения укажем на достаточно общий пример такого течения, когда смешиваются потоки с повышенным на­ чальным уровнем турбулентности. Начальные турбулент­ ные пульсации могут возникать где-то выше по потоку от области смешения, например при прохождении потока через решетку. Вследствие конвективного переноса этих пульсаций повысится уровень пульсаций скорости и в зоне смешения. Турбулентность, привнесенная в зону смешения извне, в соответствии с формулой (2.3) создает турбулентную вязкость, пропорциональную некоторой характерной пульсационной скорости и' и масштабу турбулентности. Если при этом интенсивность турбулент­

скорости, то турбулентная вязкость будет пропорциональ­ на уровню средней скорости й и какому-либо геометриче­ скому масштабу. Структура соотношений (2.8) и (2.9) как раз соответствует такому случаю турбулентного сме­ шения, поскольку в этих соотношениях турбулентная вязкость пропорциональна абсолютному значению скоро­ сти потока. Коэффициенты пропорциональности Л (х) в фор­ муле (2.8) и х в (2.9), в соответствии с отмеченными выше особенностями смешения потоков с начальной турбулент­ ностью, должны при этом зависеть от интенсивности тур­ булентности е.

Таким образом, можно априори предположить, что теория JI. Прандтля физически обоснована для случаев смешения невозмущенных потоков, когда турбулентность появляется в процессе их смешения из-за наличия гради­ ента осредненной скорости. Соотношения типа (2.8) и (2.9) при надлежащем подборе функции А (х) или посто­ янной хх могут дать совпадение с опытом для процесса смешения предварительно турбулизированиых потоков, когда градиенты скоростей не играют определяющей роли.

Теория Л. Прандтля в силу локального характера со­ отношений (2.4) и (2.5), согласно которым трение и тур­ булентная вязкость связываются с параметрами потока в данной точке, также не лишена недостатков. В этой теории не учитываются предыстория потока, а также от­ меченные выше механизмы конвективного или диффузион­ ного переноса пульсаций в данную точку потока. Указан­ ные недостатки вынудили самого Л. Прандтля и многих других исследователей обратиться к соотношению (2.3) и искать для величин е и L более сложные связи с осредненными параметрами течения. В работах А. Н . Колмо­ горова [13], Л. Прандтля [14] и И. Ротта [2ll были введепы гипотезы о механизме диффузии и диссипации тур­ булентности и получены дифференциальные уравнения для е и L. Из решения этих уравнений следует, что тур­ булентная вязкость Е зависит от предыстории течения и граничных условий, что устраняет отмеченный выше

Здесь и, v — продольная и поперечная скорости, р — плотность, р — давление, h — энтальпия, с — массовая концентрация, Ilj — члены, описывающие молекуляр­ ный перенос, г = 0 и 1 соответствует плоскому и осесим­ метричному течению.

При осреднении этих нестационарных уравнений дела­ ется ряд допущений и предположений. Рассмотрим схему представления мгновенных значений параметров через осредненные и пульсационные величины. В работе Ван Драйста [29] было предложено считать, что комплексы (рц) и (рн) пульсируют как слитные величины, т. е. при­

нималось, например, что ри = ри + (ри)'. Такая схема осреднения позволяет несколько упростить математиче­ ские выкладки. Например, осредненное уравнение нераз­ рывности в этом случае будет выглядеть так же, как и при стационарном течении. Однако в целом такой способ ос­ реднения не избавляет от необходимости представления величины (ри)' в виде (рц)' = ри' + р'й + р'и' для оп­ ределения распределения скорости и. Поэтому такая схе­ ма мало чем принципиально отличается от обычного спо­ соба осреднения, где каждый параметр представляется в виде суммы осредненного и пульсационного составляю­ щего, например и = й + и', р = р + р' и т. д. Формаль­ ная процедура осреднения системы уравнений (2.12) — (2.15) по обычной схеме приводит к появлению большого

количества новых членов типа u'v’, p'v', и'2, p'u'v'. По­ скольку течение в струях обладает особенностями, при­ сущими течению в пограничном слое, осредненные уравне­ ния можно упростить, используя тот факт, что все пара­ метры вдоль струи изменяются значительно слабее, чем поперек. Отсюда следует, что поперечные скорости в струе

малость всех пульсациопных составляющих позволяет считать, например, p'u'v' Up'v' и пренебречь тройными корреляциями по сравнению с двойными. Кроме того, при достаточно больших числах Рейнольдса члены, содер­ жащие молекулярные коэффициенты переноса, малы по сравнению с аналогичными членами, соответствующими турбулентному переносу. Здесь, по-видимому, уместно

отметить, что при умножении уравнений на пульсирую­ щий параметр молекулярные члены также могут оказаться существенными. Так, если уравнение движения (2.12) умножить на скорость и осреднить, то в правой части этого уравнения появится сумма

Несмотря на наличие в выражении (2.17) в качестве об­ щего множителя молекулярной вязкости, относительная величина первого слагаемого в правой части (2.17)"'не убывает с ростом числа Рейнольдса [9]. Физически этот результат объясняется тем, что по мере увеличения числа Рейнольдса в турбулентном потоке убывает минимальный размер масштабов турбулентных' пульсаций и растут мгновенные значения^ производных от пульсационной

Поэтому пренебречь этим слагаемым по сравнению с чле­ ном, содержащим турбулентное трение, нельзя. Аналогич­ ная сумма присутствует также в правой части осредненного уравнения энергии (2.13):

Здесь а — молекулярный коэффициент температуропро­ водности, а второе слагаемое соответствует притоку тепла вследствие вязкой диссипации и перехода кинетической энергии в тепловую. Относительная величина этого сла­ гаемого по указанным выше причинам не убывает с ростом числа Рейнольдса. Простые оценки, основанные на сооб­ ражениях размерности, показывают, что относительная величина этого слагаемого попорциональна квадрату числа Маха. Поэтому при дозвуковых течениях, которым посвящена данная работа, этим слагаемым все же можно пренебречь. Анализ величин Пг, содержащих молекуляр­ ные коэффициенты переноса в уравнениях (2.12) — (2.14), показывает, что при правильном осреднении уравнений их значения в дозвуковых потоках малы и ими можно пре­ небречь.

В системе уравнений (2.12) — (2.10) отсутствует урав­ нение движения в проекции па ось у. Известно [4], что в случае турбулентных струйных течений это уравнение приводится к виду

Уравнение (2.19) показывает, что в зоне смешения, где пульсации отличны от нуля, имеются области понижен­

максимальиое разрежение в струе обычно не превышает 5% от скоростного напора.

Поскольку в дальнейшем будут анализироваться толь­ ко изобарические течения, в уравнении движения можно положить dp/dx = 0.

2. С учетом всех перечисленных особенностей осреднен ная система уравнений (2.12) — (2.15) может быть записа­ на так:

В эту систему входят следующие неизвестные функ­ ции: u'v'— характеризующая турбулентное трение, h'v' —

турбулентную диффузию тепла, c'v'— турбулентную диф­ фузию вещества. Как отмечалось в монографии А. С. Ги-

невского [15], корреляция pV входит в систему уравне­ ний (2.20) — (2.23) особым образом. Если ввести новую функцию по формуле

то во всех уравнениях вместо явной зависимости от г; и pV появится зависимость только от г>„:. Поскольку

76 Теоретический анализ смешения [гл. II

на границе струи р'г/ = 0 и граничное условие для г;* сов­ падает с условием для v, то решение уравнений (2.20) — (2.25) для й, h, с и г;* не зависит явно от распределения

величины р'г/. От величины р'г/ в соответствии с форму­ лой (2.24) зависит только распределение поперечной ско­ рости v .

Несмотря на достаточную очевидность этого результа­ та, в современной литературе, посвященной теоретическо­ му анализу струйного смешения, встречаются утверж­ дения о существенном влиянии члена р'г/. Так, например, в работе В. Шаблевского [30] на основании теории Л. Прандтля найден профиль скорости при смешении двух полубесконечных потоков различной плотности при близ­

личие формы профилей скорости, соответствующих этим двум случаям. Этот результат связан с неверным услови­ ем v == 0 при /те-»- 1, принятым в работе В. Шаблевско­ го [30].

Для нахождения решения при т->- 1 необходимо уст­ ремить к нулю разность скоростей (их — иг) -> 0 и вы­ делить в уравнении движения (2.20) члены, имеющие порядок (их — М2)1. Можно показать, что более высокий

порядок стремления к нулю в этом уравнении имеет

с формулой (2.24) становится равной по порядку осталь­ ным членам уравнения (2.20), так как р'г;' — (их — щ)1. Неучет этого обстоятельства привел В. Шаблевского к оши­

бочному заключению о влиянии величины р'г/ на профиль скорости гг (у). В действительности, как отмечалось выше,

от величины pV зависит только распределение поперечной скорости v (у), и поэтому во многих случаях членами, со­

держащими р'г;', можно пренебречь.

Воспользуемся соотношениями Буссинеска (2.1) и (2.2) для связи корреляции с осредненными параметрами

течения

С учетом соотношений (2.25) систему (2.20) — (2.23) можно привести к такому виду:

Система уравнений (2.26) — (2.29) описывает смеше­ ние несжимаемых потоков с произвольными параметрами и встречается в ряде монографий и статей. В частности, для случая, когда D p = D h = Dc = 2Е, эта система ана­ лизируется в работах В. Шаблевского [30]. Однако удоб­ нее провести анализ несколько более частного случая смешения. С этой целью рассмотрим подробнее уравнение состояния (2.16). Обозначив индексами 1 и 2 параметры двух смешивающихся газов, получим на основании закона Дальтона формулу для молекулярного веса р смеси

где р2 и р2 — молекулярные веса смешивающихся газов,

где cPl и сРг — теплоемкости смешивающихся газов. Исклю­ чая из (2.30) и (2.31) температуру, получим уравнение со­ стояния в виде

(2.32)

Р

Это соотношение связывает три параметра р = ф (h, с), причем эта связь справедлива для мгновенных значений р, h и с. Воспользуемся соотношением (2.32) для опреде­ ления связи между коэффициентами переноса, входящими в уравнения (2.26) — (2.29). В соответствии с этим соотно­ шением пульсации параметров р', h' и с' связаны друг с другом зависимостью

(2.33)

- 3 - * '

где 6 — члены, пропорциональные квадрату пульсаций с' и h'. Умножим это соотношение на пульсационную скорость v' и произведем осреднение, принебрегая трой­ ными корреляциями по сравнению с двойными:

Осредним соотношение р = <р (А, с),! пренебрегая корреля­ циями р'h', р'с', c'h' вследствие их малости, и продиффе­ ренцируем это соотношение по у: