книги из ГПНТБ / Матаров И.А. Напряжения и деформации железобетонных мостовых конструкций

а — эпюра деформаций (сплошной линией показаны полные деформации еЛ ; пунк­ тиром — упругие ву); <7 — эпюра остаточных деформаций ( в£с); в — эпюра ѵх \г—

эпюра rjx

расположится нейтральная ось деформаций, причем в первом цикле вычислений не учитывается возможное влияние наличия особой точ­ ки. Наиболее простым и точным является следующий прием. Вы­ числяются ординаты функций А {х) и В (х ) для точек, ближайших к возможному положению нейтральной оси, затем Д », Дз и т. д. —

Рис. 46. Участок а —в полигональной эпюры іі.*

обычными приемами. Затем при необходимости вносятся поправки к

Вычислим Q и R в предположении, что на участке (а—b) ве­ личина г]* изменяется по линейному закону:

Поправки к Q и R, вычисленные для линейного закона изме­ нения r)K, т. е. без учета наличия на участке (а—Ь) особых точек, равны:

Уменьшая 5 или выбирая так точки а и Ь, чтобы Ат) было мало, можно величины поправок сделать достаточно небольшими. Ана­ логично устанавливаются поправки к величинам

ности, сравнивая величины поправок с полными величинами (для всей высоты элемента) Q, R, М и N .

то

выводе общих уравнений было принято, что начальная ось отсче­ та расстояний совмещена с верхней гранью элемента. Относи­ тельно этой оси вычисляются величины S a , SßH т. д. Нетрудно убедиться, что все приведенные общие уравнения деформаций элемента сохраняют свой вид, если ось 0—О расположить внут­

Необходимость перехода от оси 0—0, расположенной на верхней грани элемента, к другой нулевой оси может возникнуть в тех случаях, когда величины еу° весьма малы, и точность вычисления их так же, как и деформаций всех остальных волокон, может в связи с этим существенно снизиться. Поэтому рекомендуется вы­ бирать положение оси О—0 в местах с сравнительно большими упругими деформациями бетона.

Зависимости между І а и І а,а, а также/ß и Iß,aвыражаются урав­

Между Qß, a и Qß существует такая зависимость:

•За исходное может приниматься такое состояние, при котором в конструкции имеются деформации и в том числе упругие. Этот прием используется при решении задач об остаточных деформа­ циях и напряжениях после частичной или полной разгрузки эле­ мента; при определении деформаций й напряжений от кратковре­ менно прикладываемой дополнительной нагрузки и т. д. В таких случаях приходится пользоваться зависимостью между напряже­ ниями и упругими деформациями, выраженной уравнением (73). Поэтому, прежде чем решать общие уравнения, следует вычислить

то можно ограничиться построением эпюры bx ß]v sf и вычислением площади, статического момента и момента второй степени этой эпю­ ры:

Поэтапное решение задач. Только в отдельных случаях из­ вестны Vх и ту. Как правило, эти величины заранее нельзя назна­ чить, поэтому пользуются методами итерации и поэтапным реше­ нием задач или сочетанием этих обоих приемов. Рассмотрим не* сколько вариантов поэтапного определения напряжений п дефор. маций железобетонных элементов.

Вариант I. Принимаем в качестве исходного (начального) мо­ мент приложения внешних усилий или создания предварительно­ го напряжения. Весь промежуток времени от 0 до іт разбивается на т достаточно малых, но, как правило, неодинаковых промежут­ ков так, чтобы в пределах каждого этапа величины напряжений (см. рис. 12), упругих деформаций и внешних усилий можно было принять постоянными. Для каждого і-интервала задаются величи­

ны прироста деформаций усадки Дгус,; , температурных деформаций Ач, I и вычисляются величины прироста остаточных деформаций Asn.i от действия постоянных усилий и кратковременно прикладывае­

•Величины деформаций от постоянных нагрузок н остаточных де­ формаций от повторных кратковременных нагрузок у волокна могут изменяться по иным законам, чем у соседних волокон или участков по высоте элемента, если бетон обладает различными физико-механическими свойствами и условия его твердения не одинаковы по высоте элемента. В частности, на некоторых уча­ стках высоты элемента может быть линейная ползучесть бетона, а на других — нелинейная. Задаются характеристики упругих

полная величина остаточной деформации в конце і-интервала:

бетона, а также усилия от постоянной нагрузки, действовавшей в те­ чение і-интервала, можно вычислить значения е°_. , а затем Е« .,

т. е. величины упругих деформаций в конце і-интервала. Если в і-ин- тервале прикладываются кратковременные повторные нагрузки, то на­

пряжения и упругие деформации от них вычисляются по тем же фор­ мулам, при 1 + ѵ° = 1 7)Кі і = 1; Sa = [2a ]°, Sa = [Sa [° И T. Д.

вала соответственно равны:

могательных таблицах.

Приводим некоторые положения к определению величин ѵа/ и ѵнг при этапном решении задач. Прирост остаточных деформаций в лю­ бом стержне (s j ос) на каждом этапе определяется суммированием прироста отдельных составляющих этих деформаций, [см. уравнение

(в)]-В отношении сталей с явно выраженной площадкой текучести сказанное справедливо до тех пор, пока напряжения не достигнут предела текучести (ат). Если в каком-то і-стержне, расположенном на расстоянии Û; (Сі) от верха элемента, напряжение достигнет предела текучести, то задача определения е ' ос несколько упрощается, т. е.

где г* — полная деформация элемента на уровне t-стержня, считая

от условного исходного состояния и до конца данного этапа;

CQ — начальное напряжение, существовавшее к исходному состоя­ нию.

Для описанной методики поэтапного решения задач принят в качестве условного начального состояния элемента момент при­

иметься начальные напряжения и деформации, вызванные усад­ кой бетона и температурными деформациями. Если пренебречь начальными напряжениями и деформациями, то на первых этапах могут быть два подхода к определению напряжений и деформаций. Для случая, когда первый этап выбран такой продолжительности, что ожидаемые деформации из-за усадки и температурных воздей­

гих деформаций, полученных только от внешней нагрузки (пред­ варительного напряжения). Если ожидаемые на первом этапе упругие деформации от усадки и температурных воздействий су­ щественны, то целесообразно определить величины деформаций

от совместного действия внешней нагрузки или предварительного напряжения, а также усадки (Декус,і) и температурных дефор­ маций (Де"/,і).

Рассмотрим случаи, когда необходимо учитывать начальные напряжения и деформации. Очевидно, при этом полные напряже­ ния равны сумме начальных напряжений и напряжений от дейст­ вия внешних усилий. Величины полных напряжений необходимы

для‘вычисления Деппов,г и Де "не­ определим начальные напряжения, возникающие в элементе в

период с момента, когда элемент можно рассматривать как твер­ дое тело, и в нем начинают появляться напряжения и деформации вследствие усадки бетона и температурных деформаций (началь­ ный период) и до момента приложения внешних сил или предва­ рительного напряжения (условное исходное состояние). Для этого периода напряжения и деформации могут определяться поэтапно с использованием для первых этапов соответствующих уравнений н методов итерации.

Эти положения справедливы при условии, что элемент изготов­ ляется одновременно, как одно целое. Однако элементы могут со­ стоять из разнородных частей, выполненных раздельно, причем в некоторых из них могут создаваться предварительные напряжения. Поэтому напряжения и деформации до момента объединения ча­ стей элемента должны определяться в каждой части самостоятель­

состоянии внешняя нагрузка не прикладывается или не создается предварительное напряжение, то начальные деформации опреде­ ляются только от Дз "уС,1 и Де "t,l.

В варианте I основное допущение состоит в том, что напряже­ ния и упругие деформации в пределах каждого интервала неиз­ менны, H величины ( 1 + ѵ " і ) в конце интервала, определен­

ные для этих напряжений, могут быть приняты также для вычис­ ления напряжений, уже изменившихся к концу этого интервала вследствие развития остаточных деформаций. Подбором соответст­ вующего числа интервалов можно получить любую точность ре­ шения.

Вариант Іа. На каждом этапе можно проводить вычисления в несколько циклов. Первый цикл — напряжения постоянны и упру­ гие деформации определяются по приведенной методике. Второй цикл — деформации ползучести вычисляются при постоянном на­ пряжении, равном средней величине напряжений в начале этапа и в конце его, определенных в первом цикле.

Величина ѵ кі относится к упругой деформации в конце эта­

Вариант Іб. Возможна разновидность второго и последующего циклов. Прирост деформаций ползучести определяется не при среднем напряжении, а приводится в соответствие с изменением напряжений в пределах этапа (интервала) по линейному закону (см. рис. 11). Из примеров (см. гл. ѴІІ); видно, что наиболее про­ сто и с любой точностью можно производить расчеты по основно­ му варианту I.

Вариант II. Рассматриваемый промежуток времени делится на небольшое число (2—3) неодинаковых характерных интервалов. Вычисления проводятся в порядке, принятом в варианте Іб. По ва­ рианту II можно приближенно оценить влияние усадки и ползуче­ сти бетона на напряженное состояние железобетонного элемента.

Вариант III. Более просто, но с еще меньшей точностью, могут быть получены результаты в случаях, когда деформативные свой­ ства бетона по высоте элемента одинаковы и необходимо исследо­ вать только влияние линейной ползучести бетона. Ведя расчет по варианту II, в первом и втором циклах берутся одинаковые для всех волокон значения ѵх, т)*=1. В варианте III достаточно опре­ делить для каждого этапа необходимые величины только для крайнего волокна ( А е ус = А е ( = А е По в = Д е с=т 0 ). Полученные данные, очевидно, должны быть близкими к результатам вы­ числений по методу С. Е. Фрайфельда (метод «временного модуля деформации»), так как в нем приняты те же основные допущения, что и в варианте III. Разница состоит только в том, что у Фрай­ фельда принимается изменение напряжений в каждом волокне бе­ тона по некоторой параболе, а в варианте III — по линии полиго­ нального очертания.

В частном случае варианта III весь период времени рассматри­ вается как один этап.

§ 13. УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ И ПЕРВОЙ Ф О Р М

Уравнение третьей формы. Численные методы решения уравне­ ний (142), (147). Вычисления можно осуществить по нескольким

вариантам.

Вариант I — разбиваем высоту элемента на п участков, для каж­ дого из которых принимаем средние величины е(,с , е‘ , а 1, (3‘, и

Ьі (рис. 48); <7/ и гі в пределах г-го участка постоянны.

Вариант II — высота элемента разбивается на п участков. Для

ние, то произведениявычисляются для конца і-го участка и нача­ ла (і+1) -участка. В пределах каждого участка приведенные выше произведения изменяются по линейному закону.