книги из ГПНТБ / Матаров И.А. Напряжения и деформации железобетонных мостовых конструкций

U -

*0 5« = a x Q (1 + «P») [

+

2

-" V + V

+

"ni

4----

Q-------

g" ^ N C 4"-44 4“ i l

i tai F a i F a i &l 4"

i j

K|i i tni E n i

F ni Ci —■

-'o(l+

<fj

+ yyj _J_ V Ка. tai F a i

F a i Cli 4-S GC„i t ui E n i F ni Ci —

S°

+

E°

e v c

'

t

Ѵ Ч

Oui F ni Ci''

(145)

Z j

-4- V .

1 1

НІ

(а — 1)(1 + сро) х а

получим

личину---- ------- 0Л

р

—

,

8у с +

е і

/р — 2x0Sß 4- -Vg Qp

(« — 1)(1 4- SP°)

( S x

А'о 2« ) —

5°

+

Е°

6Ус ^

Еі

а ( д - 1 ) ( 1 4 - ¥0)2Л-5

г V I

E a l

F a i

ХН

£Eni F

- X

Еус ^

еі

2

j

1

+

'ai

+ Z

i

1 + vni

•? +

°

+

Е°

X

^iV 4" i

Ota i tai

E a l F a i 4" 2

Ctni tni F ni F

ni — V

-

Oui F „ i

y

4-

Z i

1 +

ѵні

/.

4-

а (а — 1)(1 + о°)г л-Q

ѴД ^ai F a i

Оі

Ч ^ E n i F ni Ci \

,

yc ^

st

2

J

1 +

».,

+

2

J

! +

>.,

J

+

E 0 +

e°

,

Iя

1)(1 4-'f°)2 Xg

/ дг

,

4ÇI

i

t

c

J-.

,

V ..

J.

E-

Е7

H-

”

!

7CZ

( -t*

"b JJJ

/ En i

*

a i "f"

Ctiti

t нi Си/

і иi

< 4

+

s?)2

S

°ni ^ni

) .

(146)

1

+

'4.І

J

’

Qp -

2 x 0 /p 4- x\]Sß -

( a ~

ÿ (1,+.o0)-A'° ('» -

*o 5а ) =

Eye +

=t

С ( С - 1)(1 + ?0)! Д'

ГѴ

Ea i Fa i &i

■+V7 1

E° -b

°

1 + и .

УС+

Ei

1 2J

En i

Ea i CLi +jVaJ J я H /•

4-

yc +

&t

Ct a i

ti\i

E°

E°

V

I

=ni°il

F ni

Ci

4-

a ( a —

1 ) (1

+

- fO p .V o

Eal

F ai

a-,

1 + VHi

^ Et

(JL

1

+

4- +

Z

J

{ y c

i

Eni Fui с}

\

(я — 1)(1 + ï 0)2-^

tai Е ЛІ

F n i Cli

+ 2 J ' I + v-

/

( JV C + 7VI+ 2 a ai

(«?c+•?)■

+

2

«„£ Л,£ Eni F ni Ci - 2 - - f + -v‘ii' t' - )

•

O4?)

°J і =

f ®а Ua г -\- а (\ -----—-1 ~т~г^—

•

1 + ѵа£

(148)

L

I

Л»./ а —1

J

Напряжения в

t-напрягаемом стержне (растяжение)

«о ,

о

Em

®1І/, 1 —

t

аИ( Ли’ +

І і ± Л

_ а /і _

І І

(149)

CL— 1

I

* 0

1 + V

.сечение элемента—прямоугольник, а величины

усадки и модули уп­

ругости постоянны по высоте ( е*с =

const; а*

— Е& = const;

= 0))

требует длительных математических

выкладок.

Кроме того,

если ней­

о

о

h b (-V) «iv X

,

, ,

r

b (Л-)

;v qx x

Г ° H) Hv x ,

C0Hl aN

Чх X

d x ~

Sa — Л'о Qa =

a J — ——

dx - (а -

1) JC0 )

Гѵ(хв- ~ ^

Ç b (Л-)ax

Pb (x) 4 qxx0 ,

Cb (x)

x

V

r x

ov

. 0

r x (A’o

x )

J

r x

ß

h (,v) ad,

ß

b (x) a.% q

(151)

ax0 \---- ;— —dx -t- (a — l) x 0 ^ -------—

—dx;

л

1‘ *

n

* x

,

„о

ГЬ b(x)" ax, Л'--2

dx — (a — 1)

PC»(X)aЬ {х )а-Nx* х *-q x

dx -

I * - x 0S a = a \ —

- j—

)

,

--- j

n

X

n

Л V

0

*■ /

fl t , ч г

fl

t f . 1*

xxn0

Г b{x) ax" x-

Г-

b(x)**Nqx0(X) a~N

aX ° J

Щ

d x +

r x (x~o- x

) ~

dX

=

§ 9. ОБЩ ИЕ УРАВНЕНИЯ НАПРЯЖ ЕНИЙ И Д Е Ф О РМ А Ц И Й

ДЛЯ СЛУЧАЕВ, К О ГД А ОСТАТОЧНЫЕ Д Е Ф О РМ А Ц И И

ЗА Д А Н Ы

НЕПОСРЕДСТВЕННО. ОБЩ ИЕ Д ЕФ О РМ А Ц И И

ЭЛЕМЕНТА

зим зависимость напряжений в бетоне

(ах) от полной его

дефор­

мации

(ех)

через

характеристики

деформаций бетона

(см. рис.

5 и 7).

когда связь

между сх и еух представле­

Рассмотрим случай,

на уравнением (17), которое можно записать в виде

°х

+ К

( * * - * № >

откуда:

= -

“Ъ

+

К

Ю

2 + « £ * * -

Щ

£о ' с + ßfc (zxT-. (155)

Равнодействующая внутренних (нормальных) сил в бетоне

равна

H

Jb (JC) a*dx = -

J

b (X) a?NSlcdx

+

J b (x) p* ( ^ f d x

+

0

+

J b (x)

dx — 2 J b (x) ßA ejcer dx +

J b (x) ß* (e* fd x .

Обозначим

г -

60

(156)

Vo

Используя принятые обозначения и уравнение (90), получим:

J

b (х) а* г* dx = z

(A-QQ° -

S°a );

H

J

à(x)p* S ^ d x

= z ( jf 0Q(Pl,oc)- 5 (p,toc));

f b (x) Pÿ (гАfd x

= z* (4 Q ° -

2*oS° + /»),

следовательно

Sb (x)o* d x = z2(x2Qß -- 2* 0S° +

/р) +

2 [x0 (&° — 2£2(P>toc) ) —

— 5° +

25(3,toc) j — &(«,«oc) +

ß(ß,e*oc).

(157)

J b (x) o-v x d x = г* д

а

-

2x0/^ + QD + Z [л-0(5° -

2S((J,«oc) -

- . / °

+

2/(ß,Eoc) ] ~

У(а,сос) +

S(IM=0C).

(158)

Упругая деформация

і-стержня

с учетом

формул

(94) и

(156):

£ а,у,і

=

Z (Xg

■ di)

Ео,ос,г .

(1 о9)

Полное усилие в стержнях арматуры

' S ^ a i F аі

=

F a l F al

— 2

(^0

А,) sa,oc,j ] A aiEai

—

=

г [л-0ѵ/-'аі£ аі -

2 F .,£ „ a ,]

-

2 ^ .^ * ,Чое,, •

(160)

'S ^ aiF aiû -i — Z (X o^ ^ F aiF ai& i

^ j F aiFaiO-J^

- J l F n i E m S w j a , .

'

(161)

Полные уравнения для внецентренного растяжения:

г 2№

° -

2а'оSI + /°) + г |х0(ü° -

2 П(Э,Еос) +

У

^ а і ) -

~

5° +

25((3jEoc) — ^-^aifai^j]

%г,Е0с) +

^(Р-Сс) —

- Y

lF a i F a i ï a , o c , i +

N

= 0 .

(162)

2® д а -

2лЛ ° + Q°) +

2 [х0(SI -

2S((Moc) + ^ F a / f ./ fl,) -

+

2/(0, Eoc) —

^ F ü i E a i a - \ — У(а,Еос) +

У(Р,агос)

' Е р ч Е ч а ^ о ч +

А^с +

/И = 0.

(163)

Для предварительно напряженных элементов

=1.г,i = =ііг — 2 (хд — с і)Е п1 -1-

£ц,ос,г Е „г,

(164)

где вш ос, і

— остаточная деформация напрягаемой

арматуры

(по­

ложительная при укорочении).

Полное усилие -в предварительно напряженной арматуре

— ^ u

i , i F

lü = — 2 , a HlF tti + z ( x

^ F

niE ni — У \FKi E niCi) —

Уj/*1Iiifii/Sii.oc,, ■

,

(165)

( 4 n I -

2*iiSS + Ч ) + *

р . R

-

2S2(B,,ot) +

+

2 F „ E „

+

-

S? +

2% , 0І, -

2 F .iE „ a , -

— 2

F HlEnlci\

^ ( a.Eoc) 4~ ^(Р>*аос)

F aiEaiSafiC'i

— 2 F » , E

u e « , о с ,I

+

N — ^ n i f H; = 0;

(167)

г 2 m

-

2x0/°

+

Ql ) +

г [*0(S° -

2S(fl,t„e) + J\ F a, X

X Eaid, +

2

F ,,lE "iCi) — F o. 4"

(P.Eoc) — 2 FaiE aia'i —

2

F

*^(а*Eoc) "1" ^(^F^OC)

2

Р ^ Е *іа >Ва’°Ч

— 2 F ^ E mc,Bll>0Cil +

NC + M — 2

аніЕпіСі =

(168)

Уравнения

(167)

и

(168)

можно

записать и

в

таком

виде:

z2/p w

+

z [— s %,x,) +

2'Ѵ .еос.-ѵ'0 +

Ао (2

Fa‘-£a* + 2

F "iEsii) ~

-

ф Г а і En +

2«< ^.u c,)]

-

2 (а. гос) +

G (P, г02с) -

— [ 2 F aiE *iEa’oa>1 4~ s£iF uiE niSn,°c-i ) +

N

— 2 a"iFni =

(169)

z 2 (Q (ß,x.)

+

АѴ((3,л-„)) +

Z

[ —

( F(a,x,) +

А0^(1а,л-„)) +

+ 2 ( J(ß,toc,x,) +

А”о^(|5,50с,л'«))

F

X0 (2 ^ а'і^агЯг

4- 2 E uiE niC‘)

( 2 FaiEaiaï

*1* ^ F »lE nlC~i)

('^(0t>Eoc>-1'») +

Л-О^а.г,,,.) )

+

+

(£(/},E=0Cijr,) +

— (^ F ./E a ^ e .,« *,/ 4* 2 F h‘EiU ^

X Сг£н,ос,г ) 4" N e 4- TW— 'T'PniFuiCj = 0.

(170)

Здесь

моменты

площадей элюр

с

дополнительными

индексами

ду стх и

еух дана в виде формулы

(16).

уравнения

(167) и (168)

Для

частных случаев, когда

ß^ = 0 ,

представим в таком виде:

z (x 0A0— До) =

Со;

(1/1)

где

z {х0В0— £>0) =

До,

(172)

А> = G ®+ 2 F a‘EaL +

2

F "iE "i'

(173)

Во — S0^ -h 2 iFalE aia'1 4“ 2

FniEl,iCi’

(174)

c 0 = G(a>E0C) 4- 2 FaiEaiSa’0C<‘ 4" 2 F »iE "‘s» ^

4"

4- 2 ° uiF "l ~

N ;

(175)

Do = 1!4" ~^jEaiFa‘ûi +

2

F «'Сиic}>

(176)

E 0 = ^(*,Eoc) 4* ^ДагСаі^Да.ос.і 4" 2 Е «1Е »‘С‘ін,оа,і-4~

4- 2 a"iF "iCl — N c ~

M ■

(177)

^

= ^ - = z ( l + v ° ) y ;

(181)

I

1

7 — tgï =

-др

=

^ (1 +

ѵ°) уdt +

То =

§ zdl + у0;

(182)

о

о

w = J

dt К 1

+

v°)ydl +

Y0 +

w0=

\di Iz d l 4- Tc; + wo>

(183)

0

0

0

0

и =

j e r dl

+ u0.

(184)

о

то=

j dt f (1 +

ѵ°) уd l

=

J dt J zdl,

u =

\ г тdl.

о

ô

o

o

о

Во втором случае т<у0 = 0;

и0 =

0.

При условии, что I — L\ wL =

= 0, получим;

L

I

L

1

То =

-

-у“ \ dl

5 (1

+

ѵ°)уdl =

- l - \ d

l ]

z d l;

Ö

0

0

0

l

l

+

4- Y0Z=

l

l

T01.

w = |‘

dl j( l

[ dl

\zdl +

ö

о

o b

проходящие по осям трещин и

посередине

между

ними.

Это

доказано В. И. Мурашовым при соблюдении

условий

симметрии

и неразрывности продольных деформаций [27].

Здесь рассматриваются точки

в сечениях

1—1, 2—2 и

т. д.