книги из ГПНТБ / Турбулентное смешение газовых струй

которой соответствует формула (2.77), значение Аи0 = 0 и 1 достигается при \ ^ + 1,15.

Полученные точные решения позволяют проследить за влиянием отдельных параметров на профили скорости и

тическому анализу уравнений, покажем, как связаны гео­ метрические параметры зоны смешения с числом Шмидта. Известно, что в турбулентном потоке скалярные субстан­ ции (концентрация, температура и т. д.) переносятся более интенсивно, чем количество движения, т. е. Sc<; 1 и, например, профиль с более «размазан» по зоне смешения, чем профиль и. Поэтому в приближенных методах иссле­ дования смешения вводят разные характерные толщины зоны смешения, определяемые по профилям и и с. Если ввести такие толщины для профиля скорости Ьи, концен­ трации Ьс и температуры Ьт, то отмеченное выше разли­ чие в интенсивности переноса можно выразить неравен­ ствами

Ьи/Ьс < 1 И bJbT < 1.

прямо связаны с величиной Sc. Достаточно напомнить, что в соответствии с (2.46) профиль температуры зависит от отношения cpJcPl и, следовательно, величина Ь„/Ьт может быть функцией этого параметра. Однако в некоторых, про­ стейших случаях можно найти связь между отношением характерных толщин профилей и числом Шмидта.

Проще всего такая связь получается для «новой» теории Прандтля (а — 1) при тп—> 1 и 1, когда про­ фили р, с и Т совпадают. В этом случае уравнения (2.57) и (2.58) упрощаются и их решения имеют вид

Из формулы (2.79) видно, что характерные толщины про­ филей р и и связаны с Sc простым соотношением

При этом способ определения Ьп и Ър не играет роли, так как профили м ир могут быть совмещены растяжением по оси £. Сложнее обстоит дело в случае «старой» теории Л. Прандтля (а = 2), так как в этом случае полная тол­ щина зоны смешения конечна и одинакова для всех пара­ метров.

Получим связь между профилями скорости и плотно­ сти, исключив из (2.57) и (2.58) поперечную скорость

Это уравнение можно проинтегрировать один раз и полу­ чить следующую связь:

и плотности обратно пропорциональны градиентам и и р

получено выше. Несложные расчеты показывают, что при этом из уравнения (2.82) отношение толщин будет равно

Зависимости Ьп/ЬРот Sc для «новой» (2.80) и «старой» (2.83) теорий Л. Прандтля представлены на рис. 2.5. Приб­ лиженно можно принять, что для обоих рассмотренных случаев характерные толщи­ ны профилей скорости и плот­ ности (определенные по гра­ диенту соответствующего па­

смешения двух дозвуковых потоков различной плотно­ сти, которые были изложены в §§ 2 и 3 настоящей главы:

1) если температуры газов невысоки (ср не зависит о температуры) и параметры смешивающихся газов удовлет­ воряют уравнению состояния типа (2.40), то система урав­ нений расщепляется, при этом составляющие скорости и плотность и, v, р описываются системой трех дифферен­ циальных уравнений, а энтальпия, концентрация и тем­ пература — h, с, Т — тремя алгебраическими соотно­ шениями;

94 Теоретический анализ смешения [гл. II

2) анализ уравнения состояния показывает, что пре­ небрежение в нем пульсациями параметров приводит в рамках теории Буссинеска к условию равенства коэффици­ ентов переноса массовой концентрации, плотности и эн­

чина приближенно связана с характерными толщинами профилей скорости и плотности: Sc ж (Ьг,/ЬР)2, причем по опытным данным для плоской зоны смешения Sc ж 0,5; 3) при некоторых значениях параметров система урав­

нений имеет точные решения:

сти, формула (2.74).

В остальных случаях система уравнений может быть решена численно.

§ 4. Сопоставление результатов численного расчета зоны смешения спутных потоков различной плотности с опытными данными

1. Численное решение системы уравнений (2.57) —

(2.59) осуществлялось итерационным интегральным мето­ дом. Дифференциальные уравнения с учетом граничных условий (2.51) и (2.53) преобразовывались к интегральным. Задавая приближенные начальные распределения и, v и р по £ и принимая их в качестве нулевого приближения, из интегральных соотношений находилось новое приближе­ ние, которое снова использовалось в качестве начального. Такая процедура последовательных приближений продол­ жалась до достижения заданной точности. Схема этой про­ цедуры с незначительными изменениями заимствована из работы [35]. Расчеты были проведены при числе Sc = 0,5, при изменении параметра т от 0 до 2 и при отношениях плотностей, соответствующих смешению нагретого воз­ духа (га = 1,3), фреона-12 (га = 0,27) и гелия (га = 7,25)

с холодным воздухом. Выбор параметров определялся воз-

§ 4] Сопоставление расчета с опытными данными 93

можностыо сравнения результатов расчета с опытными данными, приведенными в гл. I.

Особенность введения автомодельной координаты | (см. § 3) заключается в том, что профили параметров при этом не зависят в явном виде от функции А{х) в формуле (2.54) для вязкости.

Следует отметить, что хотя расчет ведется для случая зоны смешения двух полубесконечных потоков, однако использование граничного условия (2.53) позволяет счи­ тать, что результаты этого расчета в равной степени отно­ сятся и к зоне смешения начального участка струи в спутном потоке. В качестве иллюстрации первичных расчет­ ных данных на рис. 2.6 приведены распределения различ­ ных параметров по автомодельной координате для «старой» теории Л. Прандтля. Но оси ординат на графиках отложе­

ми и, р, с, рн2, V. Изменение п существенно сказывается на форме и взаимном расположении профилей всех парамет­ ров. Так, например, для струи фреона (п = 0,27) профиль скорости лежит дальше от оси струи (см. рис. 2.6, а), чем профиль плотности, а для струи гелия (п = 7,25) имеет место обратная картина (см. рис. 2.6, е)—во внешней, по отношению к струе, части зоны смешения скорость поч­ ти совпадает со скоростью спутного потока, а плотность заметно отличается от плотности спутного потока. Такое расположение профилей отмечалось и при эксперименталь­ ном исследовании смешения (см. гл. I).

На рис. 2.6, 6 приведены расчетные профили при п = = 1,1, т. е. при смешении потоков с почти одинаковой плотностью. Некоторое отличие этого профиля скорости отточных решений при ш= 0 (2.70) и нг=1 (2.77) связано с тем, что численный расчет проведен при т = 0,25. Сле­ дует отметить, что при п — 1,1 в соответствии с точным ре­ шением (2.74) профиль плотности близок к линейному. Сравнение расчетных профилей с имеющимися точными решениями при т = 0 и 1 показывает, что погрешность численного расчета не превышает 1 %.

Примеры расчета течения в зоне смешения по «новой» теории Л. Прандтля (а = 1) представлены на рис. 2.7. Сопоставление этих профилей при одинаковых значениях

98 Теоретический анализ смешения [гл. II

Несколько более заметная трансформация профилей имеет

этих координатах можно объяснить неточностью измерений и неавтомодельностыо течения, которая имеет место из-за наличия на кромке сопла пограничных слоев. Для иллю­ страции степени влияния параметра п на относительное положение профилей скорости и плотности па рис. 2.9, а представлены результаты расчетов при п = 0,01, соответ­ ствующие распространению, например, струи фреона в нагретом водороде. Расчет зависимости Т (и) был произ­ веден с использованием следующих значений относитель­ ных теплоемкостей: Ср = cpJcp = 0,192 для гелия (п =

= 7,25), Ср = 1 для воздуха (п = 1,3) и ср = 1,73 для фреона (п = 0,27).