книги из ГПНТБ / Матаров И.А. Напряжения и деформации железобетонных мостовых конструкций

[29]. При условиях симметрии (геометрической, расположения материалов по деформативным свойствам, распределения нагруз­ ки) было доказано, что гипотеза плоских сечений справедлива независимо от того, подчиняется ли материал закону Гука или нет, если только внешняя нагрузка распределена по концам эле­ мента по тому же закону, что и напряжения в сечении элемен­ та. При распределении внешней нагрузки по концам элемента по закону, отличному от распределения напряжений в сечениях, сте­ пень точности решения такая же, как и при обычном использова­ нии в теории упругости принципа Сен-Венана.

Справедливость гипотезы плоских сечений для железобетон­ ных элементов может быть экспериментально доказана на ряда примеров. Например, линейное распределение деформаций по вы­ соте элемента наблюдал Кеспер при исследовании железобетон­ ных балок в 1925 г. [62]. Деформации измерялись на базе 1 000мм при помощи оптической установки. Кроме того справедлнвості этой гипотезы может быть теоретически доказана для случаев внецентренного сжатия (растяжения), предварительно напряжен ных конструкций, а также при наличии в конструкции только ос таточных напряжений, возникающих от равномерной по длин элемента усадки бетона или в результате силового воздействия

Результаты, полученные американскими учеными при испыта нни коротких колонн, подтверждают справедливость этой гипотезі для внецентренно сжатых элементов [67]. Характерным при мером может служить распределение деформаций по высоте пред варительно напряженной плиты толщиной 16 см, у которой верх няя часть изготовлена из бетона марки 100— 150, а нижняяиз бетона марки 350 [37].

Эпюры полных и упругих продольных деформаций двутавро вой предварительно напряженной балки ЦНИИС высотой 71 а (рис. 15) хорошо иллюстрируют достоверность гипотезы для пред

Основные формы задания напряженно-деформированного с« стояния элемента. Рассмотрим напряженно-деформированное состоя ние элемента, который до данного момента подвергался один ра воздействию внешних усилий различного характера, кроме того, элементе развивались усадочные и температурные деформации. Beet

зал, что только при первичном загружении элемента Д/г = 1. Есл бетон до рассматриваемого момента подвергался воздействию мног< кратно повторных нагрузок и напряжения превышали предел выноі

Полная деформация і — стержня арматуры определяется величи­ нами, входящими в уравнения (7) и (8).

Следует обратить внимание на такую особенность первой фор­ мы задания напряженио-деформированного состояния волокна и элемента в целом: во всех случаях, в том числе и при условии,

рактеристики при мгновенной разгрузке и обратной загрузке дей­ ствительны для любых значений напряжений, для которых зада­

состояния принимаются отношения величин остаточных деформа­ ций к упругим деформациям ѵ:

Введем еще одну характеристику остаточных деформаций бетона:

где величина ѵ° характеризует деформации волокон на оси координат (верхних волокон). Величины ѵх и т)Л- для элемента в целом могут задаваться аналитически в виде функций ѵ-1' = ѵ (х) и -qx — 'q(x) или графически.

Упругие свойства бетона для рассматриваемого момента задаются в виде коэффициентов уравнений (16) или (17). Остаточные деформа­ ции арматуры еа, ос, і, определяемые уравнением (8), задаются также в виде относительной величины ѵа, — отношения остаточной

Выделим характерную особенность второй формы задания напряженно-деформированного состояния элемента: во всех слу­ чаях, и в том числе, когда величины е*Сі л*, и постоянны

для •некоторого периода времени, величина ѵ* зависит от на­ пряжения, т. е. она изменяется в зависимости от упругой дефор­ мации. Заданные величины ѵк относятся к некоторому опреде­ ленному напряженному состоянию элемента.

Рассмотрим еще одну возможную — т р ет ь ю форму задания напряженно-деформированного состояния элемента. В этой фор­ ме часть остаточных деформаций, например, не зависящих от напряжений, задается непосредственно, а остальная в виде отно­ шения их к упругой деформации. Например, если свободные уса-

вертой степеней площадей рассмотренных фигур относительно оси,

периментально, при ох = 0 и £у=0. Однако, часто за исходное при­

нимают состояние элемента, когда в нем уже имеются упругие де­ формации, которые подчиняются закону Гука. При нелинейной свя­ зи упругих деформаций и напряжений такой однозначной зависи­ мости между приращениями упругой деформации и напряжений не существует. Для того чтобы определить по диаграмме упругих деформаций (рис. 16) приращения напряжения, необходимо знать не только приращения упругих деформаций, но и их величину. Если зависимость между упругими деформациями и напряжения­ ми выражена формулой (17), то

тогда уравнение, связывающее До* и Дг* х, можно записать по ана­ логии с уравнением (17)

При новом исходном состоянии вместо ѵх вводим величину отно­ шения приращений остаточных деформаций к приращению уп­ ругих:

AsXос, 1

Дѵ* = (74) AeXУИ

Вместо выражений (57), (58), (60)-f-(66) необходимо пользовать­ ся уравнениями-

Зависимости между деформациями различных волокон. Уста­ новим зависимости между полными и упругими деформациями любого волокна бетона или стержня арматуры и деформациями верхнего волокна. Эти зависимости используем при выводе об­ щих уравнений.

Сечение В —В (рис. 18) согласно гипотезе плоских сечений по­ сле деформации элемента остается плоским (сечение ß 1—В 1). По­ этому полная относительная деформация волокна, расположенного на расстоянии х от верха элемента,

Уравнения напряжений и деформаций для второй формы за­ дания напряженно-деформированного состояния элемента,, явля­ ются наиболее общими. Из этих уравнений можно непосредствен­ но получить уравнения для первой и третьей форм.

Изгибаемые элементы. Рассмотрим наиболее простой случай неоднородного напряженного состояния — чистый изгиб элемента переменной ширины. Пусть элемент имеет арматуру в двух уров­ нях (см. рис. 18). Примем зависимость между упругими деформа­ циями бетона и напряжениями в виде уравнения второй степени (17). Эпюры напряжений и деформаций элемента в некоторый рассматриваемый момент даны на рис. 19.

По формулам (17) и (91)

Условия равновесия дают два уравнения:

л

[ b (х) 0 х dx = — F а оа — F а 0а ;

о

h

J b (х) а х x d x + F аоа {h — а) + F'a a 'a а х — — М.

Рис. 19. Эпюра напряжений и деформаций изгибаемого элемента:

а — схема усилии и напря­ жений; б — схема деформа­ ций бетона

Напряжения в арматуре

Подставим значения напряжении в первое уравнение равновесия:

O-MA'tjy.v r,,(i -- /Ц-( I — - ) - (

то для чистого изгиба элемента с двойной арматурой получим уравнения:

зывается, можно задать такой вид функции т]к, при котором ин­ тегралы в окружности особой точки х=Хо имеют конечные значе­ ния.

Внецентренное растяжение (сжатие). Если в сечении элемента, кроме изгибающего момента М, приложена на расстоянии с от крайней грани' еще и нормальная сила N (положительная при растяжении), то из условий равновесия запишем уравнения: