книги из ГПНТБ / Турбулентное смешение газовых струй

100 Теоретический анализ смешения [гл. II

само понятие границ зоны смешения имеет определен­ ный смысл только при использовании «старой» модели Л. Прандтля, так как по «новой» модели зона смешения бесконечна. В опытах максимальная погрешность изме­ рений обычно имеет место вблизи границы зоны смешения, что так же затрудняет экспериментальное определение ее положения.

При сильном различии плотностей смешивающихся по­ токов (п Ф 1) возникает еще одна особенность, затруд­ няющая определение границ зоны смешения. Формы про­ филей разных параметров настолько отличаются друг от друга, что границы зоны смешения и ее толщины, опре­ деленные по профилям разных параметров, существенно зависят от способа их вычисления и значений определяю­ щих параметров. Более обоснованным представляется вве­ дение единой толщины зоны смешения как области, в пре­ делах которой какие-либо параметры претерпевают су­ щественное изменение. Поэтому значение толщины Ъ в дальнейшем отыскивается по точкам, в которых все пара­ метры отличаются не более чем на я = 5% от своих пре­ дельных значений. Из рассмотрения рис. 2.6 и 2.7 видно, что фактически при таком определении толщины границы зоны смешения ^ и определяются по разным парамет­ рам. Как правило, с одной стороны зоны граница опреде­ ляется по массовой концентрации с, а с другой — по плот­ ности р (когда подогрев струи невелик, распределение Ар° приблизительно совпадает с профилем объемной кон­ центрации к).

Выбор значений я = 5% достаточно произволен и оп­ ределяется в основном удобством сравнения теории и эксперимента. При определении толщины зоны смешения по точкам, в которых параметры отличаются на я = 1—2% от своих предельных значений, возмояшы большие ошиб­ ки, так как эти точки будут очень близки к границам зо­ ны смешения, где неточности теории и экспериментальных данных велики. Если в качестве значения я выбрать ве­ личину 30—40%, то теряет смысл понятие толщины зоны смешения: определенная таким образом толщина будет скорее характеризовать относительное расположение про­ филей внутри зоны смешения. Контрольные расчеты по­ казали, что основные результаты слабо зависят от выбора

Вгл. I толщина профиля температуры определяется при

я= 25%. Это объясняется тем, что профиль температуры

Рис. 2.10. Расчетные профили скорости и, плотности р и темпе­ ратуры Т в зоне смешения, соответствующие «старой» теории Л. Прандтля. В качестве границ взяты точки, где хотя бы один из параметров отличается от предельных значений на 5%.

построить для любого параметра (скорости, плотности,

дтля) с опытными данными представлено на рис. 2.10.

Полученное совпадение значительно хуже, чем в координа­ тах р (и), Т (и) (см. рис. 2.9). Получающееся расхождение в основном связано с неточностями как теории, так и опыт­ ных данных вблизи границы зоны смешения. Характерно, что влияние параметра п на профили р и Т по теории силь­ нее (рис. 2.10, а, в), а на профиль и слабее, чем это пока­ зывают опытные данные. Если провести аналогичное

в)

Рис. 2.11. Расчетные профили скорости и и плотности р в зоне смешения, соответствующие «новой» теории Л. Прандтля. Обо­ значения, как на рис. 2.10.

построение при использовании результатов расчетов по «но­ вой» теории Л. Прандтля, то из-за качественно иного по­ ведения всех функций вблизи границ зоны смешения за­ висимости типа Д и° (ц) и Др° (ц) будут выглядеть иначе (рис. 2.11). Так, например, профили Др° (р) в этом случае

3. Анализ результатов численного расчета показывает что «старая» теория Л. Прандтля дает несколько лучшее по сравнению с «новой» совпадение с опытными данными, особенно вблизи границ зоны смешения. Из-за убывания значения турбулентной вязкости к границам зоны смеше­ ния, которое имеет место в «старой» теории Л. Прандтля, все параметры достигают своих предельных значений при конечных значениях поперечной координаты. Опытные

§ 4] Сопоставление расчета с опытными данными 103

данные и, в частности, визуализация зоны смешения с по­ мощью прибора Тендера (см. рис. 3.1 и 3.11) показывают, что зона смешения отделена от невозмущенных потоков четкими границами. Современные представления о струк­ туре зоны смешения [36J разграничивают область, внутри которой газ завихрен и интенсивно перемешивается, и область потенциального течения. Вовлечение новых пор­ ций газа в процесс смешения происходит за счет беспоря­ дочного искривления поверхности, разделяющей эти об­ ласти. Несомненно, что эти представления ближе соответ­ ствуют «старой»] модели смешения Л. Прандтля. Однако в этой теории принята чрезмерно большая степень стрем­ ления к пулю турбулентной вязкости.

Наилучшее совпадение с опытом, по-видимому, дала бы какая-нибудь промежуточная модель смешения. В работе А. Таунсенда [36] отмечается очень хорошее совпадение теории с опытом, когда в качестве Е (у) использовалось соотношение (2.5) с дополнительным коэффициентом пере­ межаемости у (у)! который в середине зоны смешения близок к единице, а по мере удаления от зоны смешения экспоненциально убывает до нуля.

Для того чтобы в дальнейшем не загромождать анализ результатов численных расчетов черезмерным количеством примеров, речь, за небольшим исключением, будет идти только о «старой» теории Л. Прандтля. Как отмечалось, эта теория лучше других соответствует эксперименталь­ ным профилям осредненных параметров и более обосно­ вана применительно к смешению потоков с малой интен­ сивностью турбулентности.

| Геометрическое положение зоны смешения в простран­ стве удобно характеризовать отношением координаты одной из границ зоны смешения к ее толщине. На рис. 2.12 приведено сравнение с опытом расчетного значения отно­ шения | 2/Д£, где Д | = — £2, а | 2 — координата внеш­ ней границы зоны смешения. По мере увеличения отно­ шения скоростей тп и плотностей п зона смешения пово­ рачивается в сторону оси струи и значение —| 2/Д£ убы­ вает. Учитывая неточность определения грапиц струи, можно отметить вполне удовлетворительное согласование теоретических и экспериментальных данпых.

4. Чтобы полностью описать течение в зоне смешения, необходимо конкретизировать вид зависимости А (х),

104 Теоретический анализ смешения [гл. II

которая входит в преобразованную поперечную координату. Найдем связь характерной толщины зоны смешения в физи­

координатах, где и £2 — границы зоны смешения, опре­ деленные по профилям, представленным на рис. 2.6—2.7,

- W

теории Л. Прандтля. С этой целью воспользуемся опре­ делением координаты £ (2.55) и запишем

кЬ (1 — т) — «новая» теория Л.Пран­ дтля (а = 1),

§ 4] Сопоставление расчета с опытными данными 105

получим окончательное выражение для b (т, п, х). Зна_ чения Д£а, приведенные на рис. 2.13 для а = 2 и 1, он ределялись по точкам, в которых все параметры в зоне сме"

ные на рис. 2.13.

Все эти соотношения соответствуют линейной зави­ симости Ъ от продольной координаты х и при т = 1 при­ водят к нулевой толщине зоны смешения. Для того чтобы отдать предпочтение какой-либо из этих формул, целесо­ образно рассмотреть зависимость углового расширения

затопленной гелиевой струи. Различие молекулярной вяз­ кости для гелия, воздуха и фреона при фиксированных раз­ мерах сопла приводило к тому, что при проведении изме­ рений (см. гл. I) числа Рейнольдса в струе гелия были заметно ниже, а в струе фреона—выше, чем в струе возду­ ха. Известно [37, 38], что увеличение числа Рейнольдса в свободных струйных течениях сопровождается умень­ шением перемешивания и сокращением толщины зоны смешения, если числа Рейнольдса выше критических и течение турбулентное. Особенно заметен этот эффект при переходных числах Рейнольдса, когда исходные погра­ ничные слои ламинарны, а течение в зоне смешения тур­ булентно. Наряду с влиянием числа Рейнольдса различие экспериментальных и теоретических данных при смеше­ нии затопленных струй может быть обусловлено влиянием архимедовых сил, которые не учитываются в расчетах.

В области чисел 0,5 т <; 2, т. е. при смешении по­ токов с близкими значениями скоростей, турбулентность, порождаемая разницей скоростей, становится соизмери­ мой с турбулентностью, которая имеется в следе за кромкой с прилежащими к ней пограничными слоями. В этом диапазоне чисел т в теоретическом расчете нельзя игно­ рировать неравномерность исходных профилей скорости, которая сохраняется на большом удалении от кромки сопла и приводит к тому, что профили скоростей вдоль зоны смешения оказываются неподобными. Кроме того, из-за наличия турбулентности в начальных пограничных слоях при х = 0 турбулентная вязкость не равна нулю даже при m = 1. Можно предположить, что в этом случае выражение для турбулентной вязкости представляет со­ бой суперпозицию турбулентной вязкости в начальных пограничных слоях и вязкости, порождаемой в зоне сме­ шения разностью скоростей. Эта точка зрения подкреп­ ляется анализом уравнения для турбулентной вязкости [28] и обобщением опытных данных, которое было сдела­ но Р. К. Тагировым и О. В. Яковлевским.

Поскольку полученные выше аналитические и числен­ ные решения справедливы при произвольной зависимости турбулентной вязкости от продольной координаты (в фор­ муле (2.54) А (х) произвольно), то все полученные ре­ зультаты можно распространить и на случаи, когда соот­

§ 4] Сопоставление расчета с опытными данными 109

ношения для А (х) отличны от (2.86) и учитывают влия­ ние начальных пограничных слоев. Более подробно такой анализ будет представлен в гл. III. Здесь необходимо лишь подчеркнуть, что несоответствие опытных и расчетных данных в области 0,5 ^ т 2 объясняется не столько несовершенством теории Л. Прандтля, сколько ограни­ ченностью самой постановки теоретического анализа, в ко­ тором рассматривалось только автомодельное решение. Хотя с помощью теории Л. Нраидтля трудно описать все особенности профилей скорости вблизи кромки сопла, т. е. на участке перестройки течения от пограничных сло­ ев к зоне смешения, тем не менее при решении неавтомо­ дельной задачи с учетом реальных профилей скорости вда­ ли от кромки сопла можно ожидать удовлетворительного согласования с опытом и при т ^ 1. В самом деле, при т ж 1 из-за наличия пограничных слоев зона смеше­ ния переходит в след, а, как известно [1,15], течение в сле­ де может быть вполне удовлетворительно описано в рам­ ках теории Л. Прандтля.

5. В заключение этого раздела остановимся еще н двух параметрах, изменяющихся в зоне смешения. Рас­ смотрим поведение поперечной скорости v и скоростного напора puz. На рис. 2.16 представлены поперечные про­ фили V = v/uxQ'x, рассчитанные по «старой» модели Л. Прандтля при т = 0; 0,25 и п = 0,27; 1,3; 7,25. По­ скольку в качестве одного из граничных условий было принято vx = 0, на внутренней границе зоны смешения

и достигает минимума при | ж 0. С приближением к внешней границе струи скорость V возрастает и, как пра­

рости v по данным рис. 2.1 можно воспользоваться соот­ ношением

Расчеты по формуле (2.90) показывают, что при т — 0 большая скорость втекания в зону смешения со стороны внешнего потока соответствует струям с большей плот­ ностью. Расчетные значения скорости | v2 | при т = 0 описываются приближенной формулой, справедливой в